知识讲解_《集合》全章复习与巩固

1、集合全章复习巩固【学习目标】1 .理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;2 .理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;3 .理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;4 .能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用要点一：集合的基本概念1 .集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如 110内的所有质数，包括 2要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述一个集合。2 .元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a Ao要注意A颠倒过来写.(2)不属于：如果a

2、不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a5, 7,则3是我们所2, 3, 5, 7就组成了七”的方向，不能把a eAo3 .集合中元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的。 任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素;(2)互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。(3)无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合 1 , 2, 3与3, 1, 2是同一个集合。4 .集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。无限集：含有无限个元素的集合。要点诠释：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作,空集归入有限集。

3、要点二：集合间的关系1. （1）子集：对于两个集合 叫做集合B的子集，记作AA与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合 AB,对于任何集合A规定Ao（2）如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集，记做7.两个集合之间的关系如下:A/B其中记号AR BITI（或BA）表示集合A不包含于集合B （或集合B不包含集合A）。 T2.子集具有以下性质:(1)(2)(3)A A,即任何一个集合都是它本身的子集。如果如果A=B。A C。(4)如果B*C,那么A%C。3.包含的定义也可以表述成：如果由任一 xCA,可以推出xC B,那么A B （或B

4、不包含的定义也可以表述成：两个集合 A与B,如果集合A中存在至少一个元素不是集合II素，那么Ai! B （或bJ A）。4.有限集合的子集个数:(1)(2)(3)(4)n个元素的集合有 n个元素的集合有 n个元素的集合有 n个元素的集合有2n个子集。2n1个真子集。2n1个非空子集。2n2个非空真子集。要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.换言之，任何集合至少有一个子集.要点三：集合的基本运算1 .用定义求两个集合的交集与并集时，要注意 两者都有的意思，在使用时不要混淆。2 .用维恩图表示交集与并集。已知集合A与B,用阴影部分表示 AAB ,或“且”的意义，或”是两个皆可的意

5、思,AU B,如下图所示。A）。B的元且”是3.关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：(1) AnA=A , An = , An B=(BnA) A (或 B);A U A=A , AU =A , A U B=(B UA) A (或 B)。 A。A) ； aJ(Ua)U。(3)德摩根定律：(Qa)(Ub) (U(a|Jb) ；(Qa)U(Gb)G(ab)。；(4) ApB A AB; aJb ABA。4 .全集与补集(1)它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在 A U时，由所有不属于 A但属于U的元素组成的集合，记作 Qa

6、。数学表达式：若 A U ,则U中子集A的补集为a x|x U且x A)。(2)补集与全集的性质(a) a A U , a U。Ku , 1 u。5 .空集的性质卜硝空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A,有a|J A； Ao【典型例题】类型一：集合的含义与表示6 1.选择恰当的方法表示下列集合。(1) “mathematics中字母构成的集合； 2(2)不等式x2 1 0的解集；(3)函数y 6 4的自变量的取值范围。【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。【解析】(1) m,a,t, h,ei,c,s ；獴住心底学；专口一题禺中教学，

7、一、. 2 ，一 x|x 1 0或(3) x | y xx 4 或 x|x 0【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。举一反三：x【变式1】将集合 (x, y)| 2xA.2 , 3B. (2, 3) 【答案】By 5”表示成列举法，正确的是（）y 1【变式2】已知集合A x, yx,y为实数，且x2 y2 1 , Bx, y x, y为实数,且y x ,则A B的元素个数为A. 0B . 1C . 2【答案】C例2.若含有三个元素的集合可表示为a,b,1a值。【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。【答案

8、】1【解析】( )D. 322009, 2009 ,也可以表不为a ,a b,0 ,求a b 的C.x=2 , y=3 D. （2, 3）由a,b,1 ,可得a 1且a 0, aa2 1,则有a a b,或a b 1,a2 a, 解得0.1,或a 0,（舍去）2009 , 2009,故ab1【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否， 初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。 另外，本类问题往往涉及分类讨论的12, 2a2 5a,且一3 £A,求 a 的数学思想。【变式1】（2015秋 安徽省无为县期末）已知集合 A=a

9、-2值.獴住心底学；专口一题禺中教学,3【答案】a 32【解析】一 3c A,2 . a2=3，或 2a 5a 3,一.3得：a=1，或 a -,2检验知：a=-l不满足集合元素的互异性，3a 一.2例3.已知集合A x|mx2 2x 3 0,m R(1)若A是空集，求m的取值范围。(2)若A中只有一个元素，求 m的值。(3)若A中至多只有一个元素，求 m的取值范围。111 .【答案】(1) m - (2) 0, 一(3) m 一或者 m=0333【解析】3(1)当m 0时，xA不为空集，则 m 0不满足题意。2当廿0时，若A为空集，则一元二次方程2mx 2x 3 0实数范围内无解,r1即 4

10、 12m 0,m 1。3,1综上若A为空集，则m 1。3(2)由集合A中只含有一个元素可得，方程mx2 2x 3 0有一解，由于本方程并没有注明是个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当m 0时，可得是一次方程，故满足题意 .当mo时，则为一元二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即判别式为0时m1 1的值，可求得为 m - .故m的取值为0,-.33(3) . A中元素至多只有一个，有以下两种情况存在：集合A是空集；集合 A是只有一个元素.1综合(1)(2)知，若A中兀素至多只有一个，m -或者m=0.3【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集，所

11、以本题实际上是讨论方 程mx2-2x+3=0解的个数问题。类型二：集合的基本关系例4.设集合A=x | K x< 3B=x I x- a> 0若A,B,则a的取值范围是 【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式, 可以借助数轴进行直观的分析。【解析】A B=x I x>a,利用数轴作图如下:B缎恒心点号：杀口一愚由甲款单I ，I 一 a a x 由此可知：a< lo【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是：明确集合中元素的范围及其满足的性质，借助Venn图来分析，直观性强。集合是由元素构成的，要确定一个集合的方法之二是：把集合

12、中的元素一一找出 来，用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是：明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性强。举一反三：【变式1】已知集合A=x | x>l或xv1, B=x | 2avxva+1,若B A,求a的取值范围。【解析】(1)当B是空集，需要 2a>a+1得到a>l(2)当B不是空集且 B的上限小于等于-1,即a<1且a+141,得到a42(3)当B不是空集且B的下限大于等于1,即av 1且2a得到1/2 w抵1综上，aV2或a>1/2【变式2】若集合B=1 , 2, 3, 4, 5, C=小于10的正奇数

13、,且集合A满足A B, A C,则集合A的个数是【思路点拨】由题设，C=1 , 3, 5, 7, 9。因为 A B, AC,可用Venn图发现集合B与C的公共元素为1, 3, 5,则集合A可能含有1, 3, 5三个数中的 的个数即为1, 3, 5的子集的个数。【解析】由已知作 Venn图。个，1个，2个，或3个。故集合A1 , 3, 5的子集中含。个元素的有 1,3, 5的子集中含1个元素的有 1 , 3, 5的子集中含2个元素的有 1 , 3, 5的子集中含3个元素的有1个：；3 个：1 , 3 , 5;3 个：1 , 3, 1 , 5, 3, 5;1 个：1 , 3, 5。1+3+3+1=

14、8 个。由上述分析知集合 A的个数为1,3, 5的子集的个数:例5. (2017春华安县期末)集合 A2一，一一入一一一一 一x x 3x 10 0 ,集合 B=x|m+2 wxW2m1.(1)若B?A,求实数m的取值范围；(2)当xCR时，没有元素x使x C A与xC B同时成立，求实数 m的取值范围.【思路点拨】(1)根据题意，对于 B?A,分2种情况讨论：、当 m+2>2m-1即mv3时，B=?,、当m+2c2m-1即m>3时，要使B?A成立，则 m 22,分别求出m的范围，综合可得答案；2m 1 5(2)根据题意，求出集合 A,分2种情况讨论：若 B=?,即m+2>2

15、m-1,若B丰？则要满足条,m 2 2m 1 m 2 2m 1件或，分别求出m的范围，综合可得答案.m 2 5 2m 1 2【答案】(1) me 3; (2) m|mw3.【解析】(1)根据题意，分2种情况讨论：当 m+2>2m1 即 m<3 时，B=?满足 B?A;当m+发2m1即m>3时，要使B?A成立，则 m 22m 1综上所述，当m<3时有B?A.(2)因为 xCR,且 A=x| 2WxW5 B=x|m+2WxW2m_ 1, 又没有元素x使xCA与xC B同时成立，则若B=?,即m+2>2m- 1,得mv3时满足条件；若Bw?,则要满足条件m 2 2m 1

16、 m 2 2m 1或m 2 5 2m 1 2解得m>3或无解.综上所述，实数 m的取值范围为m|mw 3.B? A时需要讨论B是否为空集.【总结升华】考查集合的包含关系的应用，注意举一反三：【变式】已知集合Ax x2 3x 2 0 ,B x ax 1 0 .(1)若a 2,求a|Jb ； (2)若B A ,求实数a的取值所组成的集合 C . 【答案】详见解析【解析】(1)由题意，A 1,2八-1当a 2时，B21 A B ,1,22(2)由题意，B A.当 B时，a 0，一 ,，1当B时，a 1,21c 0,1,2类型三：集合的基本运算例6.已知全集 U=R,集合M=x| -2<x

17、- 1W2加N=x|x=2k -1, k=1 , 2,的关系的韦恩 (Venn) 图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有()A.3个 B.2个C. 1个 D.无穷多个【答案】B【变式1】已知全集U=R,则正确表示集合 M= 1, 0, 1和N= xx2【解析】二,阴影部分为 MT N=x| -2<x- 1W2 Ax|x=2k k=1 , 2,=穆,3室x短13解X|妲2k-1, k=1, 2, =1，3, 阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项.【总结升华】具体集合(给出或可以求得元素的集合)的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也

18、是高考命题的热点.举一反三：x 0关系的韦恩图是【变式2】设全集为R, A x|3x7,B x|2x10,求(a|Jb)及rA p B.【答案】R(aJb)= x|x 纵x 10； rA pB= x|2 x 3或7 x 10，且 An c二例 7.若集合 A=x | x2ax+a219=0,B=2 , 3 , C=2 , 4,满足 APB 2则实数a的值是。【思路点拨】由题设，AAB且AH C= 知，2, 3与集合A的关系，再进行解答。【解析】由已知：3CA, 2 A ,贝 U 323a+s2-19=0,即 a=5 或 a=2。当a=5时，A=2 , 3,与题意矛盾；当a=-2时，A=-5 ,

19、 3,符合题意。由上述分析知a=-2。【总结升华】 集合是由元素构成的，要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质, 再把集合中的元素一一找出来。例8. (2016春 江西省抚州期末)已知集合A xx2 2x 8 0 ,-2 ，一、一B x x (2m 3)x m(m 3) 0 ,m R .(1)若AAB=2, 4,求实数 m的值；(2)设全集为R,若A (b),求实数m的取值范围.【思路点拨】(1)根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的 交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果.(2)设全集为R,若A (1b),求实数m的取值范围.【答案】【解析】(1)由已知得A x x2 2x 8 0 =2, 4,Bx x2 (2m 3)x m(m 3) 0 ,m R =m- 3, m.毂体祗北号:每日一高中餐单m 3 2. AnB=2, 4, ,m=5.m 4B=m-3, m, . b ( ,m 3)J(m,).A Qb),m 3>4 或 m< 2.m>7 或 m< 2.1. m