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文档简介
1、*用2号字,公式编辑器中,尺寸定义,(标准12,下上标7,次下上标5,符号18,次符号12)*2。第一部分 函数、极限和连续一、函数的定义域、函数的特性(有界性单调性奇偶性等)有界:或如:,反三角函数说明:分段函数一般不是初等函数,但也有特例。如 二、极限的概念与计算1、左极限:,右极限:结论:2、和结论:三、极限的运算1、无穷小与有界函数的乘积是无穷小。例:2、(型)例:、 3、(型)例:、4、例:(含数列之和,先求和) 四、无穷小与无穷大 1、无穷小与无穷大的判别。例:何时是无穷小?何时是无穷大?是否有水平或铅直渐近线?练习:何时是无穷小?何时是无穷大?是否有水平或铅直渐近线?2、无穷小的
2、比较:, ,五、两个重要极限1、夹逼准则:若,2、第一类重要极限: 特点:(1)型 (2)含三角函数或反三角函数例:, ,,3、第二类重要极限:特点:(1)底数: (2)指数:例:求,六、函数的连续性1、定义例 讨论函数在处的连续性。2、函数的间断点(不连续点):没有定义、不存在、3、初等函数的连续性:一切初等函数在定义区间内是连续的。4、有界性与最大值最小值定理5、零点定理例 证明方程在区间内至少有一个根6、介值定理练习:1、判定函数的奇偶性;2、求极限:,3、求极限:4、讨论极限:;5、求函数的连续区间。若有间断点,试指出间断点的类型;6设的定义域为,则函数的定义域是 ( D ) (09年
3、)A B C D7下列极限存在的是 ( B ) (09年)A BC D8. 若(为常数),则 k 。9设函数在处连续,则 1 。 (09年)10(05年)11(06年)12设,则=。13.计算 (09年)14设曲线在原点与曲线相切,求(09年)15求极限. (08年)16.求极限(08年)第二部分 一元函数微分学一、导数的概念1、定义:例:例:设函数在点处可导,则(05年二)2、几何意义:曲线在处的切线斜率是导数。3、可导与连续的关系 例:在处连续但不可导二、导数的计算1、函数的和、差、积、商求导2、复合函数的求导3、高阶导数4、隐函数的导数例求由方程所确定的隐函数的导数。5、由参数方程所确定
4、的函数的导数设,则有 记法:()三、微分的计算四、中值定理:罗尔定理 拉格朗日中值定理五、洛必达法则例: 求, ;型 例:求型例:型例:型例:求 ( ) 型六、单调性、极值、凹凸性、拐点判定(列表)七、最大值与最小值1、在上的最大值和最小值(方法:比较驻点、不可导点与端点的函数值)2、在内的最大值和最小值(驻点唯一)八、曲线的斜渐近线与垂直渐近线的斜渐近线:例:讨论函数的单调性、极值、凹凸性、拐点。例:(1)当时,(单调性)(2)当时, (极值)练习:1、设,求,2、设,求3、设,求。4、求函数的导数。(05年二)5、设, (为实数),试问在什么范围时, (06年二)(1)在点连续;(2)在点
5、可导.第三部分 一元函数积分学一、不定积分1、不定积分的概念:,2、基本积分公式(直接积分法)3、第一类换元法(凑微分法)例:计算下列积分:(1); (2); (3);(4);(5);(6); (7) ;(8);(9); (10)(11), (12);4、第二类换元法:(1)被积函数含,令。例:求、(2)被积函数含,令。例:求(3)被积函数含,令例:求(4)被积函数含,令 例:求5、分部积分法(1)幂函数尽量不凑微分例:求 , ,(2)单一函数:、(3)求6、一些简单有理函数的积分。例:求练习1、,2、,3、,4、,5、(05年二),(06年二),(08年二)二、定积分1、定积分的概念:定积分
6、的定义及其几何意义2、变上限的定积分若,则若,则例:求3、定积分的计算(牛顿一莱布尼茨公式,换元积分法,分部积分法)例:求,4、无穷区间的广义积分例:计算反常积分,5、平面图形的面积和旋转体的体积类似有:,练习:1、计算下列积分:(3); (4); (5); (6) ; (7);(8); (9); (10)设, 求.(11)(05年二);(05年一),(06年二),(07年二)。(12)计算(08年二)2、证明:(1) = (2)设,证明: (3)证明:,3、求与轴围成图形的面积,并求此图形分别绕轴和轴旋转所得的体积。第四部分 无穷级数一、数项级数1、数项级数级数收敛的必要条件:若收敛,则 例
7、 几何级数的收敛性例:级数收敛的必要条件为. (07二 )例:设级数和级数都发散,则级数是( ). (05一)发散, 条件收敛, 绝对收敛,可能发散或者可能收敛.2、比较判别法:设,是两个正项级数,且(1)若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散。例:判定、的收敛性。例:判别正项级数的敛散性. (06二)结论:对于级数,当时收敛;当时发散。(熟记此结论)当时,称为调和级数。(调和级数发散)例:若级数收敛,则的取值范围是. (06二)定理(比较审敛法的极限形式):设,是两个正项级数, (1)若,且收敛,则收敛。 (2)若或,且发散,则发散。结论:若,且与收敛性相同。例:级数是发散,的收敛3、比值判别
8、法:设为正项级数,若,则 (1)当时级数收敛;(2)当或时级数发散; (3)当时,不能确定。说明:比值判别法比较适合用于一般项中含的级数。例:判断级数的收敛性。4、交错级数:定理(莱布尼兹判别法):设交错级数满足条件(1),即数列单调减少;(2)。则交错级数收敛。5、一般级数绝对收敛:收敛,条件收敛:发散而收敛。例:判断级数、的收敛性。例:对于级数,下列说法中正确的为( )(07二)(A)当时,发散 (B) 当时,条件收敛(C) 当时,条件收敛 (D) 当时,绝对收敛例:级数 为( ). (06二) 绝对收敛 条件收敛 发散 无法判断例:判定、的收敛性。例:确定级数的收敛性. (07二)二、幂
9、级数:1、幂级数的收敛半径与收敛区间定理:若,则收敛半径:, 例:幂级数的收敛半径为(08二)例:确定幂级数收敛半径及收敛域,其中为正常数. (07二)例:求幂级数 的收敛半径与收敛区间.(06二)2、函数展开为幂级数例:将函数展开成的幂级数. (08一)例:将函数展开为麦克劳林级数. (07二)练习:1、判断级数、的收敛性。 2、判别级数、的收敛性。3、求幂级数和 的收敛区间。4、将函数在点处展开成幂级数,并指出收敛区间(端点不考虑)。(07一)5、将函数展成的幂级数并指出收敛区间. (06二)6、把函数展开成的幂级数,并求出它的收敛区间. (05一)7、将函数展开成的幂级数,并指出收敛半径
10、。(06一)*4、求的和函数,并由求的值。求幂级数,的收敛区间第五部分 常微分方程一、一阶微分方程1、微分方程的概念:微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解2、可分离变量的方程:解法:()分离变量:()两边积分例:, (交换变量)例:在具有连续导数,且满足,求.(07二)例:计算微分方程满足初始条件 的特解. (06二)例:微分方程的通解y =(06一)3、一阶线性方程:通解为: 也可表示为:例:求解微分方程.(07二) 例:求微分方程的通解. (05二)二、二阶线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程:特征方程 特征根: (1)若特征方程有两个不相等的实根通解为: (是任意常数)(2
11、)若特征方程有两个相等的实根通解为:(是任意常数)(3)若特征方程有一对共轭虚根通解为: 例:求微分方程的通解. (08二)例:微分方程 的通解为.(06二)例:任给有理数,函数满足,求(07一)2、二阶常系数非齐次线性微分方程:(1) 若不是特征方程的根, 若是特征方程的单根,特解为 若是特征方程的重根,特解(2)当不是特征根时,当是特征根时,.例:求下列方程的特解(1) (2) (3)例:求微分方程的通解. (08一)例:求微分方程的通解. (07二)例:求微分方程满足的特解。(06一)例:求二阶微分方程的通解. (05一)例:若函数,求. (06二)例:对于,其特解可以假设为. (07二
12、)练习:1、求微分方程的通解2、解微分方程 3、解方程 4、设为微分方程的三个解,则的通解为5、若,分别为非齐次线性方程的解,则为下列方程中( B )的解:(07二) (A)(B)(C) (D) 6、.已知y=f(x) 连续可导且满足:, 求f(x)7、.已知y=f(x) 连续可导且满足:,f (1)=1,求f (x)一阶线性方程:通解为: 也可表示为:第六部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数1、向量的概念:向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦(1)与向量同方向的单位向量叫做的单位向量:(2)非零向量a平行于b的充要条件是:存在唯一的实数,使 b=a
13、.(3)已知,,则,(4)方向角与方向余弦方向角:与轴正向的夹角(分别记为.规定). 设,则 方向余弦:方向角的余弦,关系式:(5)向量在坐标轴上的投影在轴上的投影:,其中性质:2、向量的线性运算:加法 减法向量的数乘3、向量的数量积(1)定义: 。数积又称点积、内积。(2)结论:4、二向量的向量积(1)定义: ,垂直于和所在的平面,它的正向由右手定则确定。向量积又称叉积、外积。 (2)结论:(3)运算法则设 ,则:练习:1.已知平面过三点,求与此平面垂直的向量。2.已知,求、与的夹角3. 求以为顶点的三角形的面积。二、平面1、点法式方程:2、一般式方程:其中称为该平面的法线向量。3、平面平行、垂直的条件:, 4、点到平面的距离三、空间直线 1、一般式方程
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