高级经济学SOLOW经济增长模型

1、第八章 SOLOW经济增长模型 一、经济增长理论： 在世界各地，生活水平差异之大几乎令人难以理解。生活水平的这些差异对人的福利有着重要的含义。实际收入在国家间的差异与营养、教育程度、婴儿死亡率、预期寿命，以及其他福利指标的差异密切相关。与宏观经济学在传统上着重考虑的短期波动的各种可能后果相比，长期增长的福利后果更为重要。如在一次一般的衰退中，人均实际收入仅比正常值低几个的百分点。而在20年间生产率增长每放慢1个百分点，就会使人们的收入水平降低20%以上。 如果印度的人均实际收入以平均年增长率1.3%增长下去，要花200年才能达到美国目前的水平。如果以平均年增长率3%增长下去，这一过程所需时间不

2、到100年，而如果以平均年增长率5.5%增长下去，所花时间只需50年左右。正如罗伯特.卢卡斯（1988）所说“一旦一个人开始思考（经济增长问题），他就不会再考虑其他任何问题。 二、模型的基本假定： 1、投入与产出的假定： SOLOW模型包含四个变量：产量（Y），资本（K），劳动（L）和知识或劳动的有效性（A）。在任一时间，经济中有一定量的资本、劳动和知识，而这些被结合起来生产产品。生产函数的一般形式为： Y(t)=F(K(t),A(t)L(t) (8-1) 其中：t表示时间。 生产函数有两个特点： （1）时间并不直接进入生产函数，只是通过是K，L和A的函数而进入。只有在生产投入变化时，产量才随

3、时间而变化。 （2）A和L以相乘的形式进入生产函数，AL称为有效劳动，以这种形式引入的技术进步称为劳动增进型或哈罗德中性的。对A的这种进入生产函数的设定方式，与该模型的其他假定一起，将意味着资本-产量比K/Y最终将稳定下来。 2、关于生产函数的假定： 生产函数对于其两个自变量资本和有效劳动是规模报酬不变的。这意味着生产函数中对两个自变量同乘以任意非负常数，将使产量同比例变动： F(cK,cAL)=cF(K,AL) （8-2） 对所有的c>=0都成立。 规模报酬不变的假定可以分解成以下两个假定： （1）经济足够大，从而不可能再从专业化分工中得到收益和好处。 （2）资本、劳动和知识以外的投入

4、品是相对不重要的，因而可以忽略土地和其他自然资源对经济带来的收益。 由规模报酬不变的假定，可以得到密集形式的生产函数，在方程8-2中，令c=1/AL,得： F(K/AL,1)=(1/AL)F(K,AL) （8-3） 式中:K/AL定义为每单位有效劳动的平均资本数量,即每单位有效劳动的平均资本量。而(1/AL)F(K,AL)就是Y/AL，即为每单位有效劳动的平均产量。定义k=K/AL,y=Y/AL, f(k)=F(k,1)。则可将8-3改写为： y=f(k) （8-4） 经济学意义：每单位有效劳动的平均产量可以表示成每单位有效劳动的平均资本量的函数。 根据以上关系，一个经济的总产出量，可以表示成

5、该平均产量乘以有效劳动量的形式，有：Y=ALf(k)。 假定密集型式的生产函数f(k)满足f(0)=0，f(k)>0, f”(k)<0。f(k)的经济学意义：由于F（K，AL）=ALf(K/AL)在总产出函数中对资本K求偏导数，得：上式说明f(k)就是资本的边际收益产品，即每增加一个单位的资本要素的使用量所引起的总产量的增量。f”(k)为资本边际收益产品的变化率。当f”(k)<0说明资本的边际收益产品是递减的。上面的假设说明：资本的边际收益产品是正的，但在边际收益递减规律的作用下，随资本量的不断增加而产出量将会不断地递减。另外还假定f(k)满足稻田条件（Inada,1964）

6、：,稻田条件表明：当资本存量足够小时，资本的边际收益产品很大，而当资本存量变得很大时，资本的边际收益产品变得很小。稻田条件的作用是保证一个经济在向稳态均衡位置调整时的路径不发散。满足f(.)>0, f”(.)<0和稻田条件的生产函数如图。生产函数的一个具体例子是柯布-道格拉斯生产函数： （8-5）容易验证柯布-道格拉斯生产函数是规模报酬不变的。对两个投入品同乘以c,得： = = （8-6）要得到该生产函数的密集形式，对两个投入品同除以AL得： （8-7）3、生产投入品的变动：在该模型中，时间是连续的，模型中的各个变量均定义于每一时点上。资本、劳动和知识的初始水平是既定的，劳动和知识

7、以不变速度增长： （8-8） （8-9）其中，n和g为外生参数，一个变量上加上一点表示其对时间的导数。方程（8-8）（8-9）意味着L和A是指数增长。也就是说，如果L（0）和A（0）表示其在0时的值，则（8-8）和（8-9）意味着劳动函数和技术进步函数可以表示成以下形式：L(t)=L(0)ent ,A(t)=A(0)egt。一个经济社会的总产出量可以分别用于消费支出和投资支出。设s为每单位有效劳动的平均储蓄率，在全部储蓄都能转化为投资的假设条件下，s也可以看作是每单位有效劳动的平均产量中用于投资的比例系数，我们设s是外生的和不变的。该社会用于投资购买支出的每一元钱都会产生一元钱的新资本增量，显

8、然投资使资本存量增加。设现存资本随着使用年限的增加将会被逐渐消耗掉，每单位资本的资本折旧率为。这样，一个经济社会的净投资（即资本净增量）可以表示为新资本存量的增加再减去资本的损耗。 （8-10）n+g+>0三、索洛模型的动态学1、单位有效劳动的平均资本存量k的动态学。k=K/ALk对t求导数： （8-11）由于k=K/AL,将这些表达式与8-10式代入8-11式，可得： （8-12）由于Y/AL=f(k),代入8-12式得： （8-13）方程8-13为索洛模型的资本积累方程。它表明每单位有效劳动的平均资本存量的变动率是两项之差。第一项sf(k)是每单位有效劳动的平均实际投资：每单位有效劳

9、动的平均产量为f(k)，s为单位有效劳动的平均储蓄率，也就是该产量中用于投资的比例为s。第二项（n+g+）k称为持平投资，即是使得k保持在其现有水平上所必须的投资量。如果式中第一项的实际投资小于第二项的持平投资，单位有效劳动的平均资本k就会下降。为了防止单位有效劳动的平均资本k下降，必须进行一些投资。其原因有二：第一，现有资本存在着折旧问题：这部分资本必须予以补足，以防止资本存量的下降。这就是8-13式中的k这一项。第二，有效劳动的数量是增长的。这样恰好足以使得资本存量K不变投资并不足以保持每单位有效劳动的平均资本存量k不变。相反，由于有效劳动的数量以n+g增长，资本存量也必须以n+g增长以保

10、持k的稳定。资本积累方程也可以表述为：资本深化=单位有效劳动的平均投资-持平投资如图所示：如果每单位有效劳动的平均实际投资大于所需的持平投资，则k上升。反之如果每单位有效劳动的实际投资低于所需的持平投资，则k下降。当二者相等时，则k将会保持不变。由于f(0)=0，因此，当k=0时，实际投资与持平投资相等。稻田条件意味着当k=0时，f(k)很大,因而曲线sf(k)的斜率陡峭于直线（n+g+）k的斜率.这样,如果k值较小.则实际投资大于持平投资。稻田条件也意味着随着k的变大，f(k)将越来越趋于水平直线的极限值，这时f(k)趋向于0。必然有在某一点上，实际投资线的斜率将低于持平投资线的斜率。这两条

11、曲线终将相交。由于f”(k)<0,意味着在k>0时.这两条直线只相交一次.用k*表示当实际投资与持平投资相等时的k值。2、稳态平衡经济增长路径稳态平衡经济增长是指经济在长期增长中的一种均衡状态，当经济达到这一状态时，每个单位有效劳动所占有的资本达到了一个均衡值并将继续保持这种均衡水平不变。即：k*=常数，dk/dt=0。从前面的分析可知，这正是实际投资曲线与持平投资曲线的交点k*。在稳态平衡系统中，k总是向k*收敛，那么当处于稳态平衡（k=k*）时，该模型的各变量将如何变动？按假定：劳动和知识分别以速率n和g增长。资本存量K=AL k；由于k在k*处是稳定不变的，因此对资本求导经过

12、处理之后得： （8-14）这说明资本K和有效劳动AL均以速率（n+g）增长。根据规模报酬不变的假定，产量Y也会以这一速率增长。对人均资本量K/L和对人均产出量Y/L求导数并求出他们各自的增长率，可以证明在该经济中，每个工人平均资本K/L和每个工人的平均产量Y/L以g的比例增长。结论：不管在经济中初始点处于什么位置，经济都会向稳态平衡增长路径收敛，在稳态平衡增长路径上，该模型中的每个变量的增长率都是常数。每个工人的平均资本量的增长率和平均产量的增长率仅仅取决于该经济社会的技术进步率。四、储蓄率变化对一国经济的影响：考虑一个处于稳态平衡增长路径上的索洛模型，并假定社会储蓄率s有一个永久性的增加。除

13、了表明该模型中储蓄的作用外，这一研究还将表明当经济不在稳态平衡增长路径上时该模型的特性。1、社会储蓄率的增加对产量的影响：如图：社会储蓄率的增加，使实际投资曲线向上移动，这使k1*上升到k2*，开始时单位有效劳动的平均资本量k处于k1*处，在这一水平上，实际投资超过了持平投资，因此，。这使k开始上升。一直上升到k2*水平，在这一水平上实际投资等于持平投资，它将保持在新的均衡位置上不变。考虑人均产量Y/L的变动：。若k不变，则人均产量以速率g增长，g为技术进步A的增长率。若单位有效劳动的平均资本量k递增，则人均产量同时由于A和k的增长而增长。这时其增长率超过g，然而，如果k达到新的k2*值时，又

14、只有技术进步A的增长对人均产量的增长有贡献，则人均产量的增长率又回到了技术进步增长率g了。结论1：储蓄率的一个永久性增加使人均产量增长率出现暂时性的增加，人均有效劳动产量在一定时期内上升，但最终将增加到一个新的稳态平衡位置上的新的水平k2*，在这一水平上所增加的储蓄被全部用于维持人均资本k的较高水平的资本补偿。结论2：储蓄率的变化有水平效应，但没有增长效应：它改变了经济的稳态增长路径，因而改变任一时点上人均产量水平，但并不影响处于稳态平衡增长路径时人均产量的增长率。结论3：在索洛模型中只有技术进步率的变化有增长效应，其他所有变化都只有水平效应。所谓水平效应是指该因素可以改变单位有效劳动的平均资

15、本量，使之达到与新的稳态均衡相匹配的水平，但不能对经济增长率产生任何影响。2、社会储蓄率的增加对消费的影响：现在将家庭引入模型，其家庭福利将取决于消费，而非产量，投资只是未来生产中的一种投入品。因此在许多情况下，我们更关心消费变动而非产量的变动。在任何时候，一个经济社会要想获得福利最大化，就必须尽可能地使家庭福利最大化。因此能够满足家庭消费最大化的社会储蓄率就被称为满足消费黄金率时的社会储蓄率。每单位有效劳动的平均消费等于每单位有效劳动的平均产量乘以该产量中的消费比例（1-s），可以表示成。 （8-15）令c*为处于稳态平衡路径k*上的每单位有效劳动的平均消费。显然：。在稳态平衡路径上，实际投

16、资等于持平投资，有： （8-16）由于k决定于s和该模型中的其他参数n、g和；因此可以将k写成：。对8-16式中的人均消费对人均储蓄率求偏导数，可得： （8-17）社会储蓄率s的增加会提高每单位有效劳动的平均资本k*,因此，社会储蓄率s的增加能否在长期提高消费，取决于资本的边际收益产品是大于还是小于。直观地看，如果单位有效劳动的平均资本k的这种上升得以维持，每单位有效劳动的平均投资必须上升的变化量。令：，可获得在一定人均产量下的最大消费的条件是：如果 ，则从增加的资本上获得的增加的产量不足以将人均有效资本存量维持在其较高的水平上，这时，消费必须下降，以维持较高的资本存量。如果 ，则从增加的资本

17、上获得的增加的产量大于将人均有效资本存量维持在其较高的水平上，这时，消费必然上升。如果从图上来看：为单位有效平均产量曲线上相应点上的切线的斜率值，（）则是持平投资线的斜率值。当时的社会平均储蓄率s被称为黄金率的储蓄率，相应的单位有效资本存量水平叫做满足消费黄金率的资本存量，它满足资本存量的边际生产率等于持平投资增长率。满足黄金率的储蓄率也可以通过均衡条件得到：由于 所以： ，将和代入可得： （8-18）8-18式即为满足消费黄金率时的储蓄率，这时的消费能够满足使资本存量的边际生产率等于持平投资的增长率，并使消费达到最大化。由于家庭的福利取决于消费，满足黄金率的储蓄率意味着使家庭福利达到最大化。

18、五、储蓄率的定量分析1、储蓄率上升对产量的长期影响：储蓄率上升对产量的长期影响为： （8-19）其中：为处于稳态平衡增长路径上的每单位有效劳动的平均产量水平。这样，要得到，我们需要得到。为此，注意k*是在这一条件下定义的；因此k*需要满足下面的方程： （8-20）方程8-20对所有的s值以及所有的n,g和值都成立，因此在方程8-20中的两端对s求导数也必然相等。 （8-21）其中为了简单起见，省略了k*的自变量。整理8-21式，可得： （8-22）将8-22式代入8-19式，得： （8-23）首先对式8-23两边同乘以，从而把它转化为产量变动对储蓄变动的弹性形式，称为产量的储蓄弹性。所谓产量的

19、储蓄弹性是指当社会储蓄率变动百分之一时，对该经济人均产量的影响状况。 （8-24）式中：为处的产出的资本弹性。把它用来表示，有： （8-25）如果市场是竞争性的，且无外部性，那么，资本将获得其边际收益产品。在此情况下，在稳态平衡增长路径上，每单位有效劳动的平均资本获得的总收入为。这样，在稳态平衡增长路径上资本收入占总收入的份额为，或。在大多数国家，资本收入所占份额大约为1/3。如果把它作为对的一个估计值，可知在长期，产出的储蓄率弹性大约为1/2。这样，如果储蓄率增加10%，将会使人均产量在长期内提高大约5%。即使储蓄率增加50%，也仅使人均产量增加大约22%。这样来看，储蓄率的显著变化对于稳态

20、平衡增长路径上的产量水平只有较小的影响。直观地说，当值较小时，储蓄对产量的影响之所以较小，其原因有两个：第一，它表明实际投资曲线弯曲得相当厉害；其结果，该曲线上移使其与持平投资线的交点只发生较小的移动。因而s的变化对k*的影响较小。第二，小的值意味着k*的变化对人均产量的影响较小。2、收敛速度：我们主要考察k以多快的速度趋近于k*的。由8-13式可知，决定于k，可以写出：。如果等于，在处对作一阶泰勒级数近似，可得： （8-26）这一式子表明，近似等于与之差与处对的导数值的乘积。在式8-13中对求导，并对所得到的表达式在处赋值，得：= （8-27）将8-27代入8-26，得： （8-28）方程8

21、-28表明，在平衡增长路径的邻近，每单位有效劳动的平均资本向收敛的速度和它与的距离成比例。也就是说，如果令和8-28式可以写成：，这就是说：的增长率为常数且等于-。的路径因而为：，其中为的初始值。用表示，这就成为： （8-29）可以证明，趋近于的速度与趋近于的速度相同。有。我们可以通过8-29作一校准试验，看看经济实际上以多快的速度趋近于其平衡增长路径。一般为每年6%（比如人口增长率为1%-2%，人均产量增长1%-2%，折旧率为3%-4%）。若资本的收入份额大致为1/3，则大致为4%。因此，和每年向和移动剩余距离的4%，要走完到其平衡增长路径距离的一半大约需要18年时间。因此在本例中，如果储蓄

22、率增加10%，那么在1年后产量高于其以前路径0.04*(5%)=0.2%;18年后高出0.5*(5%)=2.5%；且此比例趋近于5%。这样不仅储蓄率变化较大时的总体影响较小，而且其作用的出现也不很快。以我国为例，设一般为每年12%（假设人口增长率为2%（实际上我国并未实现充分就业，人口增长要明显小于劳动供给的增长率，估计可以为3%-4%），人均产量增长5%-6%，折旧率为3%-4%）。若资本的收入份额大致为1/3，则大致为8%。因此，和每年向和移动剩余距离的8%，要走完到其平衡增长路径距离的一半大约需要9年时间。因此在本例中，如果储蓄率增加10%，那么在1年后产量高于其以前路径0.08*(5%)=0.4%。这个比例超过美国近1倍，我们只用9年时间就可以完成美国用18年才能走完的路。这就是中国经济增长的源动力。在上面的例子中，若资本的收入份额增加到1/2，在其他条件不变时