知识讲解_对数函数及其性质_基础

1、对数函数及其性质【学习目标】1 .理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2 .探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3 . 了解反函数的概念，知道指数函数y = ax与对数函数y = log a x互为反函数(a>0,a=1).【要点梳理】要点一、对数函数的概念1 .函数y=logax(a>0, aw叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是(0,y值域为R .2 .判断一个函数是对数函数是形如y =loga x(a A0,且a=1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1 ；(2)底数为大于0且不等于1的常数

2、；(3)对数的真数仅有自变量x .要点诠释：(1)只有形如 y=logax(a>0, aw 1 的函数才叫做对数函数， 像 y = loga(x +1), y = 2log a x, y = log a x + 3 等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。(2)求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1;对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象与性质a>10V a< 1图 象”1|比个嗝工性 质定义域：(0, +°0)值域：R过定点(1, 0),即x=1时，y=0在(0, +°0)上增 函数在(0,

3、 +8)上是减函数当 0vxv1 时，y<0,当 x>l时，y>0当 0vxv 1 时，y>0, 当 x>l时，y<0要点诠释：关于对数式logaN的符号问题，既受 a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错 卜面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考以1为分界点，当a, N同侧时，logaN>0;当a, N异侧时，logaN<0.要点三、底数对对数函数图象的影响1 .底数制约着图象的升降.如图Q)要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性)，因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是

4、小于1,不要忽略.2 .底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当 a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)要点四、反函数1.反函数的定义设A,B分别为函数y= f(x)的定义域和值域，如果由函数y= f(x)所解得的x = (y)也是一个函数(即对任意的一个 yWB,都有唯一的xA与之对应)，那么就称函数x=(y)是函数y=f(x)的反函数，记作x = f'(y),在x = f(y)中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成y=f(x)( xB, yA) 的形式.函数x= f,(y) ( yw B

5、,xW A)与函数y = f,(x) (x B,yW A)为同一函数，因为自变量的 取值范围即定义域都是 B,对应法则都为f4.1由定义可以看出，函数 y = f(x)的定义域A正好是它的反函数 y=f (x)的值域；函数y=f(x)的 值域B正好是它的反函数 y = f,(x)的定义域.要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如 y = x2. 一般说来，单调函数有反函数.2.反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x对称.(2)若函数y = f(x)图象上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数图象上，反之，若(b,a )在反函数图象上，则(a,b 2

6、在原函数图象上.【典型例题】类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？(1) y =loga yx(a>0,a #1)；(2) y = log 2 X 2；(3) y =8log 2(X +1);(4) y =l0gx6(x >0,x=1)；(5) y = log6 x .【答案】(5)【解析】(1)中真数不是自变量 X,不是对数函数.(2)中对数式后加 2,所以不是对数函数.(3)中真数为X+1,不是X,系数不为1,故不是对数函数.(4)中底数是自变量 X,二非常数，所以不是对数函数.(5)中底数是6,真数为X,符合对数函数的定义，故是对数函数.【总结升华】已知所给

7、函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件. 类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用例2.求下列函数的定义域：2(1)y=logaX ；(2) y = loga(4-X)(a >0且a#1).【答案】(1) x|x#0 ； (2) x|x<4.【解析】由对数函数的定义知：x2 >0 , 4-X>0,解出不等式就可求出定义域.(1)因为X2 >0 ,即X/0,所以函数y =loga X2的定义域为x|x#0

8、;(2)因为4XA0,即X <4,所以函数y = loga(4-x)的定义域为x|x<4.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0,底数大于0,3x3-1X 1的定义域.【变式1】求函数y =且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都 有意义.一般地，判断类似于y =loga f (x)的定义域时，应首先保证 f(x)>0 .log i(X -1) -1【答案】(1, |)U(|, 2X>140<X-1 E1 ,3x#一L 2X -1 0【解析】因为Jlog1(x-1)>

9、0, 所以 210gi(x1)#1,2所以函数的定义域为(1, 3)U(3, 2.类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值 要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域 优先的观念.例3.比较下列各组数中的两个值大小：(1)log33.6,log38.9；(2)logo.2l.9,log 0.2 3.5；(3)log2 5与 10g7 5 ;(4) 10g35与 1og64 .(5)1oga 4.2,1og a 4.8 (a>0且a#1).【思路点拨】利用函数的单调性比较

10、函数值大小。【答案】(1)< ; (2) < (3) > (4) > (5)略.【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成(1)解法1：画出对数函数 y=1og3X的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为 8.9的点的下方，所以,10g33.6 <1og38.9 ；解法2：由函数y=1og3x在R+上是单调增函数，且 3.6<8.9,所以10g 33.6 < log 38.9 ;(2)与第小题类似,y = log 0.2 x在R+上是单调减函数,且 1.9<3.5,所以10g 0.2 1.9 >1ogo.2 3.5;(3)函数y =1og

11、2 x和y =1og7 x的图象如图所示.当x>1时，y = 1og2X的图象 ytI产在 y = 1og 7 x 的图象上方，这里 x = 5, 1og2 5 > 1og 7 5 .(4) ； 1og3 5 1og 33 =1 = 1og6 6 1og6 4,r /:1 1og 3 5 1og6 4"(5)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法 1 ：当 a>1 时，y=1ogax 在(0, +8止是增函数，且 4.2<4.8,所以，1og a 4.2 < 10g a 4.8当 0<a<1 时，y=log ax

12、在(0, +8正是减函数，且 4.2<4.8,所以，log a 4.2 > log a 4.8解法2:转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令 n =1oga4.2,则 ab1 =4.2 ,令 b? =1oga4.8 ,则 ab2 = 4.8,当a>1时，y=ax在R上是增函数，且 4.2<4.8,所以，b1<b2,即 1oga4.2<1oga4.8当时0<a<1, y=ax在R上是减函数，且4.2<4.8所以，b1>b2,即 log a 4.2>1og a4.8 .【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：(1)比

13、较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性.(2)比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：先利用对数换底公式化为同底的对数，再利 用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；利用对数函数图象的互相位置关系比较大小.(3)若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小.【高清课堂：对数函数 369070例1例4.禾I用对数函数的性质比较30.2、1og32、1og54的大小.【答案】30.2 1og54 1og320.2【斛析】 3 >1 , 1og3 2 <1 , log 5 4 M1 ,.只需比较log 3 2与log 5 4的大小即可.,1og 2 log 5_10g

14、 5_2og 5F0g 5 1log 4 log 320g 4210g3 log 9 1o g 210 g 4，30.2> 1 o g 4 1 o g 2，一 ，一. .，一. ，一一 一. ，,一 12 3 4【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于1 <_ <_ <2的一个结论， 2 3 4 5log21 <log3 2 < log 4 3 clog 5 4 ,得出三个数的大小.举一反三：1 a【变式 1 】设 a = log 1 2 , b = log 1 3 , c =(一),则()323A. avbvc B. av c< b C. b

15、v cv a D . bv avc【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可.【答案】D【解析】a = log 1 2 < 0 , b = log 1 3 < 0, 32log1 2 log 1 2 log 1 3, 322/ 1 0.3c = (一) >0 .3bv av c.故选：D.【总结升华】本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用.例5.已知函数f (x) =log2(x2ax+3a)在区间2, +川 上递增，则实数 a的取值范围是()A.(8, 4) B.(4, 4 C,(8, 4) U 2, +8

16、) D, -4, 2)22【思路点拨】由题息知函数f (x) = log 2(x ax+3a)是由y = log 2 t和t(x) = x ax+3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要t (x)在区间2, +8)上单调递增且f (x) >0即可.【答案】B【解析】令t(x) =x2ax+3a ,由题意知：t (x)在区间2, +8)上单调递增且t (x) > 0a2+2 2又 aCR 解得：4< a<4t(2) =4 -2a 3a 0则实数a的取值范围是(一4, 4故选B.【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本.举一

17、反三：【变式1】求函数y =log2(x2+4)的值域和单调区间.【答案】12,+ );减区间为(吗0 ),增区间为(0,y ).222【解析】设 t =x +4,贝 Ut=x +424, y=log2t 为增函数，: log2 t = log2(x +4)*log24=2二y=log2(x2+4)的值域为再由：y =log2(x2+4)的定义域为R，t=x2+4在(0,收 尸:是递增而在(-«,0匹递减，而y = log2 t为增函数 函数y=log2(x2 +4)的减区间为(3,0%增区间为(0,收卜类型四、函数的奇偶性例6.判断下列函数的奇偶性. f (x) =ln2-x2 x

18、;(2) f (x) =lg於 1 x2 - x).【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：(1)先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行(2),如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。(2)求f(x),如果f(-x)= f(x),则函数是偶函数，如果 f(-x) = -f(x),则函数是奇函数。【答案】(1)奇函数；(2)奇函数.【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行2-x(1)由:>0可得-2 <x <22 x所以函数的定义域为：(-2, 2)关于原点对称2 x2-x j 2-x又 f(x) =ln= ln() =-ln= f (x

19、)，即f (x) = f (x)2-x2 x 2 x .一2-x 一，一所以函数f(x)=ln 是奇函数； 2 x【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形(2)由 v/1+x2 - x > 0可得 x R R所以函数的定义域为 R关于原点对称又 f (-x) = lg(d +x2 + x) = lg ('1+x Lx1 +x -x) = lg :_1T- = -lg“1 + x2 -x):-f (x)1 x -x, 1 x -x即 f(-x)=-f(x)；

20、所以函数 f (x) = lg( J1 + x2 - x)是奇函数.【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌 握.类型五、利用函数图象解不等式1例7.若不等式2 -logax <0 ,当xu 0, - bl恒成立，求实数 a的取值范围.I 2；【思路点拨】画出函数 y=2x的图象与函数y = log ax的图象，然后借助图象去求借。“1 )【答案】'22)22T<a <1【解析】 要使不等式2x-logax<0在x = I0,1 时恒成立，即函数2y = loga x函数y = 2x图象的上方，而y = 2x图象过

21、点1，J2 j.由右图可知，loga的图在01内恒在2显然这里 0vav1, .函数 y = logaX递减.又 loga2j2 = logaa?,a产之3 ,即 a之:|2所求的a的取值范围为1- Y Ma<l.2【总结升华】 数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而 形”则形象、直观，能简化思维过程， 降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合.本例中，利用图形的形象直观 快速地得到答案，简化了解题过程.正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之 一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题.在涉及方程与不等式

22、的问题时，往往构造两个函数 f (x)与g(x),则f (x) = g(x)的实数解等价于两个函数y = f (x) y = g (x)的图象的交点的横坐标；而 f (x) < g (x)的的解等价于函数 y = f (x)的图象在y=g(x)的图象下方的点的横坐标的取值范围.利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程.因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式 的问题.举一反三：【变式1】当xC (1, 2)时，不等式(x1)2 cloga x恒成立，求a的取值范围.【答案】1<a<2【解析】设 "x) =(

23、x 1)2 , fz(x) =loga x ,要使当 xC (1, 2)时，不等式(x 1)2 < loga x恒成立，只需f1(x)=(x1)2在(1,2)上的图象在fz(x) = loga x的下方即可.当0vav 1 产 时，由图象知显然不成立.当a> 1时，如图2-2-5所示，要使在(1,2)上，f1(x) = (x-1)2| 介的图象在f2( x) = log a x的下方，只需 f1(2) < f2(2),即(21)2 «loga2, loga2 >1, .- 1<a<2类型六：对数函数性质的综合应用例8. (2016春 广东揭阳月考)已知函数 f(x) = loga(1 + x)loga(1x),其中a>0且a*.(1)求函数f (x)的定义域；(2)判断f (x)的奇偶性，并说明理由；一 3(3) f ( -)= 2 ,求使f (x) > 0成立的x的集合.5【思路点拨】(1)根据函数解析式有意义的条件即可求f (x)的定义域；(2)根据函数的奇偶性的定义即可判断