2020版高考数学复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合基本问题练习理含解析新人教A版

1、第八章计数原理、概率与统计第 45 讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合基本问题1 .理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2 .理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.【基础检测】1 .图书馆的一个书架有三层，第一层有 3 本不同的数学书，第二层有 5 本不同的语文知识体系【P96】应用税率统jrjr【学习目夯实基础【P96书，第三层有 8 本不同的英语书，现从中任取一本书，不同的取法有A.12B.16C.64D120【解析】由于书架上有 3+5+8=16 本书，则

2、从中任取一本书，共有 16 种不同的取法.【答案】B2 .火车上有 10 名乘客，沿途有 5 个车站，乘客下车的可能方式有（）A.105种 B.51种C.50 种 D.以上都不对【解析】每个乘客都有 5 种不同下车方法，相互独立，故乘客下车的可能方式有10t5X5XX5=5 种.【答案】B3 .将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.12 种【解析】分 3 步进行：为甲地选一名老师，有 d=2 种选法；为甲地选两个学生，有C2=6 种选法；剩下的

3、1 名教师，2 名学生安排到乙地，有 1 种选法.则不同的安排方案共有 2X6X1=12 种.【答案】D4 .在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科（3 门理科学科，3 门文科学科）中选择 3 门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有种.【解析】选择两门理科学科，一门文科学科，有CC1=9 种；选择三门理科学科，有 1种，故共有 10 种.【答案】105 .下列等式中成立的有.（填写序号）Cm=庭 CTm；G+1=G+GAl2=(n+2)(n+1)虐【答案】【知识要点】1 .分类加法计数原理完

4、成一件事件有 n_类_不同的方案， 在第一类方案中有 m 种不同的方法， 在第二类方案中有优种不同的方法，在第 n 类方案中有 m 种不同的方法，则完成这件事情，共有 N=_m+m2+下+m_种不同的方法.2 .分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤_,完成第一步有 m 种不同的方法，完成第二步有优种不同的方法，完成第 n 步有 m 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N=mm2mn种不同的方法.3 .分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一彳事情的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立

5、,用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与一分步有关，各个步骤.相互依存一只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.4 .排列排列的定义：从 n 个不同的元素中任取 m(mcn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从 n 个不同的元素中任取 m(mcn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数，用符号A表示.(3)排列数公式：Am=n(n1)(n2)(nm+1),这里 n,mCN*,并且mn.(4)全排列：n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列，即An

6、=n-(n-1)-(n-2)2-1=n!.于是排列数公式写成阶乘的形式为5.组合(1)组合的定义： 从 n 个不同的元素中取出 m(mcn)个元素_并成一组_,叫彳从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从 n 个不同的元素中取出 m(mcn)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的组合数，用C表示.n!一_CQm.规定0!1(4)组合数的性质：cm=_cn-m_；cm+1=cm+卅.组合数的计算公式Cmnnm!(nm!n(n1)(n2)(nm+1)m(m1)21,这里n,*0mCN,并且 men.Cn=1等典例剖析忤97】考点 1 分

7、类加法计数原理的应用例 1(1)从甲地到乙地每天有直达汽车 4 班，从甲地到丙地，每天有 5 个班车，从丙地到乙地每天有 3 个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有()A.12 种 B.19 种 C.32 种 D.60 种【解析】分两类：一类是直接从甲到乙；另一类是从甲经丙再到乙，可分两步.第一类有 m=4 种方法，第二类有 n2=5X3=15 种方法，由分类计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法 n=n1+n2=4+15=19.【答案】B(2)数学老师从一弓测试卷的 12 道选择题、4 道填空题、6 道解答题中任取 3 道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的不同取法有种.【解析】分三类：其

8、一是选择、填空、解答各一道，有 C；2ddi=288 种取法；其二是选择题 2 道、填空题 0 道、解答题 1 道，有戌&=396 种取法；其三是选择题 1 道、填空题 0 道、解答题 2道，有 C12c4d=180 种取法，综上满足题设的不同取法种数为 n=288+396+180=864.【答案】864(3)已知集合昨1,2,3,4,集合 A,B 为集合 M 的非空子集，若对？xCA,yCB,xy 恒成立，则称(A,B)为集合 M 的一个“子集对”，则集合 M 的“子集对”共有个.【解析】当 A=1时，B 有 231 种情况；当 A=2时，B 有 221 种情况；当 A=3时，B 有 1种情

9、况；当 A=1,2时，B 有 221 种情况；当 A=1,3,2,3,1,2,3时，B 均有 1 种情况；所以满足题意的“子集对”共有 7+3+1+3+3=17(个).【答案】17【点评】利用分类加法计数原理解题时 2 个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.考点 2 分步乘法计数原理的应用例 2(1)有六种不同颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有()A.4320B.2880C.1440D.720【解析】第一个区域有 6 种不同的涂色方法，第二个区域有 5

10、种不同的涂色方法，第三个区域有4 种不同的涂色方法，第四个区域有 3 种不同的涂色方法，第六个区域有 4 种不同的涂色方法，第五个区域有 3 种不同的涂色方法，根据乘法原理得不同的涂色方法共有 6X5X4X3X3X4=4320 种.【答案】A(2)从一 1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)=ax2+bx+c 的系数，则可组成个不同的二次函数，其中偶函数有个(用数字作答).【解析】一个二次函数对应着 a,b,c(aw0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 3X3X2=18 个二次函数.若二次函数为偶函数,则

11、 b=0,同上可知共有 3X2=6 个偶函数.【答案】18;6(3)某出版社的 7 名工人中，有 3 人只会排版，2 人只会印刷，还有 2 人既会排版又会印刷，现从 7人中安排 2 人排版，2 人印刷，有几种不同的安排方法.【解析】第一类：既会排版又会印刷的 2 人全不被选出，即从只会排版的 3 人中选 2 人，有 3 种选法；只会印刷的 2 人全被选出，有 1 种选法，由分步计数原理知共有 3X1=3 种选法.第二类：既会排版又会印刷的 2 人中选出 1 人，有 2 种选法.若此人去排版，则再从会排版的 3 人中选 1 人，有 3 种选法，只会印刷的 2 人全被选出，有 1 种选法，由分步计

12、数原理知共有2X3X1=6 种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的 2 人中选 1 人，有 2 种选法，从会排版的 3 人中选 2人，有 3 种选法，由分步计数原理知共有 2X3X2=12 种选法；再由分类计数原理知共有 6+12=18 种选法.第三类：既会排版又会印刷的 2 人全被选出，同理共有 16 种选法.所以共有 3+18+16=37 种选法.【点评】利用分步乘法计数原理解题时 3 个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.考点 3 组合基本问题例

13、 3 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？【解析】可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有d4=561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有 561 种.(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有区种或者晨一 C24=C34=598

14、4(种).，某一种假货不能在内的不同取法有 5984 种.(3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C；0C25=2100(种).，恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2100 种.(4)选取2件假货有 Cl。 种， 选取3件假货有C35种， 共有选取方式C10C25+C35=2100+455=2555(种).至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2555 种.(5)选取 3 件的总数有 C35,因此共有选取方式C35-C35=6545-455=6090(种).，至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6090 种.【点评】组合问题常有以下两类题型变化：6 1)“含

15、有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.7 2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.考点 4 排列基本问题例 4 有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中甲只能在正中间或者两边位置.(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.(4)全体排成一

16、行，男、女相间.(5)全体排成一行，男生不能排在一起.(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.(7)排成前后二排，前排 3 人，后排 4 人.(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 3 人.【解析】(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲.左、右、中共三个位置可供甲选择，有A3种，其余 6 人全排列，有 A6种，由乘法原理得A3A6=2160 种.(2)位置分析法，先排最左边，除去甲外，有 A6种，余下的 6 个位置全排有 N 种，但应剔除乙在最右边的排法数AA5种，则符合条件的排法共有A6A!AA!=3720 种.(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列，再与其

17、他元素进行全排列.共有 A3A5=720 种.(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有 AH=144 种.(5)插空法：先排女生，然后在空位中插入男生，共有A4A5=1440 种.(6)定序排列：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N,第二步，对73A一、甲、乙、丙进仃全排列，则为七个人的全排列，因此 A7=NXA?,Nl=其=840 种.(7)与无任何限制的排列相同，有 A7=5040 种.(8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A3种，甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、 乙相邻的排法有A3A2种.最后再把选出的 3 人的排列插入到

18、甲、 乙之间即可.共有 A3XA2XA3=720种.【点评】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.1.计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否是按元素的性质进行，分步是否是按事件发生的过程进行.2 .排列与组合的定义相近， 它们的区别在于是否与顺序有关.处理排列组合问

19、题的一般思想是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，要注意积累分类与分步的基本技能.3 .分清问题与元素顺序有关还是无关，是区分排列组合问题的原则；搞清解决问题的方法需分步还是需分类，是统计排列与组合问题总数的依据.图走进高考P984 .(2016全国卷 H)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到【P98】方法总结位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.9【解析】E-有 6 种走法，F 一 G 有 3 种走法，由乘法原理

20、知，共 6X3=18 种走法.【答案】B5 .（2017天津）用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.（用数字作答）【解析】一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有 C1C5A4=960（个），四个数字都是奇数的四位数有A5=120（个），则至多有一个数字是偶数的四位数一共有 960+120=1080（个）.【答案】10806 .（2018全国卷 I）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）【解析】可分两种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法

21、有乙戊=12（种），有 2 位女生21一入选，不同的选法有 GC4=4（种）.根据分类加法计数原理知，至少有 1 位女生入选的不同选法有 16 种.【答案】161.如图所示，从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（）A6,8B,6,6C.5,2D.6,2=6 种;再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有【解析】由题意, 从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得,共有 2X36+2=8 种走法.00A 组题【答案】A2 .若 Am=2 解，则m的值为（）A.5B.3

22、C.6D.7【解析】根据题意，若$=2Am,则有mm-1）（m-2）（m-3）（m-4）=2xm（m-1）（m-2）,即（m-3）（m-4）=2,解得：m=5.【答案】A3 .某人的手机号码为 139Xxxxxxxx,若前六位固定， 最后五位数字是由 6 或 8 组成的， 则这样的电话号码的个数为（）A.20B.25C.32D.60【解析】依据题意知，后五位数字由 6 或 8 组成，可分 5 步完成，每一步有 2 种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为 25=32.【答案】C4 .元旦假期，高三的 8 名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班各两名

23、，分乘甲，乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置顺序），其中（1）班两位同学是挛生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A.18 种 B.24 种 C.48 种 D.36 种【解析】由题意，第一类，（1）班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为 C2=3 种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为 C1C2=4种，故有 3X4=12 种；第二类，（1）班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 4=3 种，然后再从剩下的两个班级

24、中分别选择一人为 dd=4 种，这时共有 3X4=12 种.根据分类加法计数原理得，共有 12+12=24 种不同的乘车方式.【答案】B5. 4 名运动员参加 4X100 接力赛， 根据平时队员训练的成绩， 甲不能跑第一棒， 乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（）A.12 种 B.14 种 C.16 种 D.24 种【解析】由于 4 名运动员四棒全排共有&=4X3X2X1=24 种，其中甲跑第一棒的种数为A3=3X2X1=6;乙跑第四棒的种数为 A3=3X2X1=6;其中甲跑第一棒， 同时乙跑第四棒的种数为 A2.则所有不同出场的顺序为 H2AUA2=2412+2=14.【答案】B6 .某班举

25、行的联欢会由 5 个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种.【解析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有鹿种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共 3XA2XA3=36 种；当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共 A3=6 种.综上，编排方案共 36+6=42 种.【答案】427 .两人进行乒乓球比赛，先赢 3 局者获胜，决出胜负为止，假设不会出现平局，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有种.【解析】利用分类讨论

26、法求解.由题意知比赛场数至少为 3 场，至多为 5 场.当为 3 场时，情况为甲或乙连赢 3 场，共 2 种.当为 4 场时，若甲赢，则前 3 场中甲赢 2 场，最后一场甲赢，共有 C2=3 种情况；同理，若乙赢也有 3 种情况.共有 6 种情况.当为 5 场时，前 4 场甲、乙各赢 2 场，最后 1 场胜出的人赢，共有 2d=12 种情况.由上综合知，共有 20 种情况.【答案】208 .在 0,1,2,3,，9 这十个自然数中， 任取三个不同的数字.则组成的三位数中是 3 的倍数的有个.【解析】若组成的三位数能被 3 整除，则先把 0,1,2,3,，9,这十个自然数中分为三组：（0369）

27、;（147）;（258）.若每组中各取一个数，含 0,共有 dddA2=36 种；若每组中各取一个数不含 0,共有 01dM=162 种；若从每组中各取三个数，共有 3Al+C3&=30 种.综上，组成的能被 3 整除的三位数共有 36+162+30=228 种.【答案】228B 组题1.某班级有 6 名同学去报名参加校学生会的 4 项社团活动.若甲，乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A.2160B,13200.2400D,4320【解析】每个社团都有人参加有 2 种情况，第一种，有 1 个社团有 3 人参加其于 3 个社团每个社团都是

28、 1 人参加，利用间接法，有（C6C4）,A4=384 种,第二种，有 2 个社团分别都有 2 人参加，另外 2 个社团都是有 1 人参加，利用间接法,CsCi_24有A2-C4XA=936 种,所以分类加法计数原理，可得 384+936=1320 种.【答案】B2 .四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著红楼梦、三国演义、水浒传、西游记（每种名著均有若干本）,要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅三国演义，则不同的借阅方案种数为.【解析】根据题意，要求甲借阅三国演义，分 2 种情况讨论，乙、丙、丁、戊有 1 人与甲一起借阅三国演义，在 4 人选出 1 人，与甲一起借阅三国演义，有 4 种情况，让剩下的三人对应剩下的三本名著，有 A3=6 种情况，则此时有 4X6=24 种不同的借阅方案；乙、丙、丁、戊中没有人借阅三国演义，在 4 人选出 2 人，共同借阅除三国演义外的一本名著， 有 d6