高等数学十五2010新版

1、格林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P（ x ，y）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。 （四）例题【 例 1- 3 - 22 】 计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度 1 ）。【解】 取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则 L 的参数方程为于是【 例 1-

2、3 - 23 】计算y2dx，其中L是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ）。【 解】 L 是参数方程为当参数从 0 变到的曲线弧。因此 五、积分的应用（一）定积分的应用 1 几何应用 （ 1 ）平面图形的面积 1 ）直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) g （ x ) ）和直线 x = a 、 x = b所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积2 ）极坐标情形设平面图形由曲线 （ )及射线a、所围成（图 1-3-9 ) ，则其面积（ 2 ）体积 l ）旋转体的体积设旋转体由曲线 y = f （ x

3、）与直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成（图 1-3 -10 ) ，则其体积（ 3 ）平面曲线的弧长 l ）直角坐标情形设曲线的方程为 y = f （ x ) （ a x b ) , f （ x ）在 a ，b上具有一阶连续导数，则其弧长2 ）参数方程情形设曲线的参数方程为 x （ t ) , y （ t ) （at ）, （ t ）、（ t ）在 a, 上具有连续导数，则其弧长3 ）极坐标情形设曲线的极坐标方程为（） （ a ），（ ）在 a ，上具有连续导数，则其弧长 s =（ 2 ）水压力设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为

4、 y 轴，x 轴铅直向下（图 1-3 -12 ) ，设薄板的形状为则薄板一侧所受的水压力为其中 为水的密度， g 为重力加速度。（二）二重积分的应用 1 曲面的面积设曲面的方程为 z = f （ x ，y)，在 x Oy面上的投影区域为 D , f （x，y）在 D 上具有一阶连续偏导数，则曲面的面积2 平面薄片的质量、重心及转动惯量设平面薄片占有 x Oy面上的区域 D ，薄片在 D 上任一点 P （ x , y ）处的面密度为（ x , y ) ，则薄片的质量为薄片重心的坐标为薄片关于 x 轴、 y 轴的转动惯量为（三）例题 【 例 1 -3 -25 】 计算由两条抛物线：y2 = x 、

5、 y x2所围成的图形的面积。【解 】 两条抛物线所围成的图形如图 1-3-13 所示， x 的变化区间为 0 , 1 ，所求面积为【例 1- 3 -26 】 计算心形线 a （ 1 + cos ） （ a> 0) 所围成的图形的面积。【 解 】 心形线所围成的图形如图 1-3 -14 所示，的变化区间为 -,。所求面积为【 例1-3-27】计算由椭圆= 1所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转椭球体的体积为【解 】 这个旋转体也可看作是由半个椭圆及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成。 x 的变化区间为- a , a 。所求体积为故应选（ C ）。【例1 - 3 -29】 计算摆线 x = a（- sin ) ，y a （ 1 cos）的一拱（ 0 2）（图 l -3-15 ）的长度。【 解 】 的变化区间为 0 , 2, x '（） = a （ 1 cos ) ，y（） = asin ，所求弧长为【 例 1-3 30】 求半径为 a 的均匀半圆薄