与抛物线有关的结论

1、与抛物线有结论抛物线中有一些常见、常jy=k(x9)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2-y=2px时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。2结论一：若 AB 是抛物线 y2=2pXp0)的焦点弦(过焦点的弦)，且 7%,%),B(%,y2),则：XX=E,4证明：因为焦点坐标为 F(R,0),当 AB 不垂直于 x 轴时，可设直线 AB 的方程为：y=k(x-卫)，22222_2Vi由得：ky-2py-kp=0-yiy2=-p,xx2=一2p当 AB!x 轴时，直线 AB 方程为 x=R,则 yi=p,22_pxix2一4例：已知直线 AB 是过抛物线 y2=2px(pA

2、0)焦点 F,求证：1+1为定值。lAFlBF证明：设 A(xi,yi),B(x2,y2),由抛物线的定义知：AF=x+-，BF=*2+,又22AF+BF=AB,所以 xi+x2=AB-p,且由结论一知:则：i.i_AFBF_ABAB=AB2（常数）M麻AFBF（xg%胞%卅1/AB_p）fp结论二：(i)若 AB 是抛物线 y2=2pXp0)的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为a,则AB|=2Psin2:(aW0)。(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。证明：(I)设 Aa,%),B(x2,y2),设直线 AB:y=k(x-卫)2由y=k(x-,)得:，ky2-2py-kp

3、2=0.%+丫2=半，y1y2=-p2,22ky=2px(2)由(1):AB 为通径时，a=90：,sin2”的值最大，AB 最小242y2Pp22p4p24y2=p,；y1y2=p2,同上也有:2-p/x?-O412p1k2=2p（1k2）k2k2=2p（1tan二）二2P一2一-T2-tan-sin-易验证，结论对斜率不存在时也成立例：已知过抛物线 y2=9x 的焦点的弦 AB 长为 12,则直线 AB 倾斜角为。解：由结论二，12=一(其中 a 为直线 AB 的倾斜角)，sin:则sina=Y3,所以直线AB倾斜角为三或至。233结论三：两个相切：(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切

4、。(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知 AB 是抛物线 y2=2px(p0)的过焦点 F 的弦，求证：(1)准线相切。(2)分别过 A、B 做准线的垂线，垂足为 M、N,求证：以切。证明：(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M、P、N,连结 AP、BP。由抛物线定义：|AM|=AF|BN=BF,111QP=-(AM|+|BN)=-(AF+|BF)=-|AB,以 AB 为直径为圆与准线 l 相切(2)作图如(1),取 MNK 点 P,连结 PF、MF、NF,vAM|=AF,AM/OF,/AMF=/AFM,/A

5、MF=/MFC,1./AFM=/MFO。同理，/BFN=/NFO,./MFN=1(/AFM+/MFO+/BFN+/NFO)=9021MP=NP=FP=-MN,2./PFM=/FMP./AFP=/AFM+/PFM=/FMA+/FMP=/PMA=90,FPAB以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。结论四： 若抛物线方程为 y2=2pXp0),过(2p,0)的直线与之交于 A、 B 两点， 则 OALOB 反之也成立。证明：设直线 AB 方程为：y=k(x-2p),由y2”x2p)得，a。，x1+x2=k,x1x2=-bJ=2pxAOBO,AOBOx1x2y1y2=x1x2(kx1b)(kx2b

6、)=(1k2)xix2kb(x1x2)b2=0以 AB 为直径的圆与抛物线的将 Xi+X2=k,KX2=b 代入得,b=1。当且仅当 k=0 时，S 凄OB取最小值 1结论五(了解)：对于抛物线x2=2py(p0),其参数方程为产=加2设抛物线x2=2py上动点 P Py=2pt2，坐标为(2pt,2pt2),O为抛物线的顶点,显然G=t即t的几何意义为过抛物线顶点O的2Pt动弦OP的斜率.例直线y=2x与抛物线y2=2px(p0)相交于原点和 A A 点，B B 为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段 ABAB 长为5万,求 P P 的化111解析：设点AB分另IJ为(2ptA2,2ptA)

7、,(2ptB2,2叫)，则tA=0，tB=k=kA=2.kOA2kOB-ru-2AB的坐标分别为J-,pj(8p,4p).AB=J8p+(p+4p)213P=5折.，p=2.练习：1.过抛物线y=ax2(aA0)的焦点 F F 作一直线交抛物线于 P,P,Q两点，若线段 PFPF 与FQ的长分别11THp,q,贝U+=pq【解析：化为标准方程，得x2=1y(a0),从而2pJ.取特殊情况，过焦点 F F 的弦PQ垂aa直于对称轴，则PQ为通径，即PQ=2p=l,从而p=q=工，故1+1=4aa2apq2.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为 F,F,经过点 F F 的直线交抛物线于AB两点.点

8、C在抛物线的准线上，且BC/x轴.证明直线AC经过原点O.【证明：抛物线焦点为F-,0.设直线AB的方程为x=my+卫，代入抛物线方程，得22y22pmyp2=0.若设A(x,y)B(x2yj,则山丫2=2.BC轴，且点C在准线又由yf=2px1,得kA。=红,故kCo=kA。，即直线AC经过原点 O.xy13.已知抛物线的焦点是F(1,1),准线方程是x+y+2=0,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.直线 AB 恒过定点(0,1)iiOB=2X1x2x1=2整理，得x2+y2_2xy_8x_8y=0,此即为所求抛物线的方程.抛物线的对称轴应是过焦点F(1,1)且与准线x+y+2=0垂直

9、的直线，因此有对称轴方程y=x.设对称轴与准线的交点为 M M, ,可求得M(_1,_1),于是线段 MFMF 的中点就是抛物线的顶点,坐标是(0,0)4.抛物线的顶点坐标是A(1,0),准线l的方程是x-2y-2=0,试求该抛物线的焦点坐标和方程.解：依题意，抛物线的对称轴方程为2x+y2=0.设对称轴和准线的交点是 M M, ,可以求得M设焦点为 F F, ,则 FMFM 的中点是 A,A,故55得焦点坐标为F2,211.再设P(x,y)是抛物线上的任一点，55根据抛物线的定义得儿+。二-2厂2,化简整理得5554x2+y2+4xy-4x-12y=0,即为所求抛物线的方程.5.已知AB为抛物线x2=4y上两点，且OA_LOB,求线段 ABAB 中点的轨迹方程.解析：设k0A=t