清华大学_杨虎_应用数理统计课后习题参考答案

1、设总体X的样本容量n)X B(1,p);)X Ua,b;习题一5,写出在下列4种情况下样本的联合概率分布)X - P();)X N( ,1).设总体的样本为X1, X2, X3, X4, X5 ,1)对总体 B(1,p),P(Xi Xi，X2 x2,X3%,X4 x4,X5 Xs)px(1P)1xn5P(XiXi)i 1i 15x5(1 x)p (1 p)其中:2)对总体1 5二 xi5 i 1 P()P(X1 X1,X2nP(Xi i 1 5x 5 5 e Xi! i 1x)x2, X35x3, X4xi一 ex !x4, X 5x5)5if(X1，m，x5)f(x)b,i1,5其他4)对总

2、体X N( ,1)5 f (X1,|, X5)f(x尸5/22exp1 522i1 xi20个集装箱检查其0, 0, 2, 4, 0, 3, 1,2为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取 产品损坏的件数，记录结果为：1, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 3, 14, 0, 2,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形解 设i(i=0,1,2,3,4)代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样 本频率分布表1.1 ：表1.1频率分布表i01234个数67322fXXi0.30.350.150.10.1经验分布函数的定义式为:0,x 4)Fn(X)k, x

3、k n1,xxk i , k=1,2,|,n 1,，xk据此得出样本分布函数:F20(x)0,x00.3,0x10.65,1x20.8,2x30.9,3x41,x4图i.i经验分布函数3某地区测量了 95位男性成年人身高，得数据 （单位：cm）如下:组下限165167169171173175177组上限167169171173175177179人数 310212322115试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形 解教抿m厅国图1.2数据直方图它近似服从均值为 172,方差为5.64的正态分布，即 N(172,5.64).4设总体X的方差为4,均值为 ，现抽取容量为100的样

4、本，试确定常数 k,使得满足 P(X k) 0.9.X因k较大，由中心极限定理,N(0,1)：,4 100P X- k 5k 5k(5k) (1(5k)2 5k1 0.9所以： 5k 0.95查表彳#： 5k 1.65, k 0.33、，250.8 到 53.8 之5从总体X N(52,6.3 )中抽取容量为 36的样本，求样本均值落在解 P 50.8 X 53.8X 52P 1.14291.71436.32/36X 52，.6132 / 36N(0,1)124) EX EXP 50.8 X 53.8 P 1.1429 U 1.7143(1.7143)( 1.1429)0.9564 (1 0.

5、8729)0.82936从总体XN(20,3)中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于 0.3的概率.X1,",X10与丫,“|,丫5,其对应的样本均值为：X和Y.解设两个独立的样本分别为: 由题意知：X和Y相互独立，且：3-3X N(20，一)， Y N(20，一)1015P(X Y| 0.3) 1 P(X Y| 0.3)1P(U u0.5、0.5,Y N(0, 0.5)0.5N(0，1)P(X Y| 0.3) 2 2(0.4243)0.6744107设X1,|,X10是总体X N(0,4)的样本，试确定 C,使得P( X： C) 0.05. i 1

6、X；解 因Xi N(0, 4)，则一N(0,1),且各样本相互独立，则有: 22(10)1010212c所以：P( XiC) P( Xi )i 14 i 1410Xi-0.05 410X：0.95查卡方分位数表：c/4=18.31 ,贝U c=73.24.8设总体X具有连续的分布函数EXi,定义随机变量：Fx(x), X1jXn是来自总体 X的样本，且1, Y i0,XiXii 1,2,|,nn试确定统计量y的分布.i 1解由已知条件得：Yi B(1,p),其中p1Fx().因为Xi互相独立，所以Y也互相独立，再根据二项分布的可加性，有nY B(n,p), i 1p 1Fx().9设X1,&q

7、uot;|,Xn是来自总体X的样本，试求eX,dX,es2 3假设总体的分布为:XUa,b; 4)X N( ,1);1) X B(N, p); 2) X P( ); 3)解 1) EX EX NpDX Np(1 p)DXn n2ES EX EX DX Np(1 p)DXDX2ES2 DXDXDXES2 DX2b a12n2b aDXDX 1n2_ES DX10 设 X1,|,Xn1为总体X N(,2.)的样本，求又因为_ 2(n 1)S22(n11设 X1,|,Xn12取多大,(XiX)2(Xi1X)2XiXi(n(n1)S21)DX (n2(n 1)ES21)2(n1)S24d2(n 1)S

8、221),所以:来自正态总体 N(0,1)Xi2(n1) 4Y |X|,Y2一n i|Xi |,计算 EY，EY2.由题意知XN(0,1/ n),令：Y JFX ,则YN(0,1)E")E")设X1J|,Xn是总体才能使以下各式成立:nE(Xi)2y2|ye 2dyy2ye 2 dye tdt/、-21) E | X | 0.1 ; 2)2E(|X |)nE|XE(X),4)的样本,I 0.1； 3)X为样本均值，试问样本容量 n应分别P(| X | 1) 0.95。解1)2)X N(,4)所以:U N(0,1)e2LE(U)所以：E计算可得:2X0.13)查表可得：一n2

9、U0.9751.96,n4 N(,) n N(0,1)-E n40u2E20.1e 2 du15.36u22 dunnn取整数,2_n20.95n 16.13设(X1,|,Xn)和(Y1,|,Y)是两个样本，且有关系式:1丫 -(Xi a) (a,b 均为吊 b140),因:所以:试求两样本均值 X和Y之间的关系，两样本方差sX和sy2之间的关系.EY即:Xi anXi1naEX设X1,|X5是总体1)试确定常数2)试确定常数解1 )因：X1标准化得:故:XiXiN(0,1)的样本.2CiQi ,使得 w(X1 X2)6(X32C2 ,使得 c2(X1X2N(0,2)2X2MX3,X3 XX4

10、X42X5)X5)(n),并求出n ； F(m,n),并求出m和n .可得:2)因：X12所以:Xi X22d1X3X5 N(0,3)4 X5 N (0,1)且两式相互独立X3X4X5J3X2X22(2)X；X3 X4 32X5 23 一可得：c2一，m 2, n215设tp(n),Fp(m,n)分别是t分布和X3 X43 F(2,1)，1.X52，F分布的p分位数，求证一，、一 2 一 一、ti p/2(n)Fi p(1,n).证明设Fip(1,n),则：P(F ) 1 p P(、 FF)1 1 pP(T、.一)P(T )1 p2P(T I) 2 pP(T1)1 - 2所以：-t1 _p(n

11、)2故： t p2(n) F1 p(1,n). 1 - 216设X1/2是来自总体XN(0,1)的一个样本，求常数 c,使:20.1.(X1 X2)222(X1 X2)2 (X1 X2)2XXo解 易知 X X2 N(0, 2),则 1 L 2 N(0,1)；2X. Xc同理 X1 X2 N(0, 2),则 1 L 2 N(0,1)2(X1 X2)222(X1 X2) (X1 X2)又因：Cov(X1 X2,X1 X2) 0,所以X X2与X1 X2相互独立.(1 c)(X1 X2)2P 2- c(X1 X2)2(X1 X2)cP2(X1 X2)1 cc1 c0.1所以： F09(1,1)=3

12、9.9 1 c计算彳导:c = 0.976.17 设 X1,X2,|, Xn,Xn 1 为总体 X N(2)的容量n 1的样本，X, S为样本(X1,|,Xn)的样本均值和样本方差，求证:1 Vt(n 1)； ,n 1 Sn 1 22)X Xn1 N(0,)； nn 1 23 ) X1 X N(0,). n11 P Xi 10解1 )因:E(Xn1 X) 0, D(Xn1 X)所以：Xn1X0,乎2),天”3) n又:Js22(n 1)且：XnX与口_Js2相互独立n 12nXn1 X 所以：: n . n Xn 1 X t(n 1)2n 1 Sn 1 o2) 由 1)可得：X Xn1N(0,

13、2) n3)因：E(X1 X) 0, D(X1 X)一一.一n 1 o所以：X1 X - N(0,2) n18设X1,|,Xn为总体XN( , 2)的样本，X为样本均值，求n,使得P(| X | 0.25 ) 0.95.X0.25Jn 0.25 n,U n-N(0,1)P X 0.25 P所以： 0.25 . n 0.975查表可得：0.25 . n U0.975 1.96，即 n 62.19设xJ1，Xn为总体XUa,b的样本，试求：1) X的密度函数； 2) X(n)的密度函数;解因：X Ua,b,所以X的密度函数为:a,b1f(x),xb a0, x a,b0, x ax aF (x),

14、 a x bb a1,x b由定理：f(x) n(1 F(x)n1f(x)b x n 11n( )-,x a,bb a b a0,x a,bf(n)(x) n(F(x)n1f(x)x a n 11n(-一)-,x a,bb a b a0,x a,b20设x/|,X5为总体X N(12,4)的样本，试求：1) P(X10);2) P(X(5)15)解l *X X N(12,4)X i 12-N (0,1)2P X(1) 101 P X 1051 P Xi 10i 15Xi 12P 12(151)50.5785P X(5)15Xi15Xi12一 1.55_(1.5) 0.93320.707721设

15、(X1, |,Xm,Xm 1,|,Xm n)为总体X N(0, 2)的一个样本，试确定下列统计量的分 布：mi 1 mm2n Xii 1, 12 Xi13)mXii 1m nXii m 12)2(n)n Xi2 2mXi且i1m n y 2会相互独立，由抽样定理可得:ni，mmi mXi1nXi21 1mXii 1x mm n Y 2X2 ni m 1；t(n)2)因为:m22Xi (m)i 1Xi2 2(n)mXi21所以:i r mni 1 m nXi2 m 1Xi2相互独立,Xi2 m1nF (m, n)Xi2Xi2m 13)因为:Xi N(0,m2)n2Xi N(0, n )所以:2(

16、Xi)i 12-2(1)2(Xi)i m 1，2n2(1)Xi)2Xi)2相互独立,由卡方分布可加性得:mXi1nXin22(2).22设总体X服从正态分布N(2),样本Xi,X2,Xn来自总体X , S2是样本方差，问样本容量n取多大能满足P2(n 1)S232.670.95?解由抽样分布定理：工21S22_ n 1 22(n 1),P(-S2 32.67) 0.95,查表可得：n 1 21 , n 22.23从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等,S2, sf分别为两样本方差，求 PS2S22.39 .解 设口=20,叫=15分别为两样本的容量,22为总体方

17、差，由题意,22(ni 1)S12 19S2 =2(19),(n1)S2 14S： =2(14)22又因Si ,S2分别为两独立的样本方差:19S2 19219_ S1214s2 14 S；2 F(19,14)所以：PSi22S22.39p|2.391 0.95 0.05.24设总体 N(,2),抽取容量为20的样本X1，X2 ,X20 ,求概率1)P 10.8520(Xi)237.57 ；20(Xi X)22)P 11.65 口238.58 .因N(0,1),且各样本间相互独立，所以:故:P 10.8520Xi2)因：-20Xi i 120 Xi2 2(20)37.570.99_ 2X19S

18、22-0.05 0.942(19),所以:11.65 警 38.580.995 0.1 0.895.25设总体X N (80, 2),从中抽取一容量为 25的样本，试在下列两种情况下P( X 803)的值:1)已知20;2)解未知，但已知样本标准差S 7.2674.1)2I X N (80,)2XN(80名),/X 80N(0,1),/25X 80需，(24)26时，求:8020/50.7734801 2 (0.75) 10.45327.2674/5802.0642.064 1 2 0.975 1 0.05设X4|,Xn为总体XN( , 2)的样本，X,S2为样本均值和样本方差，当 n 20X

19、c1) P(X);4.4723)确定 G 使 p( _S C) 0.90 .N(0, 1)4.4724.472XP -_ 10.84132022) P S22222P s22 222S2P2S2其中22二警2(19)，则P 9.519S22-28.52P S222P 9.519S2228.52P 9.52 28.5 0.95 0.05 0.9X<720S/ 20 c其中,XS/ 20t(19),20c P T<0.9所以：Y20 t0.9(19)=1.328，计算得：c 3.3676.27设总体X的均值与方差2存在，若Xi,X2,Xn为它的一个样本，X是样本均值，试证明对j，相关系

20、数r(Xi X,Xj X)证明 r(XiX,XjX)cov(Xi X,Xj X)D(Xi X) ,D(Xj X)Cov(Xi所以：r(Xi28.设总体是它的样本均值,YXiXn i ,可得：YETD(Xi X)D(Xj X)X,XjX,XjX N(,求统计量 N( , 2)X)X)1 2E(XiXj XiX XjX XX) n2),从该总体中抽取简单随机样本Xi,X2, ,X2n(n 1), X则有YN(21 nY 2Xn i 1n(XiXn ii 12(n 1)ESy1设总体的分布密度为:f (X；n(Xi i 1Xi,X2,2 2)22X)2(n1)0,Xn i 2X)2的数学期望.,X2

21、n(n习题二1)x , 01)为该总体的简单随机样本，令(n其它1)S2(Xi, |,Xn)为其样本，求参数值为：0.1 , 0.2 , 0.9 , 0.8 , 0.7的矩估计量Z和极大似然估计量?2 .现测得样本观测,0.7 ,求参数 的估计值.解 计算其最大似然估计:L( ,XiIn L(,Xl|xn)nln(1 Xi1)ln x1ln L( ,x其矩估计为:0.11EX (0n""nlni 10.20.91)x 1dx2XX 10.21120.8 0.70.73.4T1 3 lnXii 1X,?11 2X T-=一 0.3077X 1? 0.3077, ?2 0.21

22、122设总体X服从区间0,上的均匀分布，即X U0,1）求参数的矩估计量？和极大似然估计量，（X1,1|,Xn）为其样本,2）现测得一组样本观测值：1.3求总体均值、总体方差的估计值解 1）矩估计量：1.7 ，2，2.20.3 , 1.1,试分别用矩法和极大似然法EX ； X,?最大似然估计量：2X2.4L( ,X1In L(，X1|xn)无解.此时，依定义可得:maX Xi1 i n02）矩法:EX 1.2, DX20.47212极大似然估计：EX?2-1.1,DX 0.4033212矩估计：EXX,1X3设Xi,Xn是来自总体X的样本,试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量.已知总

23、体X的分布密度为:1)f (x;0未知0,2)f (x；xe x!0,1, 2,|,。未知3)f (x; a,b)b未知其它解1)4)5)6)8)f(x；)f (x；,f (x；,f (x;)f (x；)矩法估计:0,0,24x(x 1)EX最大似然估计:(x(1)/0其它X,未知其中参数，未知0未知其中参数，未知2,3J|，0L( ?1“区)nxii1 ,ln L(,刈瓜)nln2)d一 ln dnxii 10,X - P(最大似然估计:L(,为川Xn)nXie i xnxn ,ln L n nx InXid , , nx 9-In L n 0, 2 X d3)2矩估计：EX ab,DXb

24、a212联立方程：a b M X22b a1 2最大似然估计：nL( ,Xi|xn)f (Xi； )n，1nLi i(b a)n ln( b a)d ln L nda b a0,无解，当？ minnXi时，使得似然函数最大，依照定义，a? min Xi, 同理可得？ max X1 i n1 i n4)矩估计：EXdx0 xln x 0 ,不存在5)0ln x最大似然估计:L( ,xj|xn) n-2,ln L nln 2i 1 Xii 1 Xiln L - 0 ,无解；依照定义， ？ X(1)矩估计：EX-e (x )/ dx (t)e tdt(1)(2)X1) In xii 16)EX2M2

25、最大似然估计:t)2e tdtX1X2XXL(,刈区)ln L n lnIn L依定义有:矩估计:EXEX解方程组可得:最大似然估计:)2222Xi X(2)M2Xi2(Xin1X)2,(Xi X)21-nx0,In LX(1)，1)/1dx1nexp(x )X X(1)0,nx n无解M11dxM2 1m2,11M2L( , ,An 1xii 1n-xii 11,ln Lnlnn lnn .In L n Inln xi0,InL无解，依定义得,x(n)解得*1In x(n)7)矩估计:EXdx2x22 x2te tdt(2)? xM 2最大似然估计:4X23x22xiIn L nln 4 3

26、nlnn Inln xi22 x 22In L2 x 3""0, ?L3n8)矩估计:EXx(x1)2(1)x2x 22 d2dq22 d22dq 1 qX最大似然估计:L( ,x1|(|xn)n(xi1) 2(1i 1d2 d(1)2(1)xd2d(1)a (1x 0)x)"2n(1)nx 2n(X 1)In L 2n In (nx 2n)ln(1)ln(x 1)2In L2n nx 2n一"14.设总体的概率分布或密度函数为f(x;)，其中参数 已知，记p p(x %),样本Xi,., Xn来自于总体X,则求参数p的最大似然估计量 ?.解记 yi 1

27、* a0；Yi 0,Xi a0则 YB(1,p)；nnndyiyiL(p,yi,y2|yn) pyi(i p) yi pi1 (i p)n i1ln L(p,yi，y2“yn) nyln p n(1 y)ln(1 p)袅0%切1向n帚p) 0? Y.L( ,Xi|Xn)e Xinx,ln L nlnnxd . .nln L一dnX xv1000 i i20000 “2010005设元件无故障工作时间 X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组 后得到它的频数分布为：组中值Xi5 15 25 35 45 55 65频数i365 245 150 100 70 45 25的点估计.如

28、果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数.解最大似然估计：0.056已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：1067, 919, 1196, 785, 1126, 936, 918, 1156, 920, 948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.Cc1 nc222解 设灯泡的寿命为x,xN(,)，极大似然估计为：？ X, ? 一(Xi X)n i i根据样本数据得到：？ 997.1, ?2 17235.81 .经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.

29、7.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水肠杆菌的个数(假定一升水肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数 /升01 23456Hfl1720102100试问平均每升水肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解 设x为每升水肠杆菌个数，xP( ), Ex ，由3题(2)问知， 的最大似然估计为X ,所以?L X 0*17 1*20 2*10 3* 2 4*1 /50 1.所以平均每升水肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大.8设总体XN( , 2),试利用容量为n的样本X1,.,Xn ,分别就以下两种情况，求出使P(X A)

30、0.05的点A的最大似然估计量.1)若1时；2)若，2均未知时.解1 )1,的最大似然估计量为X,p x A 0.95, p x A一0.95(-)0.95,A U0.95所以区U0.95 X .2)的最大似然估计量为x ,2最大似然估计为 M2,由极大似然估计的不变性，直接推出A Uw.M； X .0.95 J u9设总体X具有以下概率分布 f(x; ),1,2,3:xf（x;1）f（x；2）f（x；3）01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求参数 的极大似然估计量 ?.若给定样本观测值：1, 0, 4, 3, 1, 4, 3, 1,求最大似然估

31、计值？.解 分别计算1,2,3 ,时样本观测值出现的概率:当1 时，P2时，p0;当3时，p0由最大似然估计可得：？ 11 0 x 10, 其它10 设总体X具有以下概率分布f(x, ),0,1:1,0 x 1f(x；。)甘，f(x；1)0,其匕求参数的最大似然估计量 ？.解最大似然估计应该满足：L maxL 为？2|区;max0,1xi；0 ,f 为；1 ,max0,11,2nx0.5i 1结果取决于样本观测值11设Xi，X2，X3，X,是总体X的样本，设有下述三个统计量:-1 ,、 1 ,、a?1(X1 X2) -(X3 X4)63<?2(Xi 2X2 3X

32、3 4XJ/10J?3(Xi X2 X3 Xj/4指出a,周，a3中哪几个是总体均值 a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小?12E?2E?3所以6(3(1(4Z, ?2, ?3 无偏,设总体X N (),_ -1),D?1 36()/10D?2,D?34 216?3方差最小.为其样本,22) 9(20.3 220.25 22_2)0.27n 1212.21)求吊数k,使？ 一 色1 Xi)为 的无偏估计量;k i 12)求常数k ,使？n|Xii 1x |为的无偏估计量E?2曾X212x iXiX2112(n 1)( k2)2(n1) 22(n 1) 2) k令 e ?22(n1)得 k

33、 2(n1)2)令 ViXinXk1,k iNn0,x2E V、dx . 2n(n 1)2n(n 1)13设X，Xn是来自总体X的样本，并且 EX= , DX=X,S是样本均值和样本方差，试确定常数c,使X2解cS2是2的无偏估计量.E(X2 cS2)EX2 cES2 DX E2X114 设有二元总体(X,Y)所以c - n(X1,Y)(X2,Y2),|,(Xn,Yn)为其样本，证明:A 1n C (Xi X)(Y Y)n 1 i 1是协方差Z Cov( X,Y)的无偏估计量.证明由于Xix yin 1(xinxkk 1,k ivn 1)(yinykk 1,k i )n所以:(n 1)22nx

34、yin(n 1)yek 1,k i2nn(n 1) xkyik 1,k i2nxkykk 1,k i k 1,k i2nV(nExyn(n(n 1)2 二 Exy1)ExEy(n 1)2ExEy(n 1)Exy (n 1)(n 2)ExEyECn( n4xyExEy) nExyExEy cov(X,Y) Z ,证毕.15设总体X N(,样本为X1,., x是样本方差，定义S12S2221S2,试比较估计量22.Si , S哪一个是参数2的无偏估计量?哪一个对的均n 1方误差E(Si22)2最小?ES2 E( n-Xi X 1ESn(Xi2i 1- 2nX )2)EX： 1 2nEX )2)所以

35、2S2是的2无偏估计n 1 _2rs2(n1),所以,DS4, ES2DS2E S2S22 (ESi2)2sI2 (ES；)22n 12n2可以看出S12 22最小.16 设总体U0,，X1, X2,X3为样本，试证:4-max Xi3 1 i 34 min Xi都是参数1 i 3的无偏估计量，问哪一个较有效?解E4X(1)3 n(1 -)0x 4n-dx 1(1 t)n1tdt04n(1t)n 1tdt1(10t)ntdt4E-X(n)34-EX(n)3x n n(-)1 x dx4n1tntdt04nEX(1)一,EX 43(n)4EX(2)2x 7dx12 (10t)2t2dt23210

36、EX(2n)22x x dx1242 t4dt0D4X(1)16DX(1)2216(EX(2)E2X(1)216(10216)D3X(n)16 _DX(n)91622-(EX(2n) E2X(n)916/3 一(一9 5196)15D4X所以4,一 X(n)比较有效.3 ' '17 设?1?是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是4的方差的两倍.试确定常数C1, C2,使得C1?5为 的线性最小方差无偏估计量解：设D 122,D 2E(C1 1C2 2)C2(C1C2),c1C21, C2 1 C1D(g 1c2 2)C2|2 2cf|2 22c221 C12,222C|1 C1

37、3G 2G 12*3c21 c118.设样本Xi,., Xn来自于总体 X,且X P()(泊松分布)，求EX,DX ,并求C-R不等式下界,证明估计量X是参数的有效估计量.1 ，一,-,上式达到最小，此时 32nxie x!nx 11In L nnxlnIn xi!nx n ,I(E(-d2-In L)ndDXEX EX , DX n nxi! 219所以其C-R方差下界为f(x,)0,其它X1,., Xn是来自于总体X的样本,对可估计函数g(求g()的有效估计量0()，I()所以 X是参数有效估计量 设总体X具有如下密度函数，并确定R-C下界.解因为似然函数L( ,x11,Innln1)9n

38、LInInxiIn xig()In x所以取统计量E In Xi1In x01dx1In0xdxIn1dx得ET2 = g(In xi是无偏估计量令 c( ) n由定理2.3.2知是有效估计量，由 DTg () c()12所以C-R方差下界为20设总体X服从几何分布：P(Xk 1k) P(1 P) , k1,2,|小对可估计函数g(P)1)求g( P)的有效估计量T(X1,|,X)；2)3)求 DT 和I(p);验证T的相合性.解1)因为似然函数L(P，Xl |Xn)lnn ln p(nxnP(1i 1n)ln(1P)xinnx np (1 p)P)d ln LdPnX nX g(P)所以取统

39、计量又因为 EX EXkP(1P)k(1P)n d kqk 1 dqdp 一dqPdq 1 p所以T X是g( p)的无偏估计量，取c(P),由定理2.3.2得至ij,是有效估计量2)I(P)c(P)g (P)1P2(1 P),DTg (p) c(p)1 P2 npDXDXq2np0,(n所以是相合估计量.21设总体X具有如下密度函数,lnf (x；10,其它X1，., xn是来自于总体 X的样本,是否存在可估计函数g()以及与之对应的有效估计量g>( ) ?如果存在g()和g?(),请具体找出，若不存在，请说明为什么解因为似然函数L(,XilnInnxln LInInInnxlnln dnlnnxIn所以令InEX所以g()所以:InEX