概率论与数理统计知识点总结

1、第1章随机事件及其概率（1）随 机试验 和随机 事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止 个，但在进彳H次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（2）基 本事 件、样 本空间 和事件在 个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这一组事件，它具有如下性质：每进彳!一次试验，必须发生且只能发生这 组中的 个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这一组事件中的每 个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A, B,

2、 C,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（。）的概率为 1,而概率为1的事件也不一 定是必然事件。（3）事 件的关 系与运 算关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必启事件B 发生）：A B如果同时有A B, B A,则称事件A与事件B等价，或称A等于 B : A=B。A、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为 A-B，也可亲示为A-AB或者AB ,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B,或者AB

3、。A B= ?，则表示A与B/、可能 同时发生，称事件 A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为Ao它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A UC)A(BUC) (A U B) AC=(AC) U (BC)Ai工 _ _德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(4)概 率的公 理化定 义设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A), 若满足卜列三个条件：1 ° 0<P(A) <1 ,2

4、 P(Q) =13°对于两两互不相容的事件 A' A2,有则称P(A)为事件A的概率。(5)古典概型1 01, 2n ,-o12 P( 1) P( 2)P( n) -0n设任一事件A,它是由1，2m组成的，则有P(A) = ( 1) (2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)(6)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A) 手卜 其中L为几何度量(长度、面积、体积)。(7)加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)当 AB 不相

5、容 P(AB) =0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)(8)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时,P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=。时，P( B)=1- P(B)(9)条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0 ,则称黑为事件A发生P(A)条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)号黑。 P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q/B)=1P( B/A)=1-P(B/A)(10)乘法公 式乘法公式：P(AB) P(A)

6、P(B/A)更一般地，对事件 Al, A2, An,若P(AlA2 - An-1 )>0 ,则有P(AiA2 . An) P(Ai)P(A2| Al)P(A3| A1A2) P(An | A1A2. An 1)。(11 )独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) PP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A) °,则有若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互 独立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是二个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB尸P(A)P(B); P(BC尸P(

7、B)P(C) ; P(CA尸P(C)P(A)弁且同时满足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(12)全概公 式设事件Bl，B2，Bn满足1 B1,B2, Bn 不相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2i1,则有P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A | Bn)。全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步杲事件的概率，就用全概率公式；(13)贝叶斯公式设事件B1 , B2 ,，Bn及A满足1° B1, B2,，Bn 两两互不相容，P(B

8、i)>0, i 1, 2,，n, nABi2i1P(A) 0则c/c ， PP(Bi)P(A/Bi). d。P(Bi/A) n, i=1 , 2, - noP(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi), ( i 1,2,，n),通常叫先验概率。P(Bi/A), ( i 1,2,， n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律， 弁作出了 “由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求 在第二先臬事件妗牛条件下第一先臬事件的概率.就用贝叶斯公式。(14)我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或A不发生；伯努利概型(1)散 随 变

9、 的 布n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则发生的概率为1 p q，用Pn表示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率，Pn(k) dpkqnk k 0,1,2, ,n o第二章随机变量及其分布设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的 概率，即事件(X=X k)的概率为P(X=x k)=p k, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 X的概率分布或分布律。有时也 用分布列的形式给出：X x1,x2,

10、 ,xk,P(X xk) p1, p2, , pk, o显然分布律应满足下列条件：pk 1(1) Pk 0, k 1,2,卜1 。(2)连续 型随 机变 量的 分布 密度(3)分布函数设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f，对任意实数x,有 xF(x) f(x)dx则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1、 f(x)0Of(x)dx 12、 ox23、 P(x1 X x2) F(x2) F(x1)f (x)dxxi4、P(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为04、 )0-1 分 P(X=1)=p

11、, P(X=0)=q六大布分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为po事件A分布发生的次数是随机变量，设为X ,则X可能取值为0,1,2, ,noP(X k) Pn(k) C：pkqnk,q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, ,n ,则称随机变量X服从参数为p的二项分布。记为X B(n, p)。n 1 时，P(X k) pkq1k, k0.1,这就是(0-1 )分布,分布所以(0-1 )分布是二项分布的特例。均匀分布设随机变量X的值只落在a ,a , b上为常数,即？ b ab内，其密度函数f在指数分布1f(x) b a0,a< x< b其他,则称随机变量X在a ,b上服

12、从均匀分布，记为XU（a ,b)分布函数为 ?xF(x) f(x)dx0, x a当 a<xi<x 2<b 时,P(x1X x2) x2 x1b af(x)?w指数分布。a<x< bx>b oX落在区间（xi，x2）内的概率为0,则称随机变量X服从参数为正态分布设随机变量X的密度函数为1 (x )2f(x)e 2,x ,其中、“0为常数，则称随机变量X服从参数为、2、的正态分布或图斯(Gauss )分布，记为XN( ， ) f(x)具有如下性质：1。 f(x)的图形是关于x对称的；2°当x 时，f()二为最大值；2' 2若xl )叫X的分布

13、函数为F(x)21 e 出参数 0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为分布函数为21 x t(x)e 2 dt。2(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用1(-x) =1-(x)且(0) =1oX 2x1o如果 X N( , 2),则N(0,1)P(x1X x2)(6)下分位表：P(X 上分位表：P(X)=；)=。(7)离 函数型 的分布函已知X的分布列为? Xx1,x2,xn,P(X xi)p1,P2,pn,'Y g(X)的分布列(yi g(xi)互不相等)如下：Y g(x1), g(x2), g(xn),P(Y yi)D1D2nn'若有某些&xi)梢等，

14、则应将对应的Pi相加作为g(xi)的概率。数连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)= P(g(X) <y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章二维随机变量及其分布(1)联离散型如果二维随机向量(X, Y)的所启可能取值为至多可合分布列个后序对(x,y),则称为离散型随机量。设二(X, Y)的所有可能取值为(Xi,yj)(i,j 1,2,),且事 件= (xi,yj) 的概率为 pij,称P(X,Y)(为) Pj(i, j 1,2,)为二(X, Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用卜面的概率分布表来表示:y1y2yjX1P11P12P

15、1jX2P21P22P2jXiPi1这里pij具有下面两个性质:(1) pijR (i,j=1,2,);(2) j 上 Pij 1.连续型对于二维随机向量 (X,Y),如果存在非负函数 f(x, y)( x , y ),使对任意一个其邻边分别平 行于坐标轴的矩形区域 D , 即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d 有则称 为连续型随机向量；弁称 f(x,y)为=(X, Y)的 分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y) R;2联合 分布函 数(2) f(x,y)dxdy 1.设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实

16、数x,y,二元函数的联合分布函数。称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量 X和Y分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)lX( 1)x, Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F(x, y) 1;(2) F (x,y )分别对x和y是非减的，即当 x2>x 1 时，有 F(x2,y) >F(x 1,y);当 y2>y 1 时，有 F(x,y 2) >F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即(4) F( ,) F( ,y) F(x, ) 0,F(,) 1.(

17、5) 对于 Xi x2, y1 y2,P(x 1 <x<X2,y1<y<y2)= FM,y2)F(x2,y1)F(x1，y2)F(x1,y1)03边缘分布离散型X的边缘分布为Pi?P(Xx)pj(i,j1,2,)；Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pij(i, j1,2,)。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为4条件分布离散型在已知X=x i的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=y j的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f (x, y)f(x|y);fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为5独立性一般型F(X,Y)=F

18、 x(x)F Y(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离受量正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变若Xi,X2-Xm,Xm+iXn相互独立，h,g为连续函数，量的函贝U：数h (Xi, X2,Xm)和g (Xm+1，Xn)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。6二维均匀分布7正态分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为其中Sd为区域D的面积，则称(X, Y)服从D上的均匀分布，记 为(X, Y)U (D)。图3.2设随机向量(X, Y)的分布密度函数为其中1, 2,

19、 i 0, 2 0,| | 1是5个参数，则称(X, Y)服从二维正 态分布，记为(X, Y)N ( 1, 2, i2, 2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN ( 1, 12),YN( 2,；).但是若XN ( 1, 12),YN( 2, ；), (X, Y)未必是二维正态分布。8函数的分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，fz(z) = f(x,z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(i 2, 122)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Ci i ,2C：Z=max,min(

20、X i,X2,Xn)若Xi,X2 Xn相互独立，其分布函数分别为Fxi(x), Fx?(x) F/x),则 Z=max,min(Xi,X2，Xn)的分布函数为：第四章 随机变量的数字特征(1) 一离散型连续型维随机期望设X是离散型随机设X是连续型随机变量，其概率密变量的期望就是变量，其分布律为度为f(x),数字特平均值P( X xk ) = p k ,(要求绝对收敛)征k=1,2, ，n,(要求绝对收敛)函数的期Y=g(X)Y=g(X)望方差D(X)=EX-E(X) 2标准差期(1)E(C尸C望的性E(CX)=CE(X)(3)nnE(X+Y)=E(X)+E(Y), E( Ci Xi)GE(Xi

21、)i 1i 1(4)E(XY)=E(X) E(Y),充分条件：X和Y独立;充要条件：X和Y不相关。(3)方差的性(1)D(C)=0 ; E(C户C(2)D(aX)=a 2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3)D(aX+b)= a 2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X 2)-E2(X)(5)D(X 土Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立;充要条件：X和Y不相关。D(X 土Y尸D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常期望方差见分布的期望np和方差泊松分布P()指数分布e()(5)二 维随机 变量的 数字特 征期望函数的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=方差协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协万差或相关矩，记为 xy或cov(X,Y),即与记号XY相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分别记为XX与YY O相 关对于随机变量X与Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,则称系数 为X与Y的相关系数，记作 xy (有时可简记为)。|尸1,当| |=1时，称X与Y完全相关：P(X aY b) 1士给相上正相关，当兀全相关负相关，当1 时(a 0),1 时(a 0),而当 0时，称X与Y不相关。