范文高三数学不等式推理与证明习题及答案解析

1、2013届高三数学章末综合测试题（12）不等式、推理与证明、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.1 .下列符合三段论推理形式的为（）A.如果p?q, p真，则q真B.如果 b?c, a?b,则 a?cC.如果 a / b, b II c,则 a / cD.如果 a>b, c>0,贝I ac>bc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.答案：B2 .类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认 为比较恰当的是（）各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各面都是

2、面积相等的三角形， 同一顶点上的任意.两条棱的夹角都相等.A.B.C.D.解析：由类比原理和思想，都是合理、恰当的.答案：C3 .用反证法证明命题“出+如是无理数”时，假设正确的是 （）A .假设也是有理数 B.假设。3是有理数C .假设 色或#是有理数 D .假设 也+也是有理数解析：假设结论的反面成立，J3不是无理数，则 5十43是有理数答案：D4 .已知 ai, bi 6 R(i = 1,2,3,，n), a12 + a22+ an2= 1, b2+电2+ bn2= 1,则 ab1+a2b2+ + anbn的最大值为（）B. 2A. 1解析：此结论为“a, b,0 ca2+c2 b2+d

3、2d6R, a2+b2=1, c3+d2= 1 ,则 ac+bd<+ = 1"的推广，类比可得a1b+a2b2+ anbn<2a/ + b12a22+b2Pan2+bn2一+ +2= 1.答案：A5 .在下列函数中，最小值是 2的是（x 2A- y=2+xB. y=干工>0) x+ 1C. y=sinx + -x6 (0, A 1sinx2，D. y = 7x+ 7 x解析：A中x的取值未限制，故无最小值.D中，y= 7x+7-x=7x+/2,等号成立的条件是x= 0.B、C选项均找不到等号成立的条件.答案：D6. 一元二次不等式 ax2+bx+1>0的解集为

4、x|1<x< 1,则ab的值为()A. 6B. 6C. 5D. 51斛析： ax2+ bx+ 1 >0 的解集是x| 1<x<q,3- 1, 1 是方程ax2+bx+1 = 0的两根， 3-1X3b = 2,ab=- 3 x (-2) = 6.a = - 3,答案：B7,已知a>0, b>0,则：+1+2/ab的最小值是()a bA. 2解析:B. 2mC. 4D. 5因为-2"2也+ 2yb=2 忠+强>4,当且仅当；=b,且即a= b = 1时，取答案：Cy>0,8.在直角坐标系中，若不等式组 y<2x,表示一个三角形区

5、域，则实数y< k(x 1) 1 ,()A.(，1)B. (-1,2)C.(，1)U(2, +°D. (2, +“y>0,解析：先作出的平面区域如图：y< 2x,k的取值范围是若k=0时，显然不能与阴影部分构成三角形.若k>0,将阴影部分的点如(0,0)代入y< k(x 1) 1,有0< k 1,显然不能与阴影部分构成三角形，所以k< 0；又y= k(x 1) 1是过定点(1 ,1)的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有一k- 1 >0,故k< 1时，原不等式组能构成三角形区域.答案：A9.如果a>b,给出下列不等式，

6、其中成立的是()a<(；(2)a3>b3；a2+1>b2+1； (4)2a >2b.A. (2)(3) B. (1)(3) C. (3)(4) D. (2)(4)解析：a、b符号不定，故(1)不正确，(3)不正确.,y=x3是增函数,.a>b时，a3> b3,故(2)正确.y=2x是增函数，.a>b时，2a>2b,故(4)正确.答案：D若f(-4) = f(0), f(-2) = 0,则关于x的不等式f(x)<1的解B. -3, - 1D. 3, +8 )-3(x>0),10.设函数 f(x)= 2/ _ cx2+ bx+ c (x&

7、lt; 0),集为()A.(，一3U1, +8 )C. 3, - 1 U (0, +8 )解析：当 x<0 时，f(x)=x2+bx+c 且 f(4) = f(0),故对称轴为 x=- b=- 2, b = 4.又 f( 2)=48 + c=0, .1. c=4,令 x2+ 4x + 4< 1 有3<x< 1;当x>0时，f(x) = 2< 1显然成立.故不等式的解集为 3, - 1U (0, +8).答案：C11 .若直线 2ax + by 2=0(a>0, b>0)平分圆 x2+y22x4y6 = 0,则；+：的最小值是()A. 2-/-1C

8、. 3 + 22D. 3-272解析：由 x2+y2-2x-4y-6 = 0 得(x-1)2+(y-2)2=11,若2ax+by2=0平”分圆,.2a+2b-2 = 0,a+b=1,2 1 2(a+b)a+ b2b a丁+-b-=3+T+b>3+2b aar 3+2 02b a-当且仅当-=，且a+b= 1,即a=2 W，b = 421时取等号 a b答案：Cy212.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离

9、车站C. 3 km 处解析：由题意可设B.D.、，k1y = x，丫2= k2x, . . k1 = xy14 km处2 km处k2，把x=10, y1 = 2与x=10, y2=8分别代入上式得 k1 = 20,k2=,.20- -y1=7,y2= （x为仓库到车站的距离）, x费用之和y= y1 + y2= + > 2错误！ = 8, x20当且仅当=,即x= 5时等号成立，故选 A. x答案：A第n卷（非选择共90分）二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共20分.3.如下图，对大于或等于 2的自然数m的n次募进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是53的“

10、分裂”中最小的数是解析：由已知中“分裂”可得故“ 52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：9 2114 .由图有面积关系:SaPA' B'Sa PABPA PB，则由图有体积关系:VP A B' C'VP-ABC解析：设三棱锥C' -PA'B'的高为h',15 .已知等比数列an中,a2> a3= 1,则使不等式1a1 a11+ a2-a2a3- +- +a31 anan>0成立的最大自然数n是a11 an an解析：-a2>a3=1,0<q= < 1a1+ a1一 +

11、a3+ +a1a2a1=(ai + a2+ an) 1+上+工 ai a2an11ai(1qn) al 1qn ai(1 q4) q(1 -qn)=-=> 0，i-q i 1 i-qa1(i -q)qnqai(i - qn)q(i - qn)>.i-qai(i-q)qn因为0q<i,所以，化简得：ai2> ,即q4<qnT, qn 14> n- i , n<5,所以n的最大值为5.答案：5x y 20 0 ,16. 设实数x, y满足x+ 2y 5 > 0,则u='-的取值范围是 .x yy- 2< 0,解析：作出x, y满足的可行

12、域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值i范围是3-, 2 ,即"c 2 ,故令 t=y,x 3x则u = t根据函数u=t：在tc 7, 2上单调递增，得u -8, 3 . tt 33 2答案：* 3 3 2三、解答题：本大题共 6小题，共70分.17. (i0分)在三角形中有下面的性质：(i)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心； i，-一 ，一，一(4)三角形的面积为 S= 2(a+b+c)r(r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长).请类比出四面体的有关相似性质.解

13、析：(i)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；i(4)四面体的体积为 V = (Si + S2+S3+S4)r(r为四面体内切球的半径，Si、S2、S3、S4为四面体的四3个面的面积).“ _,一 b2 a2、.18. (12 分)已知 a>0, b>0,求证 a+6>a+b.,2222解析：了 + -(a+b)= I-a + ?-b(b + a)(b a) (a + b)(a b)1 1= (a-b)(a+b) b-

14、)ab(ab)2(a+ b),a>0, b>0,ba+ar>a+b.19. （12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t>0）万元?足x= 4-2t+ 1（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.将该厂家2009年该产品的利润 y万元表示为年促销费用t万元的函数;该厂家2009年的年促销费用

15、投入多少万元时厂家利润最大?k解析：（1）由题总有1 = 41，得k=3,故x=4 2t+ 16+ 12x.y = X X x (6 + 12x) t x33+6x-t=3+6 4) /t 11827- t(t > 0).2t+ 1（2）由（1）知:18 y=27-2t+ 19"I1 t+2由基本不等式当且仅当即t =时,故 y=27六 +1+2t+291 t+21 t+2等号成立,18-t2t+ 1% t+2 <-6 t+2当t=时，y有最大值.所以2009年的年促销费用投入万元时，该厂家利润最大.20. （12分）设数列an的前n项和为Sn,且方程x2- anx-an

16、= 0有一根为Sn1, n = 1,2,3, 求ai, a2；猜想数列&的通项公式.解析：（1）当n=1时，x2aixai= 0 有一根为 S11 = a1一 1,于是（a一 1）2一胡一1） a1= 0,解得 a1=g.当 n = 2 时，x2 a2x a2= 0 有一根为 S2 1 = a2 口1 21于th a2 2 a2 a2 2 a2=0,-11解得白2=.6（2）由题设（91）2 an（Sn- 1） -an=0, _ 2Sn 2Sn+ 1 anSn= 0.当n 4 2时，an = & Sn -1，代.入上式得Si-1Si-2Sn+ 1 = 0由(1)得 S1 = a

17、=几 S2 = a1+ a2 = ;+ -= 22 6 33 n由可d导S3= 7,由此猜想 Sn =, n= 1,2,3 , .4 n+1°x2+1一21 . (12分)设二次函数f(x) = ax2 + bx + c的一个零点是一1,且满足f(x) x叶一2一 < 0怛成 立.(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；，一一，x2+ 1 2x解析：(1)由均值不等式得 2->2x=x,x2+ 1_ ,一，、若f(x) x -f(x) - - & 0 怛成立,x2+ 1即x< f(x)< 2恒成立,12+ 1令 x= 1 得 1<f(1)

18、<2= 1,故 f(1) = 1.(2)由函数零点为一1得f(1)=0,即a-b + c=0,一,，一，1又由(1)知a+b+c= 1,所以解得 a+c=b=.又 f(x) - x= ax2+ 1x+ c x= ax2- 2x+ c,一1因为f(x) - x> 0恒成立，所以A= 44ac<0,1因此ac>16口一，1于是 a>0, c>0.再由 a+c=,c+ a 21 _得ac亍=6 11故 ac=,且 a=c = 4，一 1 C 1 C 11故 f(x)的解析式是 f(x) = 4x2 + 2x2 + / + 4.22. (12分)某少数民族的刺绣有着4g久的历史，下图 (1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图 案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣f越漂亮，现按同I¥的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出 f(5);(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求