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文档简介
1、格林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数P( x ,y)及 Q ( x ,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系,利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。 (四)例题【 例 1- 3 - 22 】 计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 I (线密度 1 )。【解】 取圆弧的圆心为原点,对称轴为 x 轴,并使圆弧位于y轴的右侧(图 1 一 36 ) ,则 L 的参数方程为于是【 例 1-
2、3 - 23 】计算y2dx,其中L是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周(图 1 -3-7 )。【 解】 L 是参数方程为当参数从 0 变到的曲线弧。因此 五、积分的应用(一)定积分的应用 1 几何应用 ( 1 )平面图形的面积 1 )直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f ( x )、y = g ( x ) (f( x ) g ( x ) )和直线 x = a 、 x = b所围成(图 1-3 - 8 ) ,则其面积2 )极坐标情形设平面图形由曲线 ( )及射线a、所围成(图 1-3-9 ) ,则其面积( 2 )体积 l )旋转体的体积设旋转体由曲线 y = f ( x
3、)与直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成(图 1-3 -10 ) ,则其体积( 3 )平面曲线的弧长 l )直角坐标情形设曲线的方程为 y = f ( x ) ( a x b ) , f ( x )在 a ,b上具有一阶连续导数,则其弧长2 )参数方程情形设曲线的参数方程为 x ( t ) , y ( t ) (at ), ( t )、( t )在 a, 上具有连续导数,则其弧长3 )极坐标情形设曲线的极坐标方程为() ( a ),( )在 a ,上具有连续导数,则其弧长 s =( 2 )水压力设有平面薄板,铅直放置水中,取薄板所在平面与水平面的交线为
4、 y 轴,x 轴铅直向下(图 1-3 -12 ) ,设薄板的形状为则薄板一侧所受的水压力为其中 为水的密度, g 为重力加速度。(二)二重积分的应用 1 曲面的面积设曲面的方程为 z = f ( x ,y),在 x Oy面上的投影区域为 D , f (x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则曲面的面积2 平面薄片的质量、重心及转动惯量设平面薄片占有 x Oy面上的区域 D ,薄片在 D 上任一点 P ( x , y )处的面密度为( x , y ) ,则薄片的质量为薄片重心的坐标为薄片关于 x 轴、 y 轴的转动惯量为(三)例题 【 例 1 -3 -25 】 计算由两条抛物线:y2 = x 、
5、 y x2所围成的图形的面积。【解 】 两条抛物线所围成的图形如图 1-3-13 所示, x 的变化区间为 0 , 1 ,所求面积为【例 1- 3 -26 】 计算心形线 a ( 1 + cos ) ( a> 0) 所围成的图形的面积。【 解 】 心形线所围成的图形如图 1-3 -14 所示,的变化区间为 -,。所求面积为【 例1-3-27】计算由椭圆= 1所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转椭球体的体积为【解 】 这个旋转体也可看作是由半个椭圆及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成。 x 的变化区间为- a , a 。所求体积为故应选( C )。【例1 - 3 -29】 计算摆线 x = a(- sin ) ,y a ( 1 cos)的一拱( 0 2)(图 l -3-15 )的长度。【 解 】 的变化区间为 0 , 2, x '() = a ( 1 cos ) ,y() = asin ,所求弧长为【 例 1-3 30】 求半径为 a 的均匀半圆薄
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