等腰三角形“三线合一”的应用举例

1、例说等腰三角形的三线合济宁市梁山县小路口镇初级中学李丽(适用于人教版初二版10 月刊)“三线合一” 性质是等腰三角形所特有的重要性质， 即等腰三角形底边上的中线、 顶角的平分线、底边上的高线互相重合 . 该性质其实包括如下三方面的内容：如图1, ABC中，AB=AC, D是BC上的一点.图1(1)若AD是等腰 ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角/ BAC的平分线，AD是底边BC 上的高线；(2)若AD是等腰 ABC顶角/ BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC 上的高线；(3)若AD是等腰 ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角/ BAC的平分线，AD是底边BC 上的中

2、线.由此可以看出， “三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法. 在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通.一、证明角相等或倍数关系例 1、 已知： 如图 2 ， 在 ABC 中， AB AC ， BD AD 于 D 求证： BAC 2 DBC A【分析】作出等腰 ABC的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得 DBC等于其中任一部分即可.【证明】作 BAC的平分线AE,则有 12 g BAC . AB AC ,12 , AE BC （三线合一）.2 C 90 .又 BD AD

3、, DBC C 90 .2 DBC . BAC 2 DBC .【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的 直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决.二、证明线段相等例 2、如图 3,在 ABC中，AB=AC, BD= CD, DE±AB 于 E, DF±AC于 F,求证：DE= DF.图3【分析】：依题意，DE和DF分别为点D到/BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明 点D在/ BAC的平分线上，这只要证明 AD是/ BAC的平分线.【证明】：连接AD.AB= AC, BD= CD,.AD是等4A

4、BC底边BC上的中线.AD平分/ BAC. . DEX AB 于 E, DF± AC于 F, DE= DF.【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多.因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决.三、证明线段垂直例3、如图4,在 ABC中，AB=AC, D在BA的延长线上， E在AC上，且 AD=AE,求证：DE XBC.BC垂直.要证明【分析】：注意到 ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与DE，BC,应先证明 DE与这条高平行.【证明】：过A作AFI BC于F.AB= AC, AFXBC 于 F, .AF是等腰三角形 ABC底边BC上的高线.AF平分/ BAC. . / BAC= 2 / BAF.AD= AE, D=/ AED ./ BAC= / D+/ AED= 2/D. ./ BAF= / D, DE/ AF.DE± BC 点拨 】当题设中同时具备下列两个条件时， 就可