高一函数大题训练及答案

1、高 中 函 数 大 题 专 练1、已知关于x的不等式(kx k2 4)(x 4) 0,其中k Ro试求不等式的解集 A;对于不等式的解集 A,若满足AI Z B (其中Z为整数集)。试探究集合B能否为有 限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B ;若不能，请说明理由。2、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。对任意的x 0, 1，总有f(x) 0;当 x1 0,x2 0,x1 x2 1 时，总有 f(x1 x2) f (x1) f(x2)成立。已知函数g(x) x2与h(x) a 2x 1是定义在0, 1上的函数。(1)试问函

2、数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3)在(2)的条件下r,讨论方程g(2x 1) h(x) m (m R)解的个数情况。3.已知函数f(x)2x12|x|(1)若f (x) 2 ,求x的值；(2)若2tf(2t) mf(t) 0对于t 2, 3恒成立，求实数 m的取值范围4.设函数f (x)是定义在R上的偶函数.若当x 0时，f (x),x 0;0, x 0.(1)(2)求f(x)在(请你作出函数,0)上的解析式.f(x)的大致图像.(3)当0 a b时，若f(a) f(b),求ab的取值范围.(4)若关于x的方程f2(x) bf (x) c 0

3、有7个不同实数解，求b,c满足的条件.5.已知函数 f(x) a (x 0)。 |x|(1)若函数 ”*)是(0,)上的增函数，求实数 b的取值范围；(2)当b 2时，若不等式f (x) x在区间(1,)上恒成立，求实数 a的取值范围；(3)对于函数g(x)若存在区间m,n(m n),使x m,n时，函数g(x)的值域也是m, n,则称g(x)是m, n上的闭函数。若函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探求a,b应满足的条件。26、设f (x) Jaxbx ,求满足下列条件的实数 a的值：至少有一个正实数 b，使函数f (x)的定义域和值域相同。7 .对于函数f (x),若存在x0 R ,使

4、f(x0) x0成立，则称点(,x0)为函数的不动点。2(1)已知函数f(x) ax bx b(a 0)有不动点(1, 1)和(-3, -3)求a与b的值；(2)若对于任意实数b ,函数f (x) ax2 bx b(a 0)总有两个相异的不动点，求 a的 取值范围；(3)若定义在实数集 R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。18 .设函数f(x) x (x 0)的图象为C1、C1关于点A (2, 1)的对称的图象为 Ct, xC2对应的函数为g(x).(1)求函数y g(x)的解析式；(2)若直线y b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标.9 .设定义在(0,

5、)上的函数f(x)满足下面三个条件：对于任意正实数 a、b ,都有f (a b) f (a) f (b) 1 ； f (2) 0 ;当x 1时，总有f(x) 1. 一 1、(1)求”1)及£(一)的值；2(2)求证： “乂)在(0,)上是减函数.1 310 .已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x 2,0)时，f(x) tx,x3 (t为2常数)。(1)求函数f (x)的解析式；(2)当t 2,6时，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值时的x,并猜想f (x)在0,2上的单调递增区间(不必证明)；(3)当t 9时，证明：函数 y f(x)的图象上至少有一个点落在直线y

6、 14上。x 7 一11 .记函数f x J2 的定义域为 A, gx lg 2x b ax 1 b 0, a R的定义域为B ,(1)求 A ：若A B,求a、b的取值范围x12、设 f x- a 0, a 1。1 ax(1)求f x的反函数f 1 x ：(2)讨论f 1 x在1.上的单调性，并加以证明：(3)令g x 1 log a x，当m, n 1, m n时，f 1 x在m,n上的值域是g n ,g m ，求a的取值范围。13.集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：(1)函数f(x)的定义域是0,);(2)函数f(x)的值域是2,4);(3)函数f(x)在0,)上是增函数.试分

7、别探究下列两小题：(I)判断函数f1(x) & 2(x 0),及f2(x) 4 6 (1)x(x 0)是否属于集合 A?并简 2要说明理由.(n)对于(I)中你认为属于集合 A的函数f(x),不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1),f(x) (x 0)f(x) (x 0)是否对于任意的x 0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论.14、设函数 f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 为实数),F(x)=(1)若f(-1)=0 且对任意实数x均有f(x) 0成立，求F(x)表达式。(2)在(1)的条件下，当x 2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范

8、围。(3)(理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。15.函数f(x)= x (a , b是非零实常数)，满足f(2)=1 ,且方程f(x)=x 有且仅有一个ax b解。(1)求a、b的值；(2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的x, f(x)+f(m - x)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(- 3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。函数大题专练答案1、已知关于x的不等式(kx k2 4)(x 4) 0,其中k Ro试求不等式的解集 A;对于不等式的解集 A,

9、若满足AI Z B (其中Z为整数集)。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B ;若不能，请说明理由。解：(1)当k 0时，A (当k 2时，A (,4)；当 k 0且 k 2时，A,4) U(4,)；(不单独分析k4(,4)U(k -, k2时的情况不扣分)，.4当 k 0时，A (k ,4)。 k(2)由(1)知：当k 0时，集合B中的元素的个数无限;当k 0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。一4一因为k 4,当且仅当k 2时取等号，k所以当k 2时，集合B的元素个数最少。此时 A 4,4 ,故集合 B 3, 2,

10、1,0,1,2,3 。2、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。对任意的x 0, 1，总有f(x) 0；当 xi0,x20,x1x21时，总有 f(x1x2)f(x1)f(x2)成立。已知函数g(x) x2与h(x) a 2x 1是定义在0, 1上的函数。(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3)在(2)的条件下:r,讨论方程g(2x 1) h(x) m (m R)解的个数情况。解：(1)当x 0,1时，总有g(x) x2 0,满足，当 x1 0, x2 0,x1 x2 1 时，g(x x2) x； x22

11、 2x2 x； x22 g(x1)9(x2),满足(2)若a 1时，h(0) a 1 0 不满足，所以不是 G函数；若a 1时，h(x)在x 0,1上是增函数，则 h(x) 0,满足由 h(x1x2)h(x1)h(x2)，得 a2x1x21 a2x11 a2x21 ,即 a1 (2x1 1)(2x2 1) 1,因为 x1 0 ,x2 0, x1 x2 1所以 0 2x1 1 10 2x2 1 1 x1 与 x2不同时等于 10 (2x1 1)(2x11) 111 (2x1 1)(2x11)1 x2 0 时，(；)min121 (2x1 1)(2x1 1)综合上述：a 1(3)根据(2)知： a

12、=1,方程为4x 2x m,0 2x 1 1由 0 211 得 x 0,10 x 1令 2xt 1,2,则 m t2 t (t -)22由图形可知：当 m 0,2时，有一解;当m (,0) (2,)时，方程无解。3 .已知函数f(x) 2x 1-.2冈(1)若f (x) 2 ,求x的值；(2)若 2tf(2t) mf(t) 0 对于 t2, 3恒成立，求实数m的取值范围解(1)当 x 0 时，f(x) 0；当 x 0时，f(x) 2x .2x 一 1由条件可知2x 2 ,即22x 2 2x 1 0 , 2x解得 2x 1 .2.2x 0, x log2 1 & .1,1(2)当 t 1

13、,2时，2t 22t m 2t 0,22t2t即 m 22t124tl.22t 10 , m 22tl.2tQ t 2, 3,1 22t 65, 17,故m的取值范围是17,).4 .设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x 0时，f(x)1 - , x 0;x0, x 0.(1)求f(x)在(，0)上的解析式(2)请你作出函数f(x)的大致图像(3)当0 a b时，若f(a) f(b),求ab的取值范围. 2 ,(4)若关于x的万程f (x) bf (x) c 0有7个不同实数解，求 b,c满足的条件. 11解(1)当 x (,0)时，f(x) f( x) 1 1(2) f(x)的大致图像

14、如下:a b 2ab 2、ab解得ab的取值范围是(1,).(4)由(2),对于方程f(x) a,当a 0时，方程有3个根；当0 a 1时，方程 有4个根，当a 1时，方程有2个根；当a 。时，方程无解.15分2所以，要使关于x的方程f (x) bf(x) c 0有7个不同实数解，关于f(x)的方程 2f (x) bf(x) c 0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。所以 c 0, f(x) b (0,1),即 1 b 0,c 0.5 .已知函数 f(x) a (x 0)。|x|(1)若函数 ”*)是(0,)上的增函数，求实数 b的取值范围；(2)当b 2时，若不等式f(x) x

15、在区间(1,)上恒成立，求实数 a的取值范围；(3)对于函数g(x)若存在区间m,n(m n),使x m,n时，函数g(x)的值域也是m, n,则称g(x)是m, n上的闭函数。若函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探求a,b应满足的条件。解：(1)当 x (0,)时，f (x) a - x设Xi,X2 (0,)且为 x2 ,由f(x)是(0,)上的增函数，则f(x1)f(x2)f(x1) f(x2) b(X1 x2) 0 X1X2由 x1x2, x1,x2 (0,)知 x1 x2 0,x1x2 0,所以 b 0,即 b (0,)22(2)当b 2时，f(x) a x在x (1,)上恒成立，

16、即a x |x|x22因为x 2J2,当x 即x 42时取等号， xx222 (1,)，所以x -在x (1,)上的最小值为2正。则a 272xb(3) 因为f(x) a 的定义域是(，0)U(0,)，设f (x)是区间m,n上的闭函 |x|数，则mn 0且b 0(4) 若0 m n,bf (m) m当b 0时，f (x) a 是(0,)上的增函数，则，|x|f (n) nb所以万程a - x在(0,)上有两不等实根,即x2 ax b 0在(0,)上有两不等实根，所以a2 4b 0x1 x2 a 0,即 a 0,b 0且 a2 4b 0x1 x2 b 0当b 0时，f (x) a a 在(0,

17、)上递减，则 () ，即 | x | xf (n) mmbm na 0 mn0,b 0若m n 0r ,b bf (m) n .当b 0时，f(x) a a 一是(，0)上的减函数，所以，即|x| xf (n) mba nmba 一 mna 0,所以a 0,b 0 mn bI6、设f(x) Max2 bx ,求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数 b ,使函数f (x)的定义域和值域相同。解：(1)若a 0,则对于每个正数 b, f(x) JbX的定义域和值域都是0,)故a 0满足条件b(2)若a 0,则对于正数b , f (x)Tax2bx的定义域为D , 0,a但f (x)的值域A

18、0,，故D A,即a 0不合条件;(f(x)maxb2、 a(3)若a 0,则对正数b ,定义域D 0,- abf (x)的值域为0,2 v a综上所述：a的值为0或47 .对于函数f (x),若存在x0R，使f(x0) x0成立，则称点(xq,x0)为函数的不动点。(1)已知函数f (x)ax2bx b(a 0)有不动点(1, 1)和(-3, -3)求a与b的值;(2)若对于任意实数b ,函数f (x) ax2 bx b(a 0)总有两个相异的不动点，求 a的 取值范围；(3)若定义在实数集 R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。解：(1)由不动点的定义：f(x)

19、x 0, ax2 (b 1)x b 0代入x 1知a 1,又由x 3及a 1知b 3。 . a 1, b 3。(2)对任意实数b, f (x) ax2 bx b(a 0)总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ,方程f (x) x 0总有两个相异的实数根。ax2 (b 1)x b 0 中 (b 1)2 4ab 0,即 b2 (4a 2)b 1 0恒成立。故 1(4a 2)2 4 0, . 0 a 1。故当0 a 1时，对任意的实数b ,方程f (x)总有两个相异的不动点。 1'(3) g(x)是R上的奇函数，则 g(0)0,(0, 0)是函数g(x)的不动点。若g(x)有异于(0,

20、0)的不动点(x0,x0),则g(x0) x0。又g( x°)g(x°)x°,( x0, xO)是函数 g(x)的不动点。g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的,所以有2k个(k N),加上原点，共有 n 2k 1个。即n必为奇数18 .设函数f(x) x ，(x 0)的图象为Ci、Ci关于点A (2, 1)的对称的图象为C%, xC2对应的函数为g(x).(1)求函数y g(x)的解析式;(2)若直线yb与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标11 一解.(1)设P(U,V)是y x 上任意一点，V U xu设P关于A (2, 1)对称的点为 Q(x

21、, y),11代入得2 y 4 x y x 2 4 xx 41g(x) x 2 (x (,4) (4,)；x 4y b联立1 x2 (b 6)x 4b 9 0,y x 2x 422b 0 或 b 4,(b 6)2 4 (4b 9) b2 4b 0(1)当b 0时得交点(3, 0)；(2)当b4时得交点(5, 4)9 .设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件:对于任意正实数 a、b,都有f(a b) f (a) f (b) 1;当x 1时，总有f(x) 1.,、1.(1)求”1)及£(1)的值；(2)求证：“乂)在(0,)上是减函数.解(1)取 a=b=1,则 f (1) 2

22、f 1.故f(1) 1又 f(1) f (2 1) f (2) f(l) 1. 且 f (2)0.22得：心f (2) 1 1 1 2(2)设 0XiX2,则:f(X2) f (Xi)X2X) f(X1) f(二) f(x)X11f (Xi)f (当X1XiX2,可得任1X1再依据当X 1时，总有f(x) 1成立，可得f(x2) 1X1f(Xi) 0成立，故 “乂)在(0,)上是减函数。10.已知函数f(x)是定义在 2,2上的奇函数,当 X 2,0)时,f(x)tx(t为常数)。11)求函数f (X)的解析式;(2)当t 2,6时，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值时的并猜想f(x

23、)在0,2上的单调递增区间(不必证明)(3)当t 9时，证明：函数 yf(x)的图象上至少有一个点落在直线14上。解：(1) X 0,2 时， X 2,0 ,1则 f( x) t( x) 2(x)3tx数f (X)是定义在2,2上的奇函数，即txf(x)tx又可知0,，函数f (X)的解析式为f(x)tx-X3,213X ,即2132X，2,2(2)2,6,2,0+12t 一 X-2_ 31-X8t327即X22t,x 3.6t32,0)时,fmin猜想f (x)在0,2上的单调递增区间为c 6t0,3(3) t 9 时，任取 2 x1 x22f X1f x2x1x2 t12x1x1 x22x

24、220,2,2上单调递增,2 , f 2 ,即 f x 4 2t,2t 4 , t 9 ,2t14,2t 4 14,142t,2t 4 , .当 t9时，函数y f(x)的图象上至少有一个点落在直线y 14 上。11.记函数f x解：(1) Ax2,23,(2) 2x bax0,B,得a0,b orx212、设 f xxa 17 a 0, a1 ax(1)求 f(2)讨论的反函数f 1 x :1 x在1.上的单调性,并加以证明:(3)令 g xg n ,g1 log a x，当 m, n,求a的取值范围。1, m n 时,f 1 x 在 m,n上的值域是1解：(1) f x, xlog a 一

25、x1x2,x11一 x11x2 12 x1x2(3)x1当0x2 ，1时,x11xif ff1x1 xX21X2在1.在1.x1 1 x2f 1 x 在上是增函数。上是减函数,1.上是减函数, x 1'由 lOga”x10g a x 倚；x 1ax,即 ax2 a2 -7的定义域为A, g x lg 2x b ax 1 b 0, a R的定义域为B ,(1)求 A ：(2)若A B,求a、b的取值范围可知方程的两个根均大于1 ,即f 100 a 3 2&，当 a 1 时，: f 1 x 在1.上是增函数,2a1f m g n1f n g mm 1 amn an an 1 amn

26、 am1 (舍去)。上，得0 a 3 2四。13.集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：(1)函数f(x)的定义域是0,)；(2)函数f(x)的值域是2,4);(3)函数f(x)在0,)上是增函数.试分别探究下列两小题:(I)判断函数f1(x) 7x 2(x 0),及f2(x) 4 6 (1)x(x 0)是否属于集合 A?并简 2要说明理由.(n)对于(I)中你认为属于集合 A的函数f(x),不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1),是否对于任意的x 0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论.解：(1)函数f(x) Vx 2不属于集合 A,因为f1(x)的值域是2,)，所以

27、函数 f,(x) & 2不属于集合A.(或Q当x 49 051"49) 5 4 ,不满足条件.)1、xf2(x) 4 6 (-)x (x 0)在集合A中，因为： 函数f2(x)的定义域是0, h 函 2数f2(x)的值域是2,4)； 函数f2(x)在0,)上是增函数.1x1、 一 f(x) f (x 2) 2f(x 1) 6 ()x( -) 0 ,24f(x) (x 0)f(x) (x 0)不等式f(x) f(x 2) 2f (x 1)对于任意的x 0总成立14、设函数 f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 为实数),F(x)=(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x

28、) 0成立，求F(x)表达式。(2)在(1)的条件下，当x 2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。(3)(理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。解：(1)f(-1)=0 b a 1 由 f(x) 0 恒成立 知4 =b2 -4a=(a+1) 2 -4a=(a-1) 2 02(x 1)(x0)，a=1 从而 f(x)=x +2x+11- F(x)=,(x 1)2(x0)2_2(2)由(1)可知 f(x)=x +2x+1 g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1 ,由于

29、 g(x)在 2,2 上是单调函数，知-22或-二,而 a>0 -. f (x)在 0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)上为增函数,当 x<0 时-x>0 ,22(3)f(x)是偶函数，f(x)=f(x)对于 F(x),当 x>0时-x<0F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，F(x)是奇函数且F(x)在0, 上为增函数，m>0,n<0,由 m>-n>0知 F(m)>F(-n) . . F(m)>-F(n) F(m)+F(n)>0 。15.函数f(x尸 一x (a , b是非零实常数)，满足f(2)=1 ,且方程f(x)=x 有且仅有一个ax b解。(1)求a、b的值；(2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的x, f(x)+f(m - x)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(- 3,1)到此函数图象上任意一点P的