概率论与数理统计答案第四章

1、第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设D(x)为退化分布:D(x)1 x 00x0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？(1)D(x n);(2)D(x 1); (3)D(x10,其中 n 1,2, nn解：(1) (2)不是；(3)是。4.2 设分布函数Fn(x)如下定义：0 x nFn (x)-nn x n2n 1 x n问F(x) nimFn(x)是分布函数吗？解：不是。4.3 设分布函数列Fn(x)弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数, 则'(刈在()上一致收敛于F(x)o证：对任意的0,取M充分大，使有1 F(x) , x M;F(x) , x M对上述取定的

2、M ,因为F(x)在 M，M上一致连续，故可取它的k分点: x1 M x2xk 1 xk M 使有 F(x 1) F(xi) ,1 i k 再令x0,xk1 ,则有F(xi 1) F(xi),0 i k 1(1)这时存在N ,使得当n N时有|Fn(Xi) F(Xi)l,0 i k 1(2)成立，对任意的x ( ， ),必存在某个i(0 ik),使得x(Xi ,Xi 1)由(2)知当n N时有Fn(X)Fn(Xi 1)F(Xi 1)(3)Fn(x)Fn(Xi) F(Xi)(4)由(1)(3), (4)可得Fn(x)F(x) F(Xi 1) F(x)F(Xi 1)F(Xi)Fn(x)F(x) F

3、(Xi) F(x)F(Xi)F(Xi 1)即有FnF(x) 2成立，结论得证。4.5设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与证明这时必有P( )证：对任意的即对任意的0<P0,n0从而P( ) 1成立,结论得证4.6设随机变量序列证明:(1) n0成立,于是有分别依概率收敛于随机变量与0 P(成立。0,n2(2)先证明这时必有对任给的0,0取M足够大使有成立,对取定的存在NP(|2成立这时有从而有P(I :P(IP(IP(I2III1)nIIP(IP(IIII(I1)(IP(l|2I M)(In I 1)4.7P(I的任意性知(n n)2)M)I M)同理可证,结论成立。设随机变量序列1

4、)20 ELu ZE个常数，且当na 时有na因而妨设a 0意的0 aa( nanan anaa)na2 aa2 aa于是有0,nn ana结论成立。4.9证明随机变量序列n依概率收敛于随机变量的充要条件为:0,nf (x)证：充分性，令(x)1(1 x)20,x 0故f(x)是x(x 0)的单调上升函数，因而0, n对任意的0成立，充分性得证。必要性，对任给的。，令A 在充分大的N使得当n N时有P(A )Ia E(1P(A )E由的任意性知10,n,结论为真。bn b4.10设随机变量n按分布收敛于随机变量，又数列an证明an n bn也按分布收敛于a证：先证明a n按分布收敛于a0时为显

5、然，不妨设时的修改为显然)，若a的分布函数分别记作FaFan 与 Fn ，则 F的连续点时,连续点，于是有X lim Fa n(x) lim Fn 一lim FnFa (X)成立，结论为真4.12知n(aPa) 0,再由4.6(1)n(an anPa) bnbbna n (ana)是由前述结论及4.114.11设随机变量序列 n依概率收敛于常数bn按分布收敛于ab,结论得证 n按分布收敛于随机变量，随机变量序列a,证明nn按分布收敛于a。证：记，n的分布函数分别为F(X),Fn(X),则 a的分布函数为F(x a),设X是F(X a)的连续点，则对任给的0,存在 0,使时有|F(x a ) F

6、(x a)|(1)现任取012 ，使得X a 1，X a 2都是F()的连续点，这时存在 N1 ，当 n N1 时有|F(x a1)Fn(xa 1)|2)|F(x a2)Fn(xa 2)|3)对取定的存在N 2 ，当 n N 2 时有P(| n a |1)4)于是当maX( N1,N2)时，由(1),(2),4)式有P( nP( nP( na) x a)a x a)1) P(|(|n a|a| 1)1 ) P(F(x a)axa) (|n a| 1)(5)又因为P( n x a2)P nP(n(xa)2)x(|2(| a|n a|2)2)于是由( 1)3) ， ( 4)式有P( nP(a x

7、a) P na 2) P(| n a|n a) F(xxa) 32(|n a|2)6)5)6)两式可得|P( nx a) F(x a)| 3的任意性即知nn按分布收敛于a ，结论得证。4.12设随机变量序列 n按分布收敛于n依概率收敛于 0 ，证明证：记，n的分布函数分别为F(X)，Fn(X),对任给的0,a 0,b 0足够大，使a，b是F(X)的连续点且1 F(b) ,F( a)W因为Fn(x)F(x),故存在N1,当n N1时有1 Fn(b) 2 ,Fn( a) 2P令Mmax(a，因为n 0,故存在N2,当n N2时有P(l nl ) M而P(l n n l ) P(l n n l )(

8、 a n b) (l n l )MP(l n n l )(">F(l n l ) Il I 2M其中Il 0,当n max(Ni,N2)时有p(i n n i )van-)p("n-)P( n a) ( n b)Fn( a) 1 Fn (b) 4P因而P(| n n|) I2 5 ,由的任意性知n n 0,结论为真4.13 设随机变量n服从柯西分布，其密度函数为Pn(x)(1 n证明0, n证：对任意的 。，有P(l n l )n2 2(1 n x )dxn 1n2n (1 t )dt1, nP故 n 0, n o4.14 设 n为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

9、P(x)1 0 x其它其中 0为常数，令max( 1, 2,， n),证明 n o证：对任意的n,为显然，这时有P( n x)nP( i i 1x)xdx(-)n,0 x0P( n x)0,x 0；P( nx)1,x对任意的0()，有P(|)P( n)()n0,n成立，结论得证。4.15设 n为一列独立同分布随机变量，其密度函数为x a)P(x)min( 1,n)证明证：设i的分布函数为F(x)1F(x) 0c (x a) e这时有P( n x)nP(i 11F(x)n(x a)e , x a对任意的0,有P(|)P( n0,nPa成立，结论得证。4.17设 n为一列独立同分布随机变量，都服从

10、(0，1)上的均匀分布,n 1(,)nP 证明 n C(C为吊数),并求出 C。证：这时0n n也是独立同分布随机变量序列，且1E n ln xdx 1Inn 0由辛钦大数定律知0n n服从大数定理，即有ni1xf(x) e ,则f(x)是直线上的连续函数，由4.8题知,1 nn 1ln i pnn i 11c( i ) ee ci 1结论成立。4.18设 n为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为且方差存在，证明n(n 1)nPk k a k 1 o证：已知E n a,记D n 2,令2 n(n1) k inkaI k 1n-k1)2 k 1对任给的0,由契贝晓夫不等式有P(|11 4

11、 2)D n 0,nn 14.19Pa,结论得证。设 n为一列独立同分布随机变量，且2存在，数学期望为零，证明n p ,22 - k n k 1o证：这时:仍独立同分布，且En2D n,由辛钦大数定律知结论成立。4.21设随机变量序列 n按分布收敛于随机变量又随机变量序列2n(n 1)4_n2 (n n依概率收敛于常数a(a0), n 0，则按分布收敛于11证：由4.7题知n a110n()，于是由4.12题有 n a按分布收敛于a （见4.10题的证明），因而由4.11题知按分布收敛于a，结论成立。2 n n4.22设 n为独立同50，1）分布的随机变量序列，证明1 k12 k的分布函数弱收

12、敛于*0,1）分布。22，证：这时 n也为独立同分布随机变量序列，且 E n 1，由辛钦大数1定律知n1，又。1服从N（0,1）分布，当然弱收敛于N (0,1) 分布,由4.21题即知n按分布收敛于N（0，1）分布，结论得证。4.23如果随机变量序列 n，当n1卜n2 Dk时有n k10，证明 n服从大数定律（马尔柯夫大数定律）证：由契贝晓夫不等式即得。4.26在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令1,若在第n次及第n1次实验中A出现0，其它证明 n服从大数定律。22证：n为同分布随机变量序列，且En E n p，因而22、D n p (1 p ) 1,又当|i j | 2时，与j独立，由4

13、.24知 n服从大数定律，结论得证。r 、an4.28设 n为一列独立同分布随机变量，方差存在，又n1为绝对收n n i敛级数，令 i1 ,则an n服从大数定律。''22nk (ai )i k ,故有证：不妨设E n 0。否则令n n E n,并讨论 n即可。记E n nninc I an Iai iai(k)2 n n(ai)2n k 1 i k0,n又 n 1o 因为 i 1i 1 k 1k 11 n1 n n 2D(ai i) Ek(ai)2n i 1n k 1 i k由4.23知an n服从大数定律，结论得证4.30 设 n为一列独立同分布随机变量，共同分布为2k1P

14、( n E ”，k 1，2, k2试问 n是否服从大数定律？答：因为E n存在，由辛钦大数定律知 n服从大数定律。4.31 设 n为一列独立同分布随机变量，共同分布为cP( n k) -,k 2,3, k log kc (2 1) 1.其中 k2k 10g k ,问 n是否服从大数定律？答：因为E n存在，由辛钦大数定律知 n服从大数定律。4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95蛆上的把握保证所观察到的频率与概率 p的差小于%0,问至少应该做多 少次试验？解：令1第n次试验时图钉的尖头朝上其它P(l据题意选取试验次数n应满足“pp1 元) 0.95,因为n比较大,由中心极限

15、定理有np(qn1 np110 q11np10、q -以p1意X2e 2 dxn( p)P(l , 1I,npq0.95np 2故应取9 10、q ，即n 400 p，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断由中心极限定理有P( n 15)n npP(-npq15 npnpqb) 2e 2 dxb 1.58其中。10,查N(0,1)分布表即可得P( n 15) 0.94 ,即在校对后错误不多于15个的概率。4.34在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006,死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率多大？(2)保险公司

16、一年的利润不少于 40000元，60000元，80000元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为120000元，这时若一年中死亡人数120,则公司亏本;若一年中死亡人数80 ,则利润中死亡人数40000 元;若一年中死亡人数60,则利润中死亡人数60000 元;若一年中死亡人数40,则利润中死亡人数80000 元;令1第i个人在一年内死亡i 0第i个人在一年内活着nn i,n 10000则P(i 1) 0.006P,记 i1已足够大，于是由中心极限 定理可得欲求事件的概率为n np 120 np1P( n 120) 1 P(-n" p b) 1.npq 1 npq.2x2b -2

17、60e 2 dx 0(其中 b )7.723同理可求得(2)P(n80)0.995 (对应的b 2.59)P(n60)0.5 (对应的 b0)4.35有一批种子，其中良种占16,从中任取6000粒，问能以 0.99的概率保证其中良种的比例与16相差多少?P(n40)0.005 (对应的b 2.59)解：令第i粒为良种第i粒不是良种nrP( i则1)其中n 6000,据题意即要求使满P(| n6|0.99Op,b4 npq,因为n很大，由中心极限定理有P(| n6|P( bn npb)1 b J e dx 0.99.2 b由N(0,1)分布表知当b 2.60时即能满足上述不等式，于是知b 、np

18、qn_41.25 10即能以0.99的概率保证其中良种的比例与差不超过1.25 104.36 若某产品的不合格率为0.005,任取10000件，问不合格品不 多于70件的概率等于多少?解：令1第i件为不合格品0第i件为合格品q 1 则 p p(，1)o.005,记“P，ni i i，其中nb10000,记70 np,npq由中心极限定理有n npP( n 70) P(-nb)npq1.2x22 dx0.998即不合格品不多于70件的概率约等于0.9984.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01 ,问一盒中应装多少只螺丝钉 才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95?解：令1第i只是合格品

19、i 0第i只是不合格品d 100 np nq 1 p,b , n i则p P( i 1) 0.99,记Jnpq i1，其中n尚待确定，它应满足P( n 100) 0.05,由中心极限定理有x2n np1b 3P( n 100) P(-nb) e 2 dx 0.05npq2查N91)分布表可取b 1.65,由此求得n 103,即在一盒中应装103 只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。4.39 用特征函数的方法证明”二项分布收敛于普哇松分布”的普哇 松定理证：设i n独立同二项分布，即P( in 1) pn,P( in 0) qn 1 pn,1niti的特征函数为(qn pn

20、e ),记nni , ni 1的特征函数记作n，因为吟,1、0,qn n n- 0(1)+n n ,于是有n(t) (qitpne)n(11 1 n/ ite (e(eit1)10(-)nite n n-n (e, 1)(e 1)o(1)n1),n(Pit 1)而,1是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立,证毕。4.40 设随机变量 服从-分布，其分布密度为1 x/、x e x 0 ,P (x)( )(0,0)0x 0证：当 时，、厂 的分布函数弱收敛于N91)分布证：的特征函数为 g (t) e ' t(1 -jt=) 而 x(t) (1 °),易知一计i t ln(1 ")e、厂的特征函数为1t2 1 it2 t32 3 ,0(、)t2N(0,1)分布，命题得证。t22故 nSni i由林德贝尔格-勒维中心极限定理知：Jn i 1的分布函数弱收敛于正态分布N(01),结论得证。4.45利用中心极限定理证明： g ()，所以相应的分布函数弱收敛于4.41设 口为一列独立同分布随机变量，且服从(n，n)上的均匀分布，证明对成立中心极限定理。E证：易知0,D2n xdxn2n2 n万，于是B：-1n(n181)(2n 1)Bn0 ,存在N ,使当nx2d