2020高考数学复习--专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练习含解析

1、第 3 讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题破解睡点破解睡点1最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）判别式法;单调性法；（5）三角换元法；（6）导数法等.高考真题略（2）当l，x轴时不合题意，【关键1:研究直线l与x轴垂直的情况】故可设l:y=kx-2,Rx1,y1）,Qx2,丫2）,将丫=卜*2 代、X2222入 4-+y=1 得（1+4k）x-16kx+12=0.当=16（4k研考点考向研考点考向破重点难点破重点难点_ _思维方法【基本不等式法】（2014-高考课标全

2、国卷 I）已知点22A（0,2）,椭圆E:0+$=r,23,8k2J4k-3.、3)0,即k4 时，x12=-4k，【关键2:设出直线方1（ab0）的离心率为坐，F程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出的横坐标与参数k的关系式】24.k+1;4k3从而|PQ=Mk2+1|x1x2|=工-2-.AB两点是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为O,O为坐标原3点.（1）求E的方程；（2） 设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.2又点O到直线PQ勺距离d=,144k2-3所以OPQ勺面积SAOPQ=d|PQ=4k2+1.【关键 3：用参数k表小面积】设、4k23=

3、t，则 t0,$OP斫=暨；=47因为 t+94,当t+4t+4t且仅当 t=2,即k=士乎时等号成立，且满足 A0,【关键 4:换元，利用基本不等式求最值】所以，当OPQ勺面积最大时，k=gl的方程为y=i27x2或y=-2.【关键5：利用弦长公式求出PQPG的表达式】2.18k(1+k)所以PQG勺面积 S=2|PQ|Pq=(1+2kb(2+k2)1,8k+k1+27+kk【关键6：将PQG勺面积表示成关于k的函数】1设1=卜+1,则由k0 得t2,当且仅当k=1 时取等号.因k略(2)证明：设直线PQ的斜率为 k,则其方程为y=kx(k0).y=kx,2、一 2 一一由 xy 倚 x=-

4、工.I 己 u=-2,贝 URu,uk),币+会=1 产次产玄2Qu,-uk),E(u,0).【关键 1：巧换元，妙设点P、QE的坐标】k-k_一于是直线QGW斜率为 2,万程为 y=2(x-u).【关键 2：求直【利用函数的单调性求最值】(2019高考全国卷n)已知点A(-2,0),R2,0),动点Mx,y)满足直线AM与1、，BM勺斜率之积为一万.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程， 并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE!x轴， 垂足为E,连接QE并延长交C于点G证明：PQG1直角三角形；求PQGM积的最大值.线QG勺方程】k,、y=2(x-u

5、),2x一42?1设G(XG,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.*yG),则u和XG是方程*的解,由此得yG=uk32+k2.【关键 3:正确求出G点的坐标】uk32+k2uk从而直线PG的斜率为“，加2,au(3k 十 2)zu2+kPG的斜率】所以PCXPG即PQ蜕直角三角形.由得|PQ=2u/i+k2,|Pq=型故XG=u(3k2+2)1、，.【关键 4:求直线kk.1k2+1八12,2+k为 S=不鲁在2,+8)单调递减，所以当 t=2,即 k=1 时，S取得最大值，最大值为。.因此，PQ(积的最大值为6.99典型例题22第(2019安徽宣城二模)已知椭圆C的方程为X+

6、y-=1,A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于一 1 的直线与椭圆C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D(1)证明：直线BD的斜率为定值；(2)求4AB面积的最大值.一一、一.一、一,，八一八,、V2V1【解】【解】(1)证明：设D(xby。，RX2,y2),则A(X1,y,直线BD的斜率k=-一X2X122X1y1.+-=1,42V2y11X1+X2由22两式相减得-L=-x,x2y2X2-X12y1+y2彳十5iy1y2y2-y11因为kAB=1,所以k=二,X1+X2X2X121故直线BD的斜率为定值 2.(2)连接OB因为A,D关于原点对称,所以 SLABD=2SAOB

7、t；,一_11由(1)可知BD的斜率k=2,设BD的万程为y=2X+t,因为D在第三象限，所以一 42vtb0）的离心率为焦距为 2.（1）求椭圆E的方程；13（2）如图，动直线l：y=kx交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2,且卜此二里，M是线段OC长线上一点，且|MC：IAB=2：3,OM的半径为|M（f,OSO设 OM 的两条切线，切点分别为S,工求/SO砸最大值，并求取彳#最大值时直线l的斜率.c2_斛：（1）由题息知e=_=纭,2c=2,a2所以 a=q2,b=1,=111,y（X1+X2）24x1x2=1119632t（2017 高考山东卷）在平面直角坐标系

8、3QE,x22因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(xi,yi),B(x2,y2),Fy2=i，1+8k1.21+4。由题意可知 sin 三用 rTTBC/1+8k|0C/1+4k2r2小+k2d+8k2.231+2k1联立方程y=kix一亭,得(4k2+2)x2-4 于kix1=0,由题意知0,且xi+x2=2.3ki痛 7，2(2k2+1)所以 lAB=,1+k21x1x2|=，21+k：1+8k11+2k2由题意可知圆M的半径r为r=3lAB32 必.1+皿 1+8%二二 2k2+1由题设知所以k2=4k1因此直线0a勺方禾呈为 v#x22.万+y=1联立方程2y=x-xy4k1x得

9、x2=8k1211+4k2y=1+4k23 也 1+2k141+4k2W+k；22令 t=1+2ki,则t1,Je（o,1）,crn,ZSOT1所以 sin2/SOT兀v,26一一一.一兀所以/SOT最大值为.3综上所述：/SOT勺最大值为-j,取得最大值时直线l的斜率为匕=*.范围问题1.几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决.高考真题思维方法因此1竿3242t2+t12112+因此31一，2.代数法：代数法求范围问题，常需要根据条件构造关于某个变量的不等式或函数表达式，然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域(导数与不

10、等式、导数与方程)等方法求出范围，要特别注意变量的取值范围.高考真题思维方法(2018 高考浙江卷)如图,(1)略已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足(1)设AB中点为 M 证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆1(x0)上的动点,求PAB面积的取值范围.y1+y2=2y。，(2)由(1)可知2y/2=8x。一y。,1,2.2、32所以|PM=g(丫1+y2)-x0=y03x。，|y1y2|=22(y。4x。).因此，PAB的面积 SPAB=【关键 1：利用根与系数的关系，用P点坐标表示PAB勺面积】2因为x0+，=1(1wxo1,y1),N(x

11、2,y2).由x24222得(4k+3)x8kx.2+4k-12=0,【关键 1:分类讨论,当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元得(2016高考全国卷 I)设圆x2+y2+2x-15=0 的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD点E.(1)证明|EA+IEB为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C,直线l交C于MN两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ?积的取值范围.则 xdx2=S，4k+312(k2+1)4k2+3.24k122x1x2=4k2+3,所以|MN=弋1+k|x

12、1x2|【关键 2:利用根与系数的关系及弦长公式求弦长】1过点B(1,0)且与l垂直的直线my=-(x-1),A到m的k一,2距离为【关键 3:利用点到直线的距离公式求距离】所以|PQ=42-VkV14k3k2+1.【关键 4:利用圆中半径、弦长一半、弦心距的关系求弦长】一一一一 1 一故四边形MPNQJ面积 S=2|MNIPQ=111+4k2+3.【关键5：用直线斜率k表示四边形MPNQJ面积】可得当8W).l与x轴不垂直时，四边形MPNQJ积的取彳 1 范围为(12,【关键6：利用k20 求取值范围】当l与x轴垂直时，其方程为 x=1,|MN=3,|PQ=8,四边形MPN的面积为 12.【

13、关键 7:分类讨论，直线斜率不存在时四边形MPNQJ面积】综上，四边形MPN面积的取彳 1 范围为12,8r3).典型例题钝国(2019安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆 C:22xy7+#=1(ab0)的焦点坐标分3 别为Fi(1,0),F2(1,0),P为椭圆C上一点，满足 3|PF|=5|PF2|且 cos/FiPF=.5(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A,B两点，一 1 一 4 一一，、点Q不0,若|AQ=|BQ,求k的取值范围.【解】【解】(1)由题意设|PF|=1,|PE|=2,则 3r1=5 匕又1+2=2a,所以3r2=-a42y=123，消去y

14、得(3+4k)y=kx+m2、Mrt,8km4m12、,一，/2、公y2),则xdx2=3+4k2,x1x2=3+4k),且=48(3+4km)0,一，一，1因为|AQ=|BQ,所以AB!QM又 Q,0,M为AB的中点，所以kw0,直线QM勺斜率3m-7223+4k.-3+4k-存在，所以k,kQMk,=一1,斛得m=一3，4km14k3+414求解范围问题的常见方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系.回似方法5r1-4a，在APFFz中，由余弦定理得，cos/F1PE=222r

15、2+r2一|FF2|22r11252322：a+-a244532aa4435解得a=2,因为c=1,所以b=ac=3,22所以椭圆C的标准方程为 9 卜1.2x、T+(2)联立方程4x2+8kmx+411212=0,设A(x1,y。，B(x2,设AB的中点为 Mx。，y。)，连接QM则xO=x1+x24km234k2,3my0=kx0+m=彳汞,把代入得3+4k2-号”整理得16k4+8k2-30,即(4k?1)(4k2+3)0,(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标

16、函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围.在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围.对点训练(2019 洛阳模拟)已知 A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AE|=a(a0),过A,B分别作x轴的垂线，与抛物线y2=2px(p0)在第一象限分别交于D,C两点.(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合，求直线CD的斜率；Si(2)若O为坐标原点，记OCD勺面积为S,梯形ABCD勺面积为S2,求工的取值范围.解：(1)由题意知Ap,0,则Bp+a,0,Dp,p,则Cp+a,Jp2+2pa,又a=p,222212

17、p所以=4p8pkb0,得kb2,所以kCD=22(2)设直线CD勺方程为y=kx+b(kw0),C(xi,yi),C(x2,y 公,y=kx+b2由2_2，得ky2py+2Pb=0,因为|CD=业+k21xix2I=a,1+k2,点O到直线CD的距离d=r旦E，n+k21.2Ib|1所以S=-a-J1+k-2=rab.2.;1+k2又S2=2y1+y2)Ix1x2|=；fa=*,22kk因为 0kbp,所以 0S10,yiy2=_pb0,可知k0,b0,kk所以S2kb2?位置关系等等.证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.高考真题思维方法(2018高考全国卷I)

18、设一X22,1椭圆 C-+y=1 的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当l与X轴垂直时，求直线AM勺方程；(2)设O为坐标原点，证明：/OMA/OMB(2)证明：当l与x轴重合时，/OMA?/OMB0.略【关键1:分类讨论(1与x轴重合)，证明/OMA：/OMB当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以/OMAZOMB【关键 2：分类讨论(l与x轴垂直)，证明/OMA：/OMB当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x1)(kw0),Nxi,y1),B(x2,v4，【关键 3:设出直线方程及直线与椭圆交点的坐标】则x1d2,x2J2,直线MA

19、MB勺斜率之和为kMA+kME=-y+vx12y2.x22由y1=kx1k,y2=kx2k得kMkMK2kx1x2-3k(xdx2)+4k(x12)(x22)【关键 4:用交点横坐标表示直线MAMB勺斜率之和】、x22一.22.2.2将 y=k(x1)代入万+y=1 得(2k+1)x-4kx+2k2=0.,2,2,4k2k2所以x1+x2d2-x1x2d2-2k+12k+1【关键 5:联立直线方程与椭圆方程，用参数k表示交点横坐标】3_33一4k4k12k+8k+4k则 2kxx23k(x+x2)+4k=2k2+1=0.从而klMA+kMB=0,【关键 6：把直线MAMB勺斜率之和用k表示并化

20、简，可证/OMA/OMB故直线MAMB勺倾斜角互补，所以/OMAZOMB综上，/OMAZOMBX2y2x2v2证明：设A(Xi,yi),B(X2,y2),则=1,=43431.V1y2X1+X2y1+y2两式相减，并由-=k 得一二+Q*=0.【关键 1：X1一X243点差法表示直线斜率】,X1+X2丫1+丫2一3_,由题设知2=1,y产=簿于是 k=4 布【关键 2:构造函数】31由题设得0Vm0).1证明：k2;(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0.证明：IFA,IFp,IFB|成等差数列，并求该数列的公差.+X2)=1,ys=(yH-y2)=2m3又点P在C上，所

21、以m=4,从而P1,2,|Fp=-,于是|FA|=弋(xi-1)234+y2=(xi1)2+314=2X1一 2.同理|FB|=2X2,所以|FA|+|由|=4芥1+*2)=3.【关键 4:用AB的横坐标表示向量FA,FB的模】故 2|FP|=|FA|十|FB,即|笛，|FP|,|FB成等差数列.设该数列的公差为 d,则 21d|=|FB-|FA|=：|X1X2|=2j(X1+X2)24X1X2.【关键5:设出公差，并用AB的横坐标表示】公 37将 m=4 代入得 k=-1,所以 l 的方程为 y=-X+-,R、一、一-、一一o1 一入C的万程，并整理得 7x214x+：=0,故XI+X2=2

22、,X1X242=而.【关键 6：利用m与k的关系求k的值，与出 28直线l的方程，代入椭圆方程求出两根之和与两根之积】代入解得|d|=1.所以该数列的公差为节1或一42128.典型例题x3y1。为坐标原点，直线l：孑一第=1的斜率与直线0A的斜率乘积为一.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点A的直线y=x+t(tW0且teR)与椭圆C交于P,Q两点，P关于原点的对称点为R与点A不重合)，直线AQAR与y轴分别交于两点MN,求证：|AM=|AN.【解】【解】(1)由题意知，kOA.kl=-.J32=-2=-,23aa4即a2=4b2,-13_又孑+4F：1,(2)证明：设RXI,y。，QX2,y

23、2),则 RXI,一y。，由得x2+/3tx+t21=0,所以 A=4120,即一 2tb0)上,所以联立，解得a=2b=1所以椭圆C的方程为X22.Z+y=1.3,y=2x+tx22+y=14所以 1AM=|AN|.法二：要证明|AM=|AN,可转化为证明直线AQAR与y轴的交点MN连线的中点S的纵坐标为23,即AS垂直平分MNP可.直线AQAR的方程分别为；313-y2-2 用-y1+23分别令 x=0,彳导yM=X2-12，yN=X1+12，；313-力-安-y1+2 厂所以yM+yN=X21+X1+1Y乎X1t+乎(X2-1)+乎X2t乎(X1+1)(X21)一q3xiX2t(X1+X

24、2)y(Xl+1)(X21)一串(t2-1)一 t(一木 t)一y3(X1+1)(X21)=-后ys=*2yL乎，即AS垂直平分MN所以|AM=|AN.几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.对点训练X2y22(2019湖南省五市十校联考)已知椭圆 C：丁+/=1(ab

25、0)的离心率为 22，右焦点为F,以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线X-丫+啦=0 相切.lAQ：y+3Q2+22X2-1J3y1(X1),IAR：y+-=_Xi-1(X1),(Xi+1)一.13(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点 R2,0)的直线l交椭圆C于 A,B两点，连接AF并延长交C于M求证：/PFM=/PFB解：(1)依题意可设圆O的方程为x2+y2=b2,因为圆 O 与直线 xy+J2=0 相切，所以 b=!2|2=1,所以 a2c2=1,j1+1又|=事,所以 M2,UL4、E,X22所以椭圆C的方程为万+y2=1.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l

26、的方程为y=k(x2).y=k(x2)由x22得(1+2k2)x28k2x+8k22=0,2+y=1因为l与椭圆有两个交点，所以 A0,即 2k210.设A(x1,y。，B(x2,y2),直线AF,BF的斜率分别为kb.2.2w8k8k2则x1+x2=Ex1x2=iT即/PF阵/PFB练典型习题练典型习题G提数学素养提数学素养22，一xy1.已知F为椭圆 C:-+t-=1 的右焦点，M为C上的任意一点.43求|MF的取值范围；32 2)P,N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为一4,证明：MN两点的横坐标之和为常数.解：(1)依题意得 a=2,b=，3,所以 c=a2b2=1,

27、所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0),k2,y1y2因为F(1,0),所以k+g3+告k(x12)x1-1+k(x22)x21=2k-k117+7x11x21=2k-kxx1+x22x1x2一(x1+x2)-=2k-kx+18k21+2k228k228kL1+2k21+2k*1=2k-kx2-4k一 22k2-1=0,设椭圆C上的任意一点M的坐标为(XM,yM),22XMyM则 4+3=1,所以|MF=(XM-1)+yM=(XM1)+37XM=XM2XM+4=(XM4),444又一 2WXM2,所以 1W|MF2W9,所以 1W|MFb0)的左、右焦点分别为 E,ab为椭圆上一动点(异于左、

28、右顶点)，AFE 的周长为 4+2 也，且面积的最大值为也.(1)求椭圆C的方程;(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为p,OAOBO为坐标原点)的斜率分别为yp),(XM,yM),(XN,yN),设直线PMPN的斜率分别为ki,k2,则直线PM的方程为yyp=ki(x-xp),消去V，所以XM=8ki(kixpyp).24k1Xp8kyp3X77-2XP=7723+4k13+4k1F2,Ak1,-1-k2,且k1k2=&求|Op的取值氾围.解：(1)由椭圆的定义及AFF2 的周长为4+2 小,可得 2(3+0)=4+273,所以 a+c=2+小.当A在上(或下)顶点时，AFF2

29、的面积取得最大值，即bc=/,由及a2=c2+b2,得a=2,b=1,c=3,x22所以椭圆 C 的方程为：+y2=1.4111(2)当直线AB的斜率不存在时，k1=-k2,因为k1k2=-,所以 k=2,不妨取 k=2,1则直线OA的方程为 y=x,不妨取点A/,乎，则 B42,半，P(2,0),所以|0印=啦.y=kx+m当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+mA(x1,y。，B(x2,y2),由？+4？4可得(1+4k2)x2+8km杆 4n24=0,A=64k2M4(4k2+1)(4m24)=16(4k2+1n2)0,所以 4(kx1+n)(kx2+m)+x1x2=(4k2+1)xa+4knjx1+x2)+4ni=4n2-4-0,化简得 2m2=1+4k2(满足式)，所以宿：.x+x2-4km2k1y0),则x0=-=/12=,y0=kx0+m=T21+4km2n4k