一元二次方程根与系数的关系韦达定理

1、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理一应用沟造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】2韦达TE理：对于一兀一次万程ax+bx+c=0(a#0),如果万程有两个实数根x1,x2,那么bcx1x2二一，x1x2二aa说明：(1)定理成立的条件A之0b(2)汪思公式重 x1+x2=的负号与 b 的符号的区别a根系关系的三大用处(1)计算对称式的值例若x1,x2

2、是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值:x；十x22；(2)+；(3)(X5)(x25);(4)|x1一%|.xix2解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2=2,x1x2=2007(1)x12x22=(x1x2)2-2x1x2=(-2)2-2(-2007)=401811x1x2-22=x1x2x1x2-20072007(x1-5)(x2-5)=xx2-5(x1x2)25=-2007-5(-2)25=-1972(4)|x1-x2尸4(x1-x2)2=4(x1x2)2-4x1x2-0,k4 或 kW-4口+3=鼻0,k0心=Ic-2a+b=2.比42|(ir-i|=(a+b

3、y2-Aab=；二16.c=2,-4厩k.4、反4J5为所求。【典型例题】212.一一.例1已知关于x的万程x(k+1)x+k+1=0,根据下列条件，分别求出k的值.4(1)方程两实根的积为 5;(2)方程的两实根Xi,X2满足|%|=.分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是X1=X2A0,二是-X1=X2,所以要分类讨论.解：(1);方程两实根的积为 5_212_:=-(k1)2-4(-k21)-0J4.3.=k,k=4卡力2=；k21=52所以，当k=4时，方程两实根的积为5.(2)由|X1|=X2得知：一一3当X120时，=x2,所以万程有两相等实数根，故=0=k=；2当

4、X10=k-,故卜=-1不合题意，舍去.2.要使其值是整数，只需k+1能被 4 整除，故k十1=1,2,土4,注意到k0,要使“+4-2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.X2X1说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在.,3,、“一，综上可得，k=时，万程的两实根X1,X2满足|%|=.2说明：根据二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足二次方程4kX24kX+k+1=0的两个实数根.（1）是否存在实数 k,3使（2X1-X2）（X12X2）=-一成立？若存在，求出k的值;2若

5、不存在，请您说明理由.（2）求使上+上2 的值为整数的实数k的整数值.X2X13解：（1）假设存在实数k,使（2X1-X2）（X12x2）=成立.22一次方程4kx-4kx+k+1=0的两个头数根4k=0.nk2B.k2,且k#1C.k2,且k#14I、2，一,11，2.若Xi,X2是方程2x26x+3=0的两个根，则一+的值为()X1又2A.2B.-2C.1D.-223.已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于x的方22程x+(2m1)x+m+3=0的根，则m等于()A.-3B.5C.5或一3D.-5或3224 .若t是一兀二次方程ax+bx+

6、c=0(a#0)的根，则判别式A=b4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是()A.A=MB.AAMC.ACMD.大小关系不能确定2_2_b-1a-1,5 .若实数a#b,且a,b满足a8a+5=0,b8b+5=0,则代数式十的a-1b-1值为()A.-20B.2C.2或20D.2或20.一.26 .如果方程(bc)x+(ca)x+(ab)=0的两根相等，则a,b,c之间的关系是27 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.8 .若方程2x2(k+1)x+k+3=0的两根之差为 1,则 k 的值是.229 .设x1,x2是万程x

7、+px+q=0的两实根，x1+1,x2+1是关于x的万程x+qx+p=0的两实根， 则p=,q=.21k取何值时，方程存在两个正实数根?10 .已知头数a,b,c满足a=6b,c=ab9,则a=,b=,c=.211 .对于二次三项式x-10 x+36,小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于 10.您是否同意他的看法？请您说明理由.-21m,12 .右n0,关于x的方程x(m2n)x+mn=0有两个相等的的正实数根，求的4n值.213 .已知关于x的一兀二次方程x+(4m+1)x+2m1=0.(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；r111(2)右方程的两根为x1,

8、x2,且满足一+=,求m的值.x1x2221214 .已知关于x的方程x2(k+1)x+k2+1=0的两根是一个矩形两边的长.41(2)当矩形的对角线长是时，求k的值.21.已知关于x的万程(k1)x+(2k3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，X2.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由.22.已知关于x的方程x+3x-m=0的两个实数根的平方和等于 11.求证：关于x的方程(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根.3 .若x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根，且x1,x2都大于1.(1)求实数k的取值范围；4 X1,一(2)右=,求k的值.x22答案1.B2,A3.A4,A6.a+c=2b,且b丰c7.38.9 或310.a=3,b=3,c=0一2_一一13.=16m50(2)m314.(1