导数经典专题整理版

1、导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数y f x在x xo处导数f x0是曲线y f x在点P x0, f x0处切线的，即;相应地，曲线y f x在点r P x0, f x0 处的切线方程是例1.(1)曲线y sinx ex在点(0,1)处的切线方程为()A. x 3y 3 0 B. x 2y 2 0 C. 2x y 1 0 D. 3x y 1 0(2)若曲线y xlnx上点P处的切线平行于直线2x y 1 0 ,则点P的坐 标是()A. (e,e) B. (2,2ln2) C. (1,0) D. (0,e)【变式】(1)曲线y xex 2x 1在点(0,1)处的切线方程为()A

2、. y 3x 1 B. y 2x 1 C. y 3x 1 D. y 2x 1(2)若曲线y ax2 lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a的值为()A. 1B. 2C. 1 D. -22知识点二、导数与函数的单调性(1)如果函数y f(x)在定义域内的某个区间(a,b)内，使得f'(x) 0,那么函 数y f(x)在这个区间内为 且该区间为函数f(x)的单调 l区间；(2)如果函数y f(x)在定义域内的某个区间(a,b)内，使得f'(x) 0,那么函数 y f(x)在这个区间内为 ,且该区间为函数f(x)的单调 K间.例1. (1)函数f(x) (3 X2)ex的单调递

3、增区间为()A. (,0) B. (0,) C. ( 3,1) D. (, 3)和(1,)1(2)函数y1x2 lnx的单调递减区间为()2A. 1,1 B. 0,1 C. 1, D. (0,)例2.求下列函数的单调区间，并画出函数 yf(x)的大致图像.(1) f(x) x3(2)f(x)x3 3x f(x) lx3x23x 1(4)f(x) - x3x2 3x33知识点三、导数与函数的极值函数y f(x)在定义域内的某个区间(a,b)内，若%满足f(心)0,且在 的两侧f(x)的导数f (x)异号，则刈是f(x)的极值点，f(x”是极值，并且如果 f (x)在x°两侧满足“左正右

4、负”,则x0是f(x)的, f(x°)是极大值；如果f (x)在飞两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是(熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点 )1 C例1. (1)求函数f(x) -x x 3x 1的极值3(2)求函数f (x) x2 21nx的极值例2. (1)已知函数f(x) xlnx,则下列关于f(x)说法正确的是()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，有无极小值(2)已知函数f(x)ax3 bx在x 1处有极值 2,则a,b的值分别为()A. 1,3 B. 1, 3 C. 1, 3 D. 1, 3(

5、3)函数f(x) x(x m)2在x 1处取得极小值，则m的值为()A. 1 B. 3 C.1 或3D. 0知识点四、导数与函数的最值例1. (1)求函数f(x) -x3 x2 3x 1在2,4的最大值和最小值 3(2)求f(x) x3 3x2 2在区间1,1上的最大值和最小值(3)求函数f (x) x2 21nx的最小值【思考】1)三次函数f (x)ax3 bx2 cx d 的图像的特征有哪些？2)三次函数f (x)ax3 bx2 cx d 在定义域 R 是 严格单调 还是 不单调 由什么 决定？3)三次函数f (x)ax3 bx2cx d 的图像与 x 轴的交点个数(或函数的零点 个数)由

6、什么决定？4)函数有没有极值对其单调性有怎样的影响？5)函数的极值点个数与函数的最值有怎样的关系？【注意】(1)在区间(a,b)内f (x) 0( f (x) 0)是函数f(x)在此区间上为增函数(减函数)的充分不必要条件.f (x) 0包成立(2)函数在(a,b)上是增函数的充要条件是对 任意的x (a,b),(3)函数在(a,b)上是减函数的充要条件是对任意的x (a,b), f (x) 0包成立(4) f (x。)0是可导函数y f(x)在点x %处有极值的必要不充分条件(即导数值为0的点x0不一定是极值点，但极值点处的导函数值一定等于0 )知识点五、有关参数的取值范围问题例1. (1)

7、已知函数f (x)mx 1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A. (1)3,B.13)C. 1,)31D. (,3(2)若 f x2 ax1有极大值和极小值,则a的取值范围为A. 1,2B.3,2C.D.,3 U 6,(3)若函数f(x)2 ax4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是(A. 0,3B.0,1C.3,D. (0,)若函数f xkxlnx在区间1,单调递增，则k的取值范围是(A. , 2B.,1 C. 2,D.1,例2. (1)函数f(x)ax3 3x2 1 ,若f(x)存在唯一的零点的范围是(D., 1(2)函数y In x ax有两个零点，则a的取值范围(A .

8、 1,e B .1,1,0 eD.02 e【经典训练题】1、设曲线y ax2在点（1,a）处的切线与直线2x y 6 0平行，则a （）A. 1B. 1C.1D. 1222、曲线y 在点1,1处的切线方程为（） 2x 1A. x y 2 0 B. x y 2 0 C. x 4y 5 0 D. x 4y 5 0x23、已知曲线y 31nx在点（xO, f（x。）处的切线与直线2x y 1 0垂直，则 4的值为（）A. 31 14、直线y 2x b与曲线y -x lnx相切，则b的值为()1A.2 B .1 C .2 D . 15、函数y x3 x的递增区间是()A. (0,) B. (,1) C

9、. (,) D. (1)6、函数y xlnx的单调递减区间是()A . (e 1,) B . ( ,e 1) C . (0,e 1) D . (e,)7、f (x0) 0是可导函数y f(x)在点x x0处有极值的()A .充分不必要条件.必要不充分条件.非充分非必要条件8、函数y 1 3x X3的极大值，极小值分别是 ()A.极小值-1 ,极大值1B.极小值-2 ,极大值3C.极小值-2,极大值2D.极小值-1 ,极大值39、函数f(x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x3时取得极值，则a=()10、f (x) x3 3x2 2在区间 1,1上的最大值是()A. 211、函数f(x)

10、 (x 3)ex在0,4上的最大值和最小值为()A.e2, 3 B.e4, 3 C. e4, e2D. 3, e212、已知函数f (x) x3 ax2 bx c ,下列结论中错误的是()A.Xo R, f(x0) 0B.函数y f(x)的图象是中心对称图形C.若x。是f (x)的极小值点，则f(x)在区间(，xo)单调递减D.若x。是f (x)的极值点，则f '(xo) 013、设函数y f(x)在定义域内可导，y f(x)的图象如右图所示，则导函数y f(x)的图象可能为()f (x)是函数y14、设 yf(x)的导函数,y f (x)的图象如右图所示，则(D)y f(x)的图象最

11、有可能的是()(A)(B)(C)16、已知函数f(x) x3 ax在1,)上是增函数，则a的取值范围是(A.(0,) B. (,3 C. (,) D. 1)17、已知函数f(x) x2 ax 1在(1,)上是增函数，则a的取值范围是() x 2A. 1,0 B. 0,3 C. 3,) D. 1)18、函数f(x) 2x2 lnx在其定义域的子区间(k 1,k 1)内不是单调函数，则实数k的取值范围()3 33A. 1,2 B. ( 3,-) C.1,3)D. 1)2 2219、已知函数f(x) x3 3x在(a,6 a2)上有最小值，则实数a的取值范围()A. 2, 1 B. ( ,5,1 C

12、. ( . 5,1) D. ( 2,1)20、函数f(x) x3 3x2 9x a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围()A. (, 27) B. (5,) C. (, 27) (5,) D. ( 27,5)导数经典解答题1 0典例1.已知函数f(x) -x x 3x 1 ,求函数f (x)在区间2,6上的最大值和 3最小值.【思考】在下列区间上的最大值和最小值(1)在区间2,4(2)在区间2,2(3)在区间0,2(4)在区间4,5【注意】题型1、求函数f(x)的单调区间(或讨论单调性)典例2.一， -一 一 132.一 .(1)已知函数f(x) x x ax,讨论f(x)的单调性；3(2)

13、已知函数f(x) ex ax 1 求f(x)的单调增区间;(3)已知函数f(x) ln x a(1 x),讨论f(x)的单调性;题型二、利用导数求函数的极值和最大(小)值典例 3. 已知函数 f(x) 2x3 3(a 1)x2 1 ，其中 a 1( 1)求 f ( x) 的单调区间( 2)讨论f ( x) 的极值典例 4. 已知函数 f (x) x a ln x(a R)(1)当a 2时，求曲线y f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程;2)求函数f (x) 的极值 .典例 5. 已知函数 f (x) ln x ax .(1)当a 1时，求曲线f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2

14、)若a 0,且函数f(x)在区间1,e上的最大值为2,求a的值.典例6.已知函数f(x) ax3 cx d (a 0)是R上的奇函数，当x 1时f(x)取得极值 2 .( 1)求 f ( x) 的单调区间和极大值；2)证明：对任x1,x2 ( 1,1),不等式 | f(x1) f (x2) | 4恒成立 .题型三、利用导数求参数的取值范围典例7.已知f x x3 bx2 cx 2(1)若f x在x 1时有极值1,求b,c的值；(2)若函数y f x的图象与函数y k的图象恰有三个交点，求实数k的取值范围2典例8.设函数f (x) 2ln x x .(1)求函数f(x)的单调递增区问；2(2)若

15、函数f x x x 2 a在1,3内恰有两个零点，求实数a的取值范围. 典例9.已知函数f(x) x3 ax bx c在x 2与x 1处都取得极值.3(1)求实数a,b的值；(2)若对x 1,2,不等式f(x) c2包成立，求c的取值范围.典例10.已知函数f(x) ax3 3x2 1,其中a 0. 2(1)若a 1,求曲线y f(x)在点(2, f (2)处的切线方程；1 1(2)右在区间,-上，f (x) 0恒成立，求a的取值沱围.2 2典例11.设函数f(x) ；x2 ex xex.(1)求f (x)的单调区问；(2)若当x 2,2时，不等式f(x) m包成立，求实数m的取值范围.典例

16、12. 已知函数 f(x) xln x .f ( x) 的最小值；x 1 都有 f (x) ax 1 ，求实数 a 的取值范围 .典例 13. 已知函数 f(x) x3 (1 a)x2 a(a 2)x b (a,b R) ( 1)若函数 f ( x) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3 ，求 a, b 的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.典例14.已知函数f xx3 ax2 bx c图像上的点P 1, 2处的切线方程为y 3x 1 ( 1)若函数 f x 在 x 2 时有极值，求f x 的表达式；2)函数f x 在区间 2,0 上单调递增，求实数b 的取值范

17、围 .典例 15.已知函数 f(x) lnx,g(x) a(a 0),设 F(x) f(x) g(x). x(1)求函数F(x)的单调区问；(2)若以函数y F(x)(x (0,3)图像上任意一点P(%,y0)为切点的切线的斜率1 ,k -恒成立，求头数a的取小值。 2典例16.已知函数f(x) ln x , g(x) f (x) ax2 bx ,函数g(x)的图像在点 (1,g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系(2)试讨论函数g(x)的单调性典例 17.已知函数 f (x) ax2 (a 2)x In x .(1)当a 1时，求曲线y f(x)在点(1, f(1)处的切线方程(2)当a 0时，若f(x)在区间1,e上的最小值为 2,求a的取值范围典例18.已知函数f(x) ln x mx , m R.(1)当m 1时，求曲线y f(x)在点P(1, 1)处的切线方程(2)若f(x)没有零点，求m的取值范围0.1 c 1 a c典例19.已知函数f(x) -x x ax a x R,其中a32(1)求函数f(x)的单调区间(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围典例20.已知函数f(x) alnx bx2图像上的点P(1, f(1)处的切线方程为 2x y 3 0(1