空间点线面位置关系精讲精练

1、空间点线面位置关系精讲精练一.学习目标1 .理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.二.重点难点教学重点：三个公理的教学是重点。平面的基本性质是立体几何的基础。教学难点：公理的理解与运用是难点，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现.知识梳理1 .四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的F 有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于

2、同一条直线的两条直线平化2 .直线与直线的位置关系位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点(2)异面直线所成的角定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线a' / a, b' / b,把a'与b' 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a, b所成的角(或夹角).范围：0, 2.3 .直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4 .平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5 .等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 .思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打或"X”

3、)(1)如果两个不重合的平面 “，3有一条公共直线 a,就说平面% 3相交，并记作an 3= a.()(2)两个平面% 3有一个公共点A,就说 3相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面% 3有一个公共点A,就说 3相交于A点，并记作an 3= A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()5 .典例剖析题型一平面的基本性质例1(1)(安徽理)在下列命题中，不是公理的是 ()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D

4、 .如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)下列命题正确的个数为 ()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(3)下列如图所示是正方体和正四面体，P、面的图形是.Q R S分别是所在棱的中点，则四个点共 课堂练习1:已知空间四边形 ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：CD MN >2i 1i 1i 1（AC+BD）; MN>2（AC+BD）; MN = 2（AC + BD

5、）; MN<2（AC+BD）.其中正确的是.题型二平面基本性质应用例2 已知在正方体 ABCD AB1CD中，E, ACnEF = Q.求证：(1) D, B, F, E 四点共面； 三点共线；(3) DE BF, CC三线交于一点.1F分别为DC, CB1的中点，ACABD=P,(2)若AC交平面DBFEF R点，则P, Q, R1课堂小结：(1)点共线问题的证明方法：证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)线共点问题的证明方法：证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线 经过这点，将问题转化为证明点在直

6、线上。3 / 8（3）点线共面问题的证明方法：纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证有关点、线确定平面a ,再证明其余点、线确定平面3 ,最后证明平面a , 3重合.课堂练习2:如图，平面ABEFL平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，, 一， 一 _ 1一 1/BAD = /FAB=90 , BC/AD 且 BC= AD , BE/AF 且 BE = AF , G、H分别为FA、FD的中点.（1）证明：四边形 BCHG是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？题型三判断空间两直线的位置关系例3 （1）（高考广东卷文）若直线li

7、和12是异面直线，li在平面内，12在平面 内，1是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（）A. 1至少与11 , 12中的一条相交BC. 1至多与11 , 12中的一条相交D1与11, 12都相交1与11, 12都不相交（2）在图中，G、中点，则表示直线N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱 ）的顶点或所在棱的GH、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）E, F分别为棱AA ,（3）在正方体ABCD-A BCD中, 直线ADj EF, CD都相交的直线有CC的中点，则在空间中与三条 1条.平行和垂直的判定.对于异面直线，（梯形）中位线的性质、公理 4及线面课堂小结

8、：空间中两直线位置关系的判定， 主要是异面、可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.3 / 8课堂练习3:如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M, N分别是BCi, CDi的中点，则下 列判断错误的是（）A . MN与CCi垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行 D. MN与AiBi平行题型四 求两条异面直线所成的角例4 新课标全国卷n 直三棱柱 ABCABCi中，/ BCA= 90° , M N分别是 AB, AG的中点，BO CA= CC,则BMf AN所成角的余弦值为（）i A A.i

9、02B.5C且C. io9 / 8例5 （高考广东卷理）如图2,三角形PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直， PD=PC=4, AB =6 , BC=3.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段 AB、BC 上，且 AF=2FB, CG=2GB. （i）（略）（2）（略）（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.C例6 空间四边形 ABCD中，AB = CD且AB与CD所成的角为30°, E、F分别为BC、AD 的中点，求EF与AB所成角的大小.课堂小结：（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用 图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或

10、中点）作平行线平移；补形平移.（2）求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.课堂练习4:（1）大纲全国）已知正四面体 ABCD中，E是AB的中点，则异面直 线CE与BD所成角的余弦值为（）1A.6B.Vc.3D.i3(2)直三棱柱 ABC AiBiCi中，若/ BAC = 90°, AB = AC=AAi,则异面直线 BAi与ACi所成 的角等于()A. 30° B. 45° C. 60°

11、 D, 90°重要数学思想方法：构造模型判断空间线面的位置关系例7 （上海高考）已知空间三条直线l, m, n,若l与m异面，且l与n异面，则m与n的 位置关系是.【智慧心语】易错提示：不能结合答案及条件构造模型，否则易错.防范措施：这类题目可以以常见的空间几何体（如正方体，正四面体等）为模型进行推理或者反驳.课堂练习5:（广东）若空间中四条两两不同的直线li, l2, l 3, l4,满足li_Ll2, l2_Ll3, l3_Ll4,则下列结论一定正确的是 （）A. li±l4B . li / l4 C. li与l4既不垂直也不平行D. li与l4的位置关系不确定六. 课

12、后总结：方法与技巧1 .主要题型的解题方法（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点 也在这个平面内（即“纳入法”）.(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线.2 .判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点 B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3 .求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面 问题来解决.根据空间等角定理及

13、推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.失误与防范1 .正确理解异面直线 “不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2 .不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3 .两条异面直线所成角的范围是 (0 °, 90° .七.家庭作业：A组1.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,、/2和a,且长为a的棱与长为，2的棱异面，则a的取值范围是()A. (0,也)B. (0, 3) C. (1, >/2) D. (1, <3)2.四棱锥PABCD的所有侧棱长都为 所

14、成角的余弦值为()乘,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA2553 A.方 B.T43C.5 D.53.设P表示一个点，a、b表示两条直线， 正确的命题是()PCa, PC ? a?*anb=P, b?傥 ? b? a；加炉=b, p e % p e 仅 p e b. A. B. C. D.a、3表示两个平面，给出下列四个命题，其中a? & a/ b, a? a, PC b, PC a4.如图所不，平面 a, 位置关系是.丫两两相交，a, b, c为三条交线，且 a/b,则a与c, b与c的5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 所在的平面与直线 CE, EF相交的平

15、面个数分别记为a上，且 AB/CD,正方体的六个面 m, n,那么 m+n =.6 .若两条异面直线所成的角为60。，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对"共有 对.7 .如图，空间四边形 ABCD中，E、F、G分别在 AB、BC、CD上，且满 足 AE : EB=CF : FB=2 ： 1, CG ： GD = 3 ： 1,过 E、F、G 的平面交 AD 于点H.(1)求 AH：HD; (2)求证：EH、FG、BD 三线共点.8 .如图，在四麴隹OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OAL 底面ABCD, OA=2, M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线 OC与MD所成角的正切 值的大小.B组9 .以下四个命题中：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点 A、B、C、E共面，则点 A、B、C、D、E共面; 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条 线段必共面.正确命题的个数是 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 310 .如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G