期望值推导生产与订购决策的最优模型

1、2010年第七届苏北数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了第六届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关 的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为：参赛组别（本科或专科）：本科参赛队员（签名）：队员1:熊金柳

2、 队员2:李敏 队员3:向义获奖证书邮寄地址:2010年第七届苏北数学建模联赛期望值推导 生产与订购决策的最优模型摘要本文在通过一定假设的情况下， 建立了供应链的生产与订购问题的数学模型， 从 总体上分析生产、销售各环节之间的关系。运用概率分布，线性规划，模糊数学的知识建立规划模型。根据约束条件、求最优解，确定最优订购量、最优计划生产量。针对最优订购量，最优计划生产量，建立了两个模型对其进行判断：模型一：通过计算利润的最大期望值推导最优订购量，总利润期望值为：QMax C(Q) (v u)r w(Q r) (r)(v u)Q w1(Qr) (r) 求得最优订购r0rQ量 Q。模型二：计算损失的

3、最小期望推导最优计划生产量，总损失期望值为：rC(Q) w(Q r) (Q)w1(r Q) (Q) 求得最优计划生产量Q。QrQ0对于问题 ( 1) ， 首先建立模糊变量实际生产量的概率分布函数， 用利润最大期望值求出销售商最优计划订购量x1400,生产商最优计划生产量x3 476 。对于问题 ( 2) ， 根据模糊变量的概率分布函数， 用模型二计算销售商损失期望值最小， 求出销售商最优订购量x1 454 ,再将值代入根据模型一建立的生产商利润期望值函数最小， ，求得生产商最优计划生产量x3 534 。对于问题( 3) ，联立一级生产商利润期望值最大和二级生产商损失期望值最小，求出二级生产商最

4、优订购量Q1 424 ， 再代入一级生产商利润期望值最大求得一级生产商的最优计划生产量Q2498 。 对于后面一问，我们可以根据销售商损失期望值最小求出销售商最优订购量，进行求解即可。1 问题的重述一、背景知识供应链是一种新的企业组织形态和运营方式 , 包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节, 到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。二、具体实验数据见附录表格三、要解决的问题问题一：假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的， 即由

5、于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机 波动。通过建立数学模型确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。问题二：在问题一的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的， 即市场 需求量是一个随机变量，建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最 优计划产量。问题三：产成品的市场需求量是确定的，研究在两级生产不确定的供应链中， 二级生产商(产成品生产商)的最优订购量和一级生产商(原材料或原产品生产 商)的最优计划产量。在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变 量，如何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商 的最优计划

6、产量？2模型的假设与符号说明一 .模型的假设：(1)商品生产量服从均匀分布；(2)订货就立即交货；(3)库存商品的使用价值不会受到影响；(4)商品质量有保证，出售后不会被大规模的退回；(5)产品的生产及销售不存在意外性，即因偶然因素无法进行生产或销售受到重 大影响；(6)生产商和销售商都具有较好的商业素质， 比较注重信誉，对未来发展有长远 的打算。二.名词解释：销售缺货成本一一由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本批发缺货成本一一由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本三.符号说明在舁 厅P符号符号说明1u单位产品生产成本2v

7、单位产品批发价格3w单位产品库存成本4Wi一级生产商缺货损失成本5W2二级生产商缺货损失成本6w33销售商缺货损失成本7x需求量8x1销售商订购量9X2二级级生产商计划生产量10X3二级生产商实际生产量11Q1二级生产商订购量12Q2一级生产商计划生产量13Q3一级生产商实际生厂量函数的说明函数函数说明1(X3)模糊变量x3和x1之间大小关系的可信性分布函数2(x3)模糊变量x3和x1、x之间大小关系的可信性分布函数3（Q3）模糊变量Q3和Q1之间大小关系的可信性分布函数R(x)销售商销售利润函数R1（X3）生产商或二级生产商批发利润函数RM)一级生产商批发利润函数H(x)存货量函数P(x)缺

8、货量函数(r)r的概率分布(Q)Q的概率分布3模型的建立模型一计算利润的最大期望推导最优订购量其中， Q 为订货量， r 为市场需求量，w 1 为单位产品的销售缺货成本。存货量H(x)缺货量P(x)Q - r, r Q0, r Q0,r Qr - Q,r Q如果订货量大于需求量( Q r )时，其盈利的期望值为(v u)r w(Q r) (r) r0而如果订货量小于需求量( Q r )时，其盈利的期望值为(v u)Q w1(Q r) (r) rQ故总利润的期望值上述两部分之和QC(Q) (v u)r w(Q r) (r)(v u)Q w1(Q r) (r)r0rQ求最优订购量， 只需根据约束条

9、件， 用相关软件进行求解， 求得利润的期望值最大，此时 Q 的取值，即为最优订购量。模型二 计算损失的最小期望推导最优计划生产量Q 为生产商的实际生产量， r 为订购量， w1 为单位产品的批发缺货成本。存货量H(x)缺货量P(x)Q - r, r Q0, r Q0,r Qr - Q,r Q如果实际生产量大于订购量( Q r )时，其损失的期望值为w(Q r) (Q)Qr而如果订货量小于需求量( Q r )时，其损失的期望值为rw1(r Q) (Q)Q0故总损失的期望值为上述两部分之和rC(Q) w(Q r) (Q)w1(r Q) (Q)QrQ0求最优的计划生产量， 只需根据约束条件， 用相关

10、软件求解， 求得损失的期望值 最小，此时Q 的取值，即为最优计划生产量。4 问题的分析一、相关知识的介绍软件 : ? Lingo 是美国 Lindo 系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。 Lingo 除了具有求解线性、非线性规划和二次规划问题，也可以用于一些线性和非线性方程(组)的求解,等等。其最大特色在于可以允许优化模型中的决策变量是整数(即整数规划),而且执行速度很快。Lingo 实际上还是最优化问题的一种建模语言 ,包括许多常用的函数可供使用者建立优化模型时调用,并提供与其他数据文件(如文本文件、Excel 电子表格文件、数据库文件等)的接口 ,易于方便地输入、求解和分析大

11、规模最优化问题。二、对问题的分析及约束条件的给出本题是关于生产、销售供应链的问题即先确定一个环节，再求其它环节的最优设置， 进而用所求的数据再将先确定的环节最优化。 通过不确定或确定的最终需求量、 生产商品量、 销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量之间的关系建立数学模型， 并利用附件中的数据来确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。对( 1)的分析：单位产品销售缺货成本为 25， 单位商品库存成本为 5， 所以销售商的订购量一定不小于市场需求量：x1400单位产品批发缺货成本为 15， 单位商品库存成本为 5， 所以生产商的预定生产量不小于销售商的订购量：x2 x1x2 取 值 范

12、围 的 确 定 ： 生 产 商 的 最 小 生 产 量 0.85x2 不 大 于 市 场 需 求 量0.85x2 400 ) ，计算出x2 470400 ） ，计算出生产商的最大生产量1.15x 2不小于市场需求量（ 1.15x 2x2 348所以（ 1）问的约束条件为x2 476x2348x1 400x2x1对（ 2）问的分析：单位产品销售缺货成本为 25， 单位商品库存成本为 5， 所以销售商的订购量一定不小于市场需求量：x1400单位产品批发缺货成本为 15， 单位商品库存成本为 5， 所以生产商的预定生产量不小于销售商的订购量：x2 x1生产商的最小生产量0.85x2不大于销售商订购量

13、0.85x2 x1生产商的最大生产量1.15x 2 不小于市场最小需求量1.15x 2 320所以（2）问的约束条件为x1 400x2 x10.85x2 x11.15x2320对（ 3）问的分析：单位原产品缺货成本为5，单位原商品库存成本为5，所以一级生产商的计划生产量不小于二级生产商的订购量：Q2 Q1单位产成品缺货成本为 25， 单位商品库存成本为 7， 所以二级生产商的订购量不小于需求量：0.7Q1 280一级生产商的最小生产量0.85x2不大于二级生产商的订购量0.85Q2 Q1产成品的最小生产量不大于需求量0.85 0.9Q2 400产成品的最大生产量不小于需求量1.15 1.1Q2

14、 400所以（3）问的约束条件为 Q2 Q1 0.7Q1 2800.85Q2 Q10.85 0.9Q2 4001.15 1.1Q2 4005模型的求解问题（1）的求解建立模糊变量X3和X1大小的可信性分布函数设x3为模糊变量，则X3和X1之间大小关系的可信性分布函数:1.15x2 X1,X3 X11（X3）0.3X2x1 0.85X2,X3 X10.3x2建立生产商的批发利润函数生产商的批发利润为:R1（X3）20x3 -15(x1 -x3)20x1 -5(x3 -x1)X3X1X3X135x3 -15x125x1-5x3X3 XiX3 Xi因此生产商的批发利润函数Ri(X3)(35x3-15

15、xi )(x1 -0.85x2)0.3x21.15x2 -x1(25x 1 -5x3)0.3x2X1(35x3-15x1)X3 0.85x2(x1 - 0.85x2)0.3x20.3X21.15X2 ，1.15x2 -x12-1 (25x1-5x3)X3 Xi 0.3x2'13)(x1-0.85x2) 2(29.75x2 5x1) (x1-1.15x2) 2(5.75x2 45x1)0.09 2x25 050x13 13.89x2 88x2x2 25.775x1x2)9X当R1（X3）取得最大值。此时，X2取值即为最生产商的最优计划生产量 用lingo软件求最优解，程序见附录一：通过计

16、算，得到以下结果：生产商满足销售商订货量（x3 X1）的可信性为:1.15x2 x11(X3x1) 10.3x2生产商不满足销售商订货量（X3 Xi）的可信性为:/、x1 0.85x21(x3 x1) 770.3x2X1的情生产商不满足销售商定货量可信性为0,不满足的可信性为1。因此X3况我们不需要进行考虑。X2和Xi之间存在如下关系:区 0.85x2建立模糊变量X3和xx大小的可信性分布函数 设x3为模糊变量，则X3和x1、x之间大小关系的可信性分布函数:(x-0.85x2)0.3x2,X3 x2 (X3)(xi -x),x x3xi0.3x21.15x 2 -x1 0.3x2由可知 1(x

17、3 xi) x10.85x20,因此0.3x20,x3x2(x3)0,x x3 xi1.15x2 - xi0.3x2xi建立销售商的销售利润函数销售商的销售利润20x3 - 25(x - x3) x3 xR(x) 20x - 5(x3 -x) x x3 xi20x - 5(xi - x) x3 xi45x3 - 25xx3 x25x -5x3 x x xi 25x -5xix3 xi销售商的销售利润函数：(x-0.85x2)(xi - x)(1.15x 2- xi)R(x)(45x3 - 25R(25x - 5x3)2- (25x - 5xi0.3x20.3x20.3x20 (45x3 -25

18、)0 (25x - 5x3) i (25x - 5x1)(25x -5xi)当禾润R(x)最大，此时xi的取值销售商的最有计划订购量 由约束条件x2 476x2 348xi 400x2 xi可得，生产商的最优计划产量：x1400将x1 400代入中进行求解，求解程序见附录二。求解结果为：生产商的最有计划生产量x2 476由上面可以得到（1）问的结果:销售商的最优订购量400生产商的最优计划产量476问题（2）的解决计算销售商的损失期望值根据（1）问得：生产商满足销售商订货量（x3 x1）的可信性1（ X3Xi）1.15x2 x10.3x2生产商不满足销售商订货量（x3<x1 ）的可信性1

19、（ x3x1）x1 0.85x20.3x2说明生产商不满足销售商订货量的情况不讨论。生产商满足销售商订货量 优3x1）时,只能库存，其损失的期望值为当供大于求（x3 x）时，这时货物因当期不能售完,x1 5（x1 x）x 3201 60当供不应求（x1 x）时，这时因缺货而失去销售机会，其损失的期望值为480 25（ x x）x x1 1160故总损失的期望值为上述两部分之和C（x3）x1 5（x x） 480 25（ x x）x 320160 x x1 11605(x1 320)(x1 31 5(480 x1)(481 x1)32064_2 3x2 2722x1 628240 32由上是可以

20、得出，当xi 454时，总损失最小即最优的订购量为x1 454建立生产商的批发利润函数 生产商的批发利润为:20x3 -15(xi -x3)Ri(x3)3' 13,20xi -5(x3-xi)乂3x3xixi35x3 -15x125x1 -5x3x3x3xixi因此生产商批发利润函数Ri(x3) (35x3-15xi )(x1 - 0.85x 2)0.3x21.15x 2 -x1(25x 1 - 5x 3) 0.3x2xi(35x3 -15x1)x3 0.85x2(x1 - 0.85x2)0.3x20.3x21.15x2 ，1.15x2 -x12-1 (25x1-5x3)x x0.3x

21、21x3 xi. 222 ,仅画乂？)(29.75x2 5x1) (xlI.ISx?) (5.75x2 45x1)0.09 2x250(50人3 13.89x2 88x2x2 25.775x1x2)9x2由可得x1 454使得利润（仅3）最大，此时xi的取值为销售商的最优订购量求最优解（使用lingo软件求解，程序见附录五）：运算结果为：生产商的最优预计生产量x2 534由上面可以得到（2）问的结果:销售商的最优订购量454生产商的最优计划产量534问题（3）的解决和模型建立模糊变量Q3和Qi大小的可信性分布函数设Q3为模糊变量，则Q3和Qi之间大小关系的可信性分布函数:i.i5Q2 Q1Q2

22、 5 , Q3 Qi0.3Q23(Q3)Qi 0.85Q2c 2，Q3 Qi0.3Q2建立一级生产商的批发利润函数一级生产商的批发利润为:Ri(Q3)20Q3-15(Qi-Q3)20Qi-5(Q3-Qi)QiQi35Q3-i5QiQ25Qi- 5Q3Q因此一级生产商的利润函数(Qi-0.85Q2)Ri(Q3)(35Q3-i5Qi ) -0.3Q2i.i5Q2-Qi2-i (25Qi-5Q3)0.3Q2Qi(Q1-0,85Q2)(35Q3 -i5Qi ) U字Q3 0.85Q20.3Q20.3Q2i.i5Q2 i.i5Q2-QiQ3 Qi0.3x2(25Qi-5Q3)0.09Q235(Qi-0.

23、85Q2)2(0.85Q2 Qi) 5Qi -i.i5Q2)2(i.i5Q2 Qi) i5Qi (Qi -0.85Q2)2 25Qi(Qi-i.i5'0.09 2Q2(Qi-0.85Q2)2(29.75Q2 5Q1)(Q1-I.I5Q2)2 (5.75Q2 45Qi)20.09 2Q25 050Qi3 i3.89Q2 88Q；Q2 25.775QQ2)9Q2当Ri（Q3）取得最大值。此时，Q2取值即为一级生产商最优计划生产量 用lingo软件求最优解，程序见附录三。通过计算，得到以下结果：一级生产商满足二级生产商订货量（Q3 Qi）的可信性为:10Qi)1.15Q2 Qi0.3Q2一级

24、生产商不满足二级生产商订货量（Q3 Q1）的可信性为:1(Q3 Q1)Q1 0.85Q20.3Q2生产商满足销售商定货量可信性为1 ,不满足的可信性为0因此Q3 Q1的情况我们不需考虑。Q2和Q1之间存在如下关系：乌 0.85Q2一级生产商满足二级生产商订货量（Q3 Q1）的可信性为:1.15Q2 Q110.3Q2当供大于求x3 x）时，这时产成品因当期不能售完，只能库存，其损失的期望值为1.1 °7Q1 7(x3x)x3 x 0.2 0.7Q1当供不应求（x3<x ）时，这时因缺货而失去销售机会，其损失的期望值为x 3 0( xxjx3 0.7Q1 0.9 0.2 0.7Qi

25、故二级生产商总损失的期望值为上述两部分之和C(x3)1.1 0.7Q1 7(x3 x)x3 x0.2 0.7Q1x3 0.7Q1 0.93 0( x xj0.2 0.7Q17(0.77Q1 x)230x 0.63Q1)20.14Q1 20.14Q1 216.0573Q； 48.58xQ1 37x20.28Q1用lingo 求最优解，程序见附录四。运行结果为：损失期望值取得最小时，可得二级生产商的最优订购量Q1 424把Qi 424代入中进行计算，程序见附录五。Q2 498二级生产商的订购量424一级生产商的最佳计划生产量498如果产成品的市场需求量也是一个随机变量问题的解决在（2）问中，我们讨

26、论了，市场需求量是随机变量的情况，这里我们同样可以用相同的方法，先确定出销售商的最优订购量，而销售商的订购量就是二级生产 冏的需求量。根据模型一：计算利润的最大期望推导最优订购量其中，Q为订货量，r为市场需求量,wi为单位产品的销售缺货成本存货量H（x）缺货量P（x）Q-r, r Q0, r Q0,r Qr-Q, r Q如果订货量大于需求量（Q r）时，其盈利的期望值为(v u)r w(Q r) (r) r 0而如果订货量小于需求量（Q r）时，其盈利的期望值为(v u)Q w1(Q r) (r)rQ故总利润的期望值上述两部分之和QC（Q） （v u）r w（Q r） （r）（v u）Q w1

27、（Q r） （r）r0rQ根据约束条件，求利润的期望值最大，求出最优解， Q 的取值，即为销售商最优 订购量。然后由于x=Q 。将Q 代入上（3）问，按相同的方法进行求解，即可得出一级生产商最优计划生产量，二级生产商最优订购量。6 模型的误差分析、检验和进一步讨论模型的误差分析：1. 在实际情况下，商品生产及其需求并不完全是符合我们所言的均匀分布，很可能出现正态分布的情形， 还有随机分布可能， 这样在本文建立的模型的计算与实际就由误差。2. 在上面的模型中，都是缺货成本大于库存成本的情况，使得无论是生产商还是销售商都尽量做到满足需求量， 达到利润的最大， 而在实际情况当中， 缺货成本可能不必库

28、存成本大， 这样会导致都有尽量不库存的的这种状态， 那么各级的需要就可能得不到满足。那么，我们就还要再讨论各级供不应求的情况。3. 在市场中，存在这样的情况，当产品的数量多了的话，产品的利润汇出现减少，即利润也可能是一个随机变量。模型的进一步讨论市场需求量波动， 一级生产波动， 二级生产波动这三个波动的概率是影响模型最直接因素。 对具体问题， 我么们可以根据相关的数据， 看他们分别服从什么分布，三者都很可能是服从正态分布的，然后进行模型的求解。7 模型的优缺点与改进方向一、模型的优缺点1、优点：（ 1）模型简单、有效、易建立；（ 2）应用软件求解方便、精确；（ 3）该模型较灵活，在数据变更的条

29、件下也能迅速重建模型。（ 、缺点：（ 1） 由于不知道市场需求量， 生产波动服从什么分布， 也没相关数据进行判断，因此我们其都看做均匀分布；（ 2）数据繁杂，不易处理；（ 3）运用一种软件，所得结果无法再通过其他方法求证，不能精确说明问题；（ 4）我们是在市场需求为均匀变量，一级生产波动和二级生产波动也服从均匀分布的情况下，对模型进行计算，但这三个量都很可能不服从均匀分布。二、模型的改进方向我们的模型是在固定无意外和价格不变的基础上通过假设， 使得数学的描述较为简单直观， 但实际上还有许多因素与要讨论的问题密切相关， 而且是应该加以考虑的。 如市场的价格波动， 顾客心理对产品多少的敏感程度； 还有对市场需求量，一级生产波动， 二级生产波动的概率分布进行改进， 他们可能是随机分布， 也可能是正态分布。 可以根据具体的情况选择合适的概率分布进行计算。 达到使企业利润最大，还