导数中的求参数取值范围问题

1、帮你归纳总结(五)：导数中的求参数取值范围问题、常见基本题型：(1)已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数f(x)增区间，则在此区间上导函数f (x) 0,如已知函数f(x)减区间，则在此区间上导函数f (x) 0。(2)已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知a R,函数f(x) ( x2 ax)e x. (x R, e为自然对数的底数)(1)若函数f(x)在(1,1)内单调递减，求a的取值范围；(2)函数f (x)是否为R上的单调函数，若是，求出 a的取值范围；若不是，请说明理由.2-x解： (1) Q f (x) ( x ax)ef (x) (

2、2x a)e-x ( x2 ax)( e-x) = x2 (a 2)x a e-x.要使f(x)在-1,1上单调递减，则f (x) 0对x ( 1,1)都成立,2.x (a 2)x a 0 对 x ( 1,1)都成立.令 g(x)2x (a 2)x a,则g( 1) 0, g(1) 0.1 (a 2) a 01 (a 2) a 0(2)若函数f (x)在R上单调递减，则f (x) 0对x R都成立 即x2 (a 2)x a e-x 0对x R都成立., x2Qe 0, x (a 2)x a 0 对 x R 都成立 令 g(x) x2 (a 2)x a,Q图象开口向上不可能对x R都成立若函数f

3、 (x)在R上单调递减，则f (x) 0对x R都成立， 即x2 (a 2)x a e-x 0对x R都成立，x2一一.Q e 0, x (a 2)x a 0 对 x R都成立._ 22Q (a 2) 4a a 4 0故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知，函数 f (x)不可能是R上的单调函数例2：已知函数f x alnx ax 3 a R 若函数y f(x)的图像在点(2, f(2)处的切32 / ,、m_ 、x3x2f/(x)在区间(t,3)上总不3x2 (m 4)x 2线的倾余角为45o,对于任意t 1,2,函数g x 是单调函数，求m的取值范围；解： 由 f/(2) a 1,a

4、22f(x) 2ln x 2x 33 m 2/g(x) x3 (- 2)x2 2x, g/(x) 2令 g/(x) 0得， (m 4)2 24 0故g/(x) 0两个根一正一负，即有且只有一个正根32/, 、m一Q函数g x x x f (x)在区间(t,3)上总不是单倜函数2g/(x) 0 在(t,3)上有且只有实数根 Q g/(0)2 0, g/(t) 0,g/(3) 0372 .2m ,(m 4)t 2 3t 故 m 4 3t , 3t2、, 一 ,一 .一一 37而y 3t在t 1,2单倜减， m 9,综合得 一 m 9t3例3.已知函数f (x) Inx 1x 1 . 4 4x(I)

5、求函数f(x)的单调区间；2(n)设 g(x) x 2bx 4,若对任意 x1 (0,2), x21,2,不等式f(x1) g(x2)恒成立，求实数b的取值范围.-13解：(I) f (x) In x x 1 的7E义域是(0,4 4x一2 一一、1134x x3f (x)27x 4 4x 4x由 x 0及 f (x) 0 得1 x 3；由 x 0及 f (x) 0得 0 x 1或 x 3,故函数f(x)的单调递增区间是(1 ,3)；单调递减区间是(0,1),(3,)(II)若对任意x1(0,2), x2 1,2,不等式f(xj g(x2)恒成立,问题等价于f(x)min g(x)max,由(

6、I)可知，在(0,2)上，x 1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点，所以f (x)minf (1)-;2,、2g(x) x 2bx 4, x 1, 2当 b 1 时，g(x)maxg(1) 2b 5；2当 1 b 2时，g(x)max g(b) b 4；当 b 2 时，g(x)max g(2) 4b 8；b 1问题等价于122bb 212b24b 8解得b-14b -7或2b的取值范围是例 4.设函数 f (x) x2 mln x,h(x)(1)当a= 0时，f(x)Rh(x)在(1 , +°°)上恒成立，求实数 m的取值范围;(2)当mr 2时，若函

7、数k(x) = f(x) -h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解：(1)由 a=0, f (x) >h(x),可得一mn x> x, x (1 , +0° ) 即 me x.In x、x 一记 6(x)=j-,则 f (x) > h(x)在(1 , +8)上恒成立等价于 me 6 (x)min. ln xln x 1求得 6'(x)=FV当 xC (1 , e), 6 ' (x) <0;当 xC(e, +8)时，6(x) >0.故6 (x)在x=e处取得极小值，也是最小值，即 6 (x) min= 6 (e) = e

8、,故 m< e.(2)函数k(x) =f (x) h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x- 21nx = a,在1,3上恰有两个相异实根.令 g(x) =x-2ln ,则 g' (x)v1 2.x当 xC 1,2)时，g' (x) <0;当 xe (2,3时，g' (x) >0.，g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3上是单调递增函数.故 g(x)m.=g(2) =2 2ln2.又 g(1) =1, g(3) =3 2ln3 ,- g(1) >g(3)，只需 g(2) < a< g(3).故a的取值范围是(2ln2

9、,3 2ln3.二、针对性练习21.已知函数f(x) x alnx.右函数g(x) f (x) 2x在1, 4上是减函数，求实数 a的取值范围。_. .2.2一a2解：由 g(x)xa ln x一，得g (x) 2x.xx x22、，又函数g(x) x aln x 一为1, 4上的单倜减函数。x则g (x)0在1 , 4上恒成立，. a2一所以不等式2x - - 0在1, 4上恒成立.x x22 ,即a 2x在1, 4上恒成立。 x224上为减函数,632 63.2设(x) 2 2x2,显然(x)在1 x所以(x)的最小值为(4)a的取值范围是a2.已知函数f(x) ex 1 x，4x(1)右

10、存在x 1,ln -,使a e 1 x 0成立，求a的取值范围；3(2)当X 0时，f (x) tx2恒成立，求t的取值范围.解：(1) aex 1 X，即 a f(x).一'x_令 f (x) e 1 0,x 0.'1Qx 0 时，f (X) 0,x 0 时，f (x) 0.f(x)在(，0)上减，在(0，)上增.Xo又1,ln43时,f(x)的最大值在区间端点处取到i1444f ( 1) e 1 1 -, f ln- , - 1 ln- e3334f( 1) f ln3lnf0,441f ( 1) f ln- , f(x) 1,ln-3 在 3上最大值为e1故a的取值范围是

11、e e ,x 2(3)由已知得x 0时，e x 1 tx0恒成立,设 g(x) ex x 1 tx2. g'(x) ex 1 2tx.x由(2)知e 1 x，当且仅当x 0时等号成立，'故 g (x) x 2tx (1 2t)x ,从而当 1 2t 0,1t _即 2 时，g (x) 0(x 0)， g(x)为增函数，又 g(0) 0，2 t J于是当x 0时，g(x) 0，即f(x) tx ,2时符合题意xxt 1由e 1 x(x 0)可得e 1 x(x 0)，从而当 2时，xxx xxg (x) e 1 2t(e 1) e (e 1)(e2t),故当 x (0,ln 2t)时，g (x) 0,g(x)为减函数，又g(0) 0，2于是当 x (0,ln 2t)时，g(x) 0,即 f(x) tx ,11t -,、故 2不符合题意.综上可得t的取值范围为2一 一，.一、ln(1 x)、_o一3.已知函数f(x) ,设h(x) xf (x) x ax3在(0, 2)上有极值，求 a的取值范围x,，、 , 、3 _解：由 h(x) x f (x) x ax 可得，.,.1.- -工 ©ax&