高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习

1、导数的意义基本知识1导数、单侧导数、导函数的定义：       左、右导数    导函数 2导数的几何物理意义：   几何意义： 表示曲线 在点 处的切线斜率，即 其中 是切线的倾角。   物理意义： 表示做变速直线运动 的物体在 时刻的瞬时速度，即 。3 在 点可导的性质：   性质1（必要条件） 在 点可导 在 点连续，            

2、          即： 可导连续，不连续不可导。   性质2（充要条件） 依此用于判定连续函数在分段点的可导性。   性质3 在 点可导且 ：               当 有             &#

3、160;  当 有 即 的符号指示了 在点 变化方向！4两个结论：1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数；             2）可导的周期函数的导数仍为具有相同周期的周期函数。   下面给出结论1的证明：   设 为偶函数，即 又 可导，根据导数定义，              

4、0;                             即 为偶函数。求导的基本知识1.求导法则（四则运算法则）：  若 都在点 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在 具有导数，且2.反函数的求导法则：  若 在区间 内单调，可导且 ，则它的反函数 在区间 内也可导，且 即“反函数

5、的导数等于直接函数导数的倒数”。3.复合函数的求导法则：  若 可导， 则复合函数 在点 可导，且 4.常用求导公式：（略）5.补充两个结论：  点连续且 ，         则 点可导 点可导。点连续且 ，         则 点可导 点可导且 。       依此，可方便地判定 在一点的可导性。  点可导， 点连续但不可导， 

6、0;       则 在 点可导        即若 在 点不可导，         若 在 点可导且       依此，可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性。证明： （或 ）             

7、60;        有 （或 ）                                          &

8、#160;               （或 ）            点可导 点可导              且 点导数         

9、;         点导数 。        点可导 存在                                    

10、                     或                               &#

11、160;                     即 。        设           由             

12、60;                                   知 点可导且          设 点可导，反证之，若      

13、0;        由 知 ，由 、 点可导且   知 点可导与条件 点连续矛盾               高阶导数基本知识1.高阶导数定义: 二阶导数：   阶导数： 2.高阶导数的基本公式：        （ 任意数）  、 简记为 、 ， 、 阶可导，    &

14、#160;        重点难点1.求一给定的函数 的任意阶导数即 ，常用如下方法： （1）归纳法：先逐一求出 的一、二、三阶导数，然后正确归纳 的公式（必要时用数学归纳法证明之）。 （2）分解法：通过恒等变形将 分解成 ，求出 、 ，则有 。 （3）用莱布尼兹公式求乘积函数的 阶导数。 （4）利用简单的初等函数的 阶导数公式。2.求高阶导一般比较麻烦，应先化简变成基本公式中的形式，再套用公式。 例（1）求有理分式的高阶导时，应先化为真分式和多项式之和，而真分式分解成若干次数较低的分

15、式之和，此后再求导。   （2）求三角函数的高阶导时，通过倍角公式或积化和差将其化为若干个基本三角函数的代数和，再行求导。   （3）反三角函数的高阶导数时，因反双曲、对数函数的一阶导都是代数函数，它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数。3.计算带有 或分段函数的复合函数的二阶导数时，应先把复合函数按分段函数正确表达，再逐次求导；在分段点若一阶导不存在，则二阶导不必计算；若存在，应根据一阶导的分段表达式再按导数定义进行计算，步骤比较多，不要遗漏。习题选解1. 求下列函数的二阶导数：（10）  解：（采用逐阶求导法解之）   

16、   （11） 解：     3.若 存在，求下列函数 的二阶导数 ：（1）  解：             （2）  解：               4.试从 导出：（1）           （

17、2）  证明：（1）       （2） 注： 、 等仍是 的函数6.验证 （ 、 、 常数）满足关系式 。证明：只须算出 ，再验证之                            8. 求下列函数的 阶导数的一般表达式：（2）  解：    （4）

18、解：由乘积函数的莱布尼兹公式和 得：    9. 求下列函数所指定的阶的导数：（2） 求 . 解： 的高阶导数都为零，应该用莱布尼兹公式计算本题    在线检测1.设 有 阶导数，求证： .2. 求下列函数的 阶导数 ：（1）       （2）     （3） 3.求 在 处的 阶导数。4.设 ， 具有二阶导，求 .【答案：1.略  2.（1） 提示： ，注意    （2） 提示：变形  

19、60;                                                                           &