二次项定理10大典型例题

1、(1)知识点的梳理1 .二项式定理：(a+b)n=C0an+C：anb+C：an-br+C：bn(nwN*),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数C：(r=0,1,2,n).项数：共(r+1)项，是关于 a 与b的齐次多项式通项：展开式中的第r+1项Cnranbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1=Cnranbr表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有(n+1)项。顺序：注意正确选择 a,b,其顺序不能更改。(2+9”与伽+锵”是不同的。指数：a 的指数从 n 逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐项减到n,是开幕排列。各项的

2、次数和等于 n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C：,Cn,C：,C：,Cnn.项的系数是 a 与b的系数(包括二项式系数)。4 .常用的结论:令a=1,b=x,(1x)n=C：C：xC；x2C：xrC：xn(nN)令a=1,b=x,(1x)n=C：-C：x+C；x2+C；xr+(-1)nC；xn(nN*)5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C：=C：，C：二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为+C：+C：+C；+一十C：=2n,变形式C：+C：+一+Cnr+.一+Cnn=2n-1奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和

3、：在二项式定理中，令a=1,b=-1，则C；-C：+Cn2-C；+(-1)nC：=(1-1)n=0,从而得到：Cn+Cn+C；y；十”Cn+C3+C12r由十/M2n=2n2奇数项的系数和与偶数项的系数和：n0n01n42n2.2.n0n12一.一n(ax)=CnaxCnaxCnaxCnax=a0alxa2xanxn00n八1n八22n-2nn0n21(xa)=CnaxCnaxCnaxCnax=anxa2xa1xa0令x=1,则a。+a+a2+a3+an=(a+1)nd令x=T，贝1Ja0-a1+a2-a3+an=(a1)n+得，a0+a2+a4+an=(a21於*工(奇数项的系数和)2-得，

4、a1+a3+a5+an二担二1(偶数项的系数和)2C0二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式n系数 cn2取得最大值。如果二项式的幕指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn2,Cn2同时取得最大值。系数的最大项：求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别Al-Ar一，为A,&,An书,设第r+1项系数取大，应有,从而解出 r 来。A1-A2(2)专题总结题型一：二项式定理的逆用;cn+C；6+C；62+C；6n，解：(1+6)n=C：+C：6+C；62+C；63+C：6n与已知的有一些差距,c1.c2公,C32

5、2.,cn公n111公,C2公2.,cn公n-CnCn6Cn6Cn6：(Cn6Cn6Cn6)611cle(C；C：6C：62C；6n-1)(16)n-1(7n-1)666Cn+3C：+9C；十.一+3nCnn=解：设 Sn=Cn+3C：+9C；+3nJC：,则 3Sn=43+吠 32+C；33+3n=C；+C：3+C；32+C；33+C：3n-1=(1+3)n-1例:练:Sn(13)n-1_4n-1题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式（41+37了的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X3的项的系数？解：由条件知 C：/=45,即 C；=45,二n2-n-90=0,解得 n=-9（

6、舍去）或 n=10,由i2io-2InTT=C；0（xZ）10（x3）r=C；oX43,，由题意1+今=3,解得r=6,43则含有X3的项是第7项丁6+=63=210 x3,系数为210练：求（X2-9展开式中X9的系数?解：4=C9(x2)9(-2)r=C；x182(-1)”=C9(-1)rx183令18-3r=9,则2x22r=31.21故X9的系数为也-六二。题型三：利用通项公式求常数项;例：求二项式（x2+：）10的展开式中的常数项?2、x1练：求二项式（2x2x-）6的展开式中的常数项?解：Tr+=C6（2x）23（-1）（工）,=（-1）回26（1），6口，令6-2r=0,得r=3

7、,所2x2以T4=（1）3C；-201练：若（x2+一）n的二项展开式中第5项为常数项，则n=.x解：T5=Cn4(x2)n-(1 1)4=C4x2nJ2,令2n12=0,得 n=6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(4次)9展开式中的有理项？2L解：Tr+=Cw(x2)10(p)r=C1r0(1)rx蜜，令20-7=0,得r=8,所以T9;对修84525611四27_r解：T=C；(x2)(x3)r=(1)rC9rx6，令三Z,(0ErW9)得r=3或r=9,16所以当r=3时，27=4,T4=(-1)3C93x4=-84x4,6当r=9时，21=3,工0=(_1)

8、3C3=x3。6题型五：奇数项白二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(77-4)n展开式中偶数项系数和为-256,求n.Jx解：设(77-二)n展开式中各项系数依次设为a。,a。，3x2令x=-1,则有a。+a1十an=0,，令x=1,则有a。a1+a2a3十十(1)nan=2n,将-得：2(3)+a3+a5+)=一 2n,二 a1+a3+a5+=一 2n，有题意得，-2n，=-256=-28,二n=9。练：若(g+g)n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解：:C0+C；+C：比:+=C：+C；+C：f+=2n，,二 2n，=1024,解得n=11所以中间两个项分

9、别为n=6,n=7,T5.1=C；(31)6(512)5=462_61T61=462x彳5题型六：最大系数，最大项；一，1例：已知（,+2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数歹 I，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：:C：+C；=2C；.n221n+98=0，解出n=7或n=14,当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T：的系数=C3（g）423=35,1。，T5的系数=C7：（2）324=70，当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是丁8,177二丁8的系数=C；4（）727=343202练：在（a+b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多

10、少？解：二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n=Tn书,-1也就是第n+1项。练：在（xJ）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项23x是多少？解：只有第5项的二项式最大，则n+1=5,即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于C；（l）2=72练：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第 4,5 项）的二项式系数相等,且同时取得最大值，从而有T4=-C3a4b3的系数最小，T5=C；a3b4系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（十2x）n的展开式中系数最大2的项？11解

11、：由 C0+C：+C：=79，解出n=12j贸设丁.书项最大，:（1+2x）=（-）（1+4x）A-Ar!Ar1-Ar2C；24r-C4r，C；24r-。74r1,化简得至U9.4r10.4,又丁0ErE12,1.,展开式中系数最大的项为 T”,有品，）1210/练：在（1+2x）10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设 T4 项最大.=C；02rxrII A Ar”A ArC；02 2r母：2 2二解得 0 01111TMTM，化简得到Ar1-Ar.2|C；02r_C1012r1,r1.2(10-r)6.3k7.3,又T0WrE10,二r=7,展开式中系数最大的项为%=C：027x7=15

12、360 x7.题型七：含有三项变两项；例：求当（x2+3x+2）5的展开式中 x 的一次项的系数?解法：(x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5,Tf=C5r(x2+2)(3x)，当且仅当r=1时，书的展开式中才有 x 的一次项，止匕时 TT=T2=C5（X2+2）43X,所以 x 得一次项为C；C：243x它的系数为C5C：243=240。解法：2555_05_14_5_05_14_5_5(x23x2)5=(x1)5(x2)5=(Cx5C5x4C；)(C；x5C5x42C；25)故展开式中含 x 的项为 c4xC；25+C；x24=240 x,故展开式中 x 的系数为 240.6-2r/口

13、,得62r=0,r=3,T31)(-1)3C；-20.题型八：两个二项式相乘;练：求式子（x2）3的常数项?-1-2x26,设第r+1项为常数项，则_r,.rTr+=C6(T)x6r1r6-r(n)=(-1)C6x例：求(1+2x)3(1x)4展开式中 x2的系数.解：:(1+2x)3的展开式的通项是 0(2x)m=C3n2m.xm,(1x)4的展开式的通项是 C4(x)n=C4-1n，xn,其中 m=0,1,2,3,n=0,1,2,3,4,令 m+n=2,则 m=0 且 n=2,m=1 且 n=1,m=2 且 n=0,因止匕(1+2x)3(1-x)4的展开式中 x2的系数等于 C；2C2,(-1)2+C；2104G1)1+C322C(-1)0=-6求（1+狼）6（1+J）10展开式中的常数项.xmn4m-3n(1+次)6(1+J)10展开式的通项为 C6mxC1n0 x?=C6n01n0，x124xm=0m=3-m=6其中 m=0,1,2,6,n=0,1,2,10，当且仅当 4m=3n,即/或或n-0,n=4,n-8,时得展开式中的常数项为 CC100-CC4C：C80=4246.练：21n.已知（