空间角的求法精品(教案)汇编

1、学习-好资料空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异 面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。空间角的计算思想主要是 转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是： 一找、二证、三计算。一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：0”：二90：1（一）平移法【例1】已知四边形 ABCD为直角梯形， ADBC, /ABC =90，, PA _L平面AC ,且BC = 2 ,PA = AD = AB =1,求异面直线 pc与BD所成角的余弦值的大小。【解】过点C作CE/

2、 BD交AD的延长线于E ,连结PE ,则PC与BD所成的角为/ PCE或它的补角。;CE = BD = 2 ,且 PE = J PA2 AE2 二三而人PC2 CE 2- PE 2.3.二由余弦定理得c o S PCE =2PC CE6，PC与BD所成角的余弦值为W36（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱 ABC -AB1G的底面边长为8,侧棱长为6, D为AC中点。求异面直线 AB1更多精品文档与BCi所成角的余弦值。Ai1【答案】25ABCi、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：0二3二903方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三麴t PABC中，/APB=90,

3、 NPAB=60,，AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上，求直线PC与平面ABC所成的角的大小。【解】连接OC,由已知，/OCP为直线PC与平面ABC所成角设AB的中点为D ,连接PD,CD。AB = BC = CA,所以 CD _L AB；/APB =90，,/PAB =60，所以APAD为等边三角形。不妨设 PA = 2,则 OD =1,OP =J3,AB =4CD -2 .3, OC ”OD2 CD2 =。13在 RtAOCP 中,tan OCP uOP .339OC 一 113 一 73【变式练习1】如图，四棱锥 S ABCD中，AB/CD , BC _L CD ,侧面

4、SAB为等边三角形。AB =BC =2, CD =SD=1 ,求AB与平面SBC所成的角的大小。【解】由AB_L平面SDE知，平面 ABCD_L平面SDE,_ SD SE作 SF _L DE ,垂足为 F ,则 SF _L 平面 ABCD , SF =DE作 FG _L BC ,垂足为 G ,则 FG = DC =1连 ZSG,则 SG_LBC,又 BC_LFG , SGp FG =G故BC _L平面SFG ,平面SBC 1平面SFG作FH 1SG, H为垂足，则FH _L平面SBCSF FG 212iFH =，即F到平面SBC的距离为 SG 77由于ED/BC ,所以ED平面SBC,故E到平

5、面SBC的距离设AB与平面SBC所成的角为口，、21，贝U7d 则sin工EB,21=arcsin7【变式练习2】如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形，AD 1 PD , BC = 1, PC = 2 J3 ,PD =CD =2,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【解】过点P作PE _LCD于点E ,连接BE：AD_L P D AD Q CU 平面 PDC _L 平面 ABCD ,PE，面ABCD ,则/PBE是直线PB与平面ABCD所成角_ p CDu PD=2, PC=2-3= . PDC120= PE 3 , D E 1S/在 RtABCE 中，BE = JBC2 +

6、CE2 =尺=PB=jBE2 + PE2 =3r -l ，PE 、39在 RtABPE 中，sin/PBE=-PB 13三、二面角的求法二面角的范围：0； ; 180；求二面角的大小， 关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法：（一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一 “点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）B【例3】在三棱锥PABC中，/APB =/BPC =/APC =60，,求二面角 A PB C的余弦值。【解】在PB上取PQ =1,作MQ _L PB交

7、PA于M ，作QN _LPB交PC于N1 cos/MQN = 一3【变式练习】 如图，点A在锐二面角aMN -P的棱MN上，在面a内引射线AP ,使AP与MN所成角/PAM =45，,与面P所成角的大小为30、求二面角a - MN P的大小。N【解】在射线 AP上取一点B ,作BH _L P于点H ,作HQ _L MN于Qsi kBQ H =巫，则 口 一MN P为 45, 2（二）利用三垂线三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射

8、影。从半平面内的任一点 A出发向另一个半平面 P引一条直线 AH ,过H作棱l的垂线HG ,垂足为G ,连AG ,则由三垂线定理可证l _L AG,故/AGH就是二面角a -l -P的平面角。垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。【例 4】如图，在三麴i PABC 中，/APB =90, /PAB=60,，AB=BC=CA,点 P在平面 ABC内的射影O在AB上，求二面角 B -AP-C的大小。【解】过 AB中点D作DE _L AP于E ,连接CE ,由已知可得，CD_L平面PAB据三垂线定理可知，CE _

9、PA则ZCED为B AP C的平面角易知，若 AB=1,则 DE =J3, CD =2j3在 RtACDE 中，tan/CED = ?号=2DE 3【变式练习】在直三棱柱 ABC AB1cl中，ZBAC =90 , AB = BB1 =1 ,直线B1C与平面ABC成30角，求二面角 B BC A的正弦值。【解】由直三棱柱性质得平面 ABC _L平面BCC1B1 ,过A作AN _L平面BCC1B1垂足为N ,则AN，平面BCC1B1 （ AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ，棱B1C ,垂足为Q ,连QA则NNQA即为二面角的平面角。A ABi在平面ABC内的射影为AB , CA-

10、L ABCA -LB1A ,又 AB =BB1=1，得 AR =衣:直线BQ与平面ABC成30角，BiCB =30，,又 BC = 2,则 RtABiAC 中，由勾股定理得 AC = J2, AQ =1 ,在 RtABAC 中，AB=1, AC =72 ,得 AN =- 3sin AQNAN 在AQ 一 36即二面角B -BiC -A的正弦值为 3从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cose =且）求出二面角的大小 e 。S求证:co

11、s包 S【例5】如图，E为正方体 ABCD ABiCiDi的棱CCi的中点，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成锐角的余弦值。，一一，、一，2【答案】所求二面角的余弦值为-3【变式练习】如图， S是正方形ABCD所在平面外一点，且 SD_L面ABCD, AB = i, SB = J3。求面ASD与面BSC所成二面角的大小。【答案】45;四、真题演练1 .（山东）已知三棱柱ABC -AB1cl的侧棱与底面垂直，体积为9,底面是边长为/3的正三角形，若P 4为底面AiBiCi的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）.5- 一：-一：A 二B. C. D.123462 .（大纲）已知正四棱

12、柱 ABCdABGD中，AA=2AB,则CD与平面BDCi所成角的正弦值等于（）D.133 .（山东）如图所示，在三棱锥 PABQ中，PB_L平面ABQ, BA = BP = BQ , D,C,E, F分别是AQ, BQ, AP,BP的中点，AQ=2BD, PD与EQ交于点G , PC与FQ交于点H ,连接GH。(1)证明：AB / GH ;（2）求二面角D GH E的余弦值。4 .（陕西）如图，四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面ABCD, AB =AAi = ，2。（i）证明：A1c，平面 BBiDiD ；（2）求平面 0cBi与平面BB1D1D的夹角日的大小。ABCD是正方形， 0为

13、底面中心，AiO _L平面5.（湖南理）如图在直棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AD / BC , /BAD = 900 , AC_L BD ,BC =1, AD = AA1 =3（1）证明：AC _lBD ；（2）求直线BiCi与平面ACDi所成角的正弦值。6.（四川理）如图，在三柱 ABC -AiBiC 中，侧棱 AA _L 底面 ABC , AB = AC = 2AA, /BAC = i20 ,D,Di分别是线段BC, BCi的中点，P是线段AD的中点.（2）设（i）中的直线l交AB于点M ,交AC于点N ,求二面角7.如图，在四棱锥 SABCD中，AD；BC且AD_LCD ；平面

14、CS=2AD=2； E 为 BS 的中点，CE = J2, AS = J3 .求：（i）点A到平面BCS的距离；（2）二面角ECDA的大小。【解】（i） ； ADBC ,且 BC 二 T BCSAD/T BCS则A点到平面BCS的距离等于点到平面 BCS的距离T CSD 1 ABCD, AD 1 CD故AD _L平面CSD ,从而AD _L SD由 AD / BC，得 BC，DS又由CS，DS知DS _L平面BCSA AM N的余弦值.TrBC1plCSD_L 平面 ABCD , CS_L DS ,cB（i）在平面ABC内，试作出过点P与平面ABC平行的直线l ,说明理由，并证明直线l_L平面庆口口1八；S从而DS为点A到平面BCS的距离. Rt&ADS中 DS =JAS -AD =T3N = J2(2)如图，过E作EG _LCD ,交CD于点G ,又过G点作GH _LCD交AB于H故/EGH为二面角ECDA的平面角，记为8,过E作EFBC，交CS于点F，连结GF平面 ABCD _L平面 CSD, GH _L CD易知 GH IGF ,故 0 =NEGF1由于E为BS边中点，故CF