圆锥曲线轨迹方程经典例题

1、轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P124B组2:长为2a的线段的两个端点在 x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：1必修2课本 P124B 组:已知M与两个定点(0,0), A (3,0)的距离之比为，求点M的轨迹 2方程；(一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(x, y)与两个定点 M1,M2的距离之比为1进行讨论)一个常数m ；讨论点M(x, y)的轨迹方程(分 m=1,与m92、必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x 1)2 y2 1上2 J2 ,在y轴上截得线段长为运动，求AB的中点M的轨迹。在平面直角坐标系 xOy

2、中，已知圆P在x轴上截得线段长为(1)求圆心的P的轨迹方程;(2)若P点到直线y x的距离为池，求圆P的方程。2如图所示，已知 R4, 0)是圆x2+y2=36内的一点，A B是圆上两动点，且满足/ AP=90° , 求矩形APBQ勺顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R,坐标为(x, y),则在RtABP中，| AR=| PR.又因为R是弦AB 的中点，依垂径定理：在 Rt OAR 中，| AR2=| AO2 | OR2=36 (x2+y2)又 |AR=| PR= &x4py2 所以有(X4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y2 4x10=0 因此自 R在一 个圆上

3、，而当 R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Qx,y), Rxi,yi),因为R是PQ的中点，所以xi=-x-,y1 _y_°,代入方程x2+y2212-4x-10=0,得(*匕)2 d)2 4 10=0整理得：x2+y2=56，这就是所求的轨迹方程. 222在平面直角坐标系 xOy中，点A(0,3)，直线l : y 2x 4 .设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y x 1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M ,使MA 2MO ,求圆心C的横坐标a的取值范围.(2013陕西卷理20)已知动圆过定点 A(4,0),且在y轴上截得弦

4、MN的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹 C的方程；(2) 已知点B( 1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点 P,Q，若x轴是 PBQ的角平分线，证明直线 l过定点。二、椭圆类型：3、定义法：(选彳2-1P50第3题)点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线 x 81的距离之比为1 ,求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1,而是大于1,或等于1是的情形呢？(对应双曲线,抛物线)F24、圆锥曲线第一定义:(选修2-1P50第2题)一个动圆与圆 x2 y26x 5 0外切,同时与圆x2y26x 91 0内切，求动圆的圆心轨迹方程。225、圆锥

5、曲线第一定义：点M(x°, y°)圆 Fi (x 1) y 9 上的一个动点，点 F2 (1,0)为定点。线段MF2的垂直平分线与 MF1相交于点Q(x, y),求点Q的轨迹方程;(注意点F2 (1,0 )在圆内)6、其他形式：(选修2-1P50例3)设点A,B的坐标分别是(-5,0 ), (5,0),直线AM,BM4相父于点M且他们的斜率的乘积为一，求点M的轨迹方程：(是一个椭圆)9 ,4 (讨论当他们的斜率的乘积为-时可以得到双曲线)9(2013新课标1卷20)已知圆M :(x 1)2 y2 1,圆N:(x 1)2 y2 9 ,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨

6、迹为曲线C。 (1)求C的方程；(2) l是与圆P ,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求AB(2013陕西卷文20)已知动点M(x, y)到直线l:x 4的距离是它到点 N(1,0)的距离的2 倍。(1)求动点M的轨迹C的方程(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率。三、双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M(xo,yo)圆Fi (x 1)2 y2 1上的一个动点，点F2 (1,0 )为定点。线段 MF2的垂直平分线与 MFi相交于点Q(x, y),求点Q的轨迹方程;(注意点F2 (1,0)在圆外)定义法：(选修

7、2-1P59例5)点M(x, y)与定点F(5, 0)的距离和它到定直线5之比为5 ,求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)416 s x 一的距离5四、抛物线类型：10、定义法：(选修2-1 )点M(x , y)与定点F(2, 0)的距离和它到定直线x 2的距离相等，求点 M的轨迹方程。(或：点M(x, y)与定点F(2, 0)的距离比它到定直线 x 3的距离小1,求点M的轨迹方程。)(2013陕西卷文20)已知动点M(x, y)到直线l：x 4的距离是它到点 N(1,0)的距离的2倍。(1)求动点M的轨迹C的方程(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点，若 A是PB的中点，求

8、直线 m的斜率已知三点O(0,0) , A( 2,1), B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足uuur uuiruuur uuu uur| MA MB | OM (OA OB) 2。(1)求曲线C的方程；)在直角坐标系 xOy中，曲线C的点均在 G: (x-5) 2+y2=9外，且对Ci上任意一点 M, M 到直线x=-2的距离等于该点与圆 G上点的距离的最小值.(I)求曲线Ci的方程；设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M 在直线l上，且满足I DM1 二m| DA| (m>0,且rn 1)。当点 M圆上运动时，记点

9、M勺轨迹为 曲线Q(I)求曲线C勺方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标;，一 Ix2如图，椭圆C0： -2a2 y1(a b 0 , a, b为常数)，动圆 G : x2 y2ti2, b ti顶点，Ci与Co相交于A B, C, D四点。(I)求直线AAi与直线A2B交点M的轨迹方程a。点A1, A2分别为C0的左，右(四川)如图，动点 M到两定点A( 1,0)、 设动点M的轨迹为C。(I)求轨迹C的方程；(n )设直线y 2x m与y轴交于点P , 与轨迹C相交于点Q、R ,且| PQ | | PR|, 求LPRJ.的取值范围。|PQ|B(2,0)构成 MAB ,且 MBA 2 M

10、AB ,1.( )已知椭圆的焦点是 Fi、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长 FiP到Q使得|PQ=| PE| ,那么动点Q的轨迹是()A. 圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线22.( )设A、A是椭圆 92=i的长轴两个端点，p、P2是垂直于AiA2的弦的端点, 4B.则直线AiPi与A2P2交点的轨迹方程为()A.2222C.工匕 iD. i9494二、填空题 sin B= sin A则动点A的轨迹方程为 3.( )AABC, A为动点，B、C为定点,B(- - ,0), C( a ,0),且满足条件 sin C- 2224 .( )高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距

11、 i0 m ,如果把两旗杆底 部的坐标分别确定为N 5, 0)、B(5 ,。)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解答题5 .( )已知A R C是直线l上的三点，且| AB|=| BC=6 ,。O'切直线l于点A,又 过R C作。O异于l的两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.26.( )双曲线， a2 y_ b2=1A>Q±AP, A1Q与A2Q的交点为的实轴为AA2,点P是双曲线上的一个动点，引求Q点的轨迹方程.AQ! A1P,27.( )已知椭圆事 a2、 =1(a>b>0),点P为其上一点，Fi、F2为椭圆的焦点，/ bFi

12、PE的外角平分线为l ,点F2关于l的对称点为 Q F2Q交l于点R(1)当P点在椭圆上运动时，求 R形成的轨迹方程;(2)设点R形成的曲线为 C,直线l ： y=k(x+J2a)与曲线C相交于A、B两点，当 AOB的面积取得最大值时，求 k的值.一、1.解析:.|PF|+| PF2|=2 a,| PQ=| PF2|,，|PF|+| P团=| PFi|+| PQ=2 a,即 |FiQ|二2 a, 动点Q到定点Fi的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析:设交点P(x,y) ,A(3,0),A2(3,0),R(X0, y0),P2( X0, y0)A、Pi、P 共线,y Vo yxx0x

13、 3F2、 P 共线y一y0 y解 得x x0 x 32222x0=9,y。3X,代入得出竺i,即上匕ix x9494二、3.解析：由sinC sin B=1sin A得c b=1a,，应为双曲线一支，且实轴长为 -, 222故方程为-216x22- a216y2 恒 a、2- i(x -).3a24答案:16x22-a16y 什 a、 i(x )3a2454.解析：设P( x, y),依题意有.5,(x 5)2 y2(x 5)2=,化简得P点轨迹方程为 2y4x2+4y2-85x+i00=0.答案：4x2+4y2-85x+i00=0三、5.解：设过 R C异于l的两切线分别切。I ba=|

14、bd ,O'于D E两点，两切线交于点|PD=I pe , I CA=| ceP.由切故I PB+| PC=I bd+| pd+| pc=I ba+| pe+| pc二|BA+| CE=| AB+I C午6+i2=i8 >6=|BC ,故由椭圆定义知，点P的轨迹是以 R点的椭圆，以2迹方程为8i6.解:设l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点2 y 为二i(yw0)P(x0,y0)(xw ± a), Qx, y).C为两焦P的轨. A(-a,0), A2( a,0).y ,x a由条件yx aVox0 ax0x(x0a)22x aV。x°

15、;aV。而点Rx°, y°)在双曲线上，b2x02 a2y02=a2b2.2b222即 b2(-x2)-a2( - )2=a y化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xw ± a).8.解：(i) .点F2关于l的对称点为Q连接PQZ F2PF=Z QPR | F2R=| QR, | PQ=| PE|又因为l为/ FiP桎外角的平分线，故点Fi、P、Q在同一直线上，设存在R(xo, yo) , Qxi, yi), Fi( c,0),|FiQ=| F2P|+| PQ=| FiP|+|F2( c,0).PE|=2 a,则(xi+c)2+yi2=(2a)2.x

16、o又V。x1c2得 xi=2x。一c, yi=2y。.(2 xo) 2+(2y。) 2=(2 a) 2,xo2+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y w 0)1a(2)如右图，: 及ao=- | OA | OB sin AOB- sin AOB当/AOB90°时，&aob最大值为1a2.2此时弦心距| oc=匚卷k |. ,1 k2在 RtAAOC, / AOC45 ,日必k| cos45 |OA| a,i k2,2专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1 .如图1, ABC中，已知B( 2,0) , C(2,0),点A在x轴上方运动，且tanB tanC 2

17、, 则顶点A的轨迹方程是.2 .如图2,若圆C ： (x 1)2 y2 36上的动点M与点B(1,0)连线BM的垂直平分线交3 .如图3,已知点A(3,0)，点P在圆x2 y2 1上运动，AOP的平分线交AP于Q ,则Q的轨迹方程是.4 .与双曲线x2 2y2 2有共同的渐近线，且经过点(2, 2)的双曲线方程 为.5 .如图4,垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2 2( x 1)分别交于点A、P,点B在y 轴上，且点A满足| AB | 2| OA|,则线段PB的中点Q的轨迹方程是 .几种常见求轨迹方程的方法：1 .直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件 列出

18、等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法.直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式代换化简检验；【例1】(1)求和定圆x2 y2 R2的圆周的距离等于 R的动点P的轨迹方程；过点A(a,0)作圆O：x2 y2 R2 (a R 0)的割线，求割线被圆 O截得弦 的中点的轨迹.解：(1)设动点 P(x, y),则有 |OP| 2R 或 |OP| 0.即 x2 y2 4R2 或 x2 y2 0 .故所求动点P的轨迹方程为x2 y2 4R2或x2 y2 0 .(2)设弦的中点为 M (x, y),连结OM ,则OM AM .丁 kOM kAM 1 ,x 六 1'化简得：(x

19、 f)2 y2 (f)2-其轨迹是以OA为直径的圆在圆。内的一段弧(不含端点).【例2】已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C ： x2 y2 1 ,动点M到圆C的切线长可化为5"(-,0)，如等于圆C的半径与|MQ|的和.求动点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解：如图，设 MN切圆C于N ,又圆的半径|ON | 1 ,一 22-22|OM | |NM | |ON | NM |1,一 | MN | 小 OM |2 1 ,由已知 | MN | | MQ | 1 .设 M(x,y)JUjx2 y2 1 J(x 2)2 y2 1, 2x 3 J(x 2)2 y2 ,即 3x2 y2

20、 8x 5 0 (x |)4 2239(x 4)2 3y2 1 (x ).1,4故所求的轨迹是以点(一,0)为中心，实轴在x轴上的双曲线的右支，顶点为3图.【例4】已知定圆 A的半径为r ,定点B与圆A的圆心A的距离为m (m 2r).又一动圆P过定点B ,且与定圆A相切.求动圆圆心 P的轨迹方程.解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立坐标系，如图.当动圆P与定圆A外切时，|PA| |PB| r；当动圆P与定圆A外切时，由双曲线的定义知动圆圆心内切时为左m 一，又a222m rP的轨迹应是以A、|PB| |PA| r .支).显然，c222故b c a2所以所求的点P轨迹方程是：勺

21、r2y 122m r443 .动点转移法：若动点P(x, y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动，且x0、y0可 用x、y表不，法称为动点转移法(或代换法或相关点法)【例5】已知定点 A(3,1)、B为抛物线y2 x 当B点在抛物线上变动时，求点 P的轨迹方程.2解：设点P(x, y),且设点B(x0, yo),则有y0 坐标公式得：xo 3x -_2，.二 x0 2x 3 .将此V。1yo 2y 1y 2一2 一 一(2y 1) 2x 2,即为所求轨迹方程.它是一条抛物线.1,上任意一点，点 P在线段AB的中点，xo 1. 点P是线段AB的中点.由中点式代入y2 xo 1中，并整

22、理得：则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程.这种方114 .待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程， 求出所设的参数，进而求出方程.如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待 定系数法求.【例7】若抛物线y2 4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点,又直线y 2x被双曲线截得的线段长等于2,5 ,求此双曲线方程.解：设所求双曲线方程为22yx2,2ab.2一一 一 2 222 2_1 ,将y 4x代入整理得：a x 4b x a b o.抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等,因此方程 a

23、2x2 4b2x a2b2 o 应有等根.，16b4 4a3b2 o ,即 a2 2b.22由 y 2x和 4 占 1 得：(4b2 a2)x2 a2b2 o.a ba2b24b2-2),由弦长公式得:,1 22%(x1 x2)24x1x2一 c c a2 2boo即a b 4b a .由 2 222得：a 2 , b 1 .，双曲线的万程是a2b2 4b2 a25.参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t并用t表示动点P的坐标x、y ,从而动点轨迹的参数方程x f(t)消去参数t,便可 y g得到动点p的的轨迹的普通方程， 但要注意方程的等价性， 即有t的

24、范围确定出X、y的范围.【例8】抛物线x24 y的焦点为F ,过点(0, 1)作直线交抛物线于不同两点AF、BF为邻边作平行四边形FARB,求顶点R的轨迹方程.解：设 R(x,y), AB : y1 kx, AB 中点为 M(X0,y0), AM»)，B(X2,y2),与 x24y联立得：x2 4kx 4 0 .16(k2 1) 0, x1 x2 4k , x1 x2 4.24.2yi y2 2 k(xi x2) 4k , yi y2 4k 2._2M (2k,2k 1)，丁 F(0,1) , M 为 AB 中点，x 4k, y 4k2 3 .消 k得：x2 4(y 3) (y 1)

25、.巩固练习：1 .平面上和两相交的定圆(半径不等)同时相外切的动圆圆心的轨为(D)双曲线(A)椭圆的一部分(B)椭圆 (C)双曲线的一部分2 .已知动点M与定点F (2,0)的距离比动点 M到y轴的距离大2,则动点M的轨迹()(A)抛物线(B)抛物线的一部分(C)抛物线和一射线(D)抛物线和一直线3 .已知定直线l和l外一点 (A)抛物线4 . 一动圆与两圆 x2y2(A)圆(B)A ,过A与l相切的圆的圆心轨迹是()(B)双曲线(C)椭圆(D)直线. 一 221和x y 8x 12 0都外切，则动圆圆心轨迹为(椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线5.已知椭圆的焦点是F1、F2、P是椭圆上的一个

26、动点.如果延长FP到Q ,使得| PQ | | PF? |,那么动点Q的轨迹是()(A)圆6 .已知点A( 2,0)、(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线uuu uuuB(3,0),动点P(x,y)满足PA PB x2,则点P的轨迹是()(A)圆7 .与圆 x2 y2 4x(A) y2 8x(0 y2 8x (x(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是(2(B) y 8x (x 0)和 y 02一0)(D) y2 8x (x 0)和 y 0 (x 0)8 .过抛物线y2 2x的焦点作直线与此抛物线相交于两点P、Q,则线段PQ中点的轨迹方程为()，一、2222(A) y 2x 1(B) y 2x 1(C) y 2x 2(D) y 2x 29 .过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和于y轴对称，mmurnLULT uurO为坐标原点，若BP 2PA,且OQ ABo 3 o(A) 3x2 -y2 1 (x 0, y 0)23(0 -x2 3y2 1 (x 0, y 0)210 .已知两点 M ( 2,0)、 N(2,0),点y轴的正半轴交于 A B两点，点Q与点P关1 ,则点P的轨迹方程是()23 2(B) 3x2 -y2 1 (x 0, y 0)23 22(D) -x2 3y2 1 (x 0, y