高三导数复习学生版

1、导数的基础知识一变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量_，比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的_，即=_。 如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处_，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作_或_。即f（x）=_。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。二导数的定义：1.（1）、函数在处的导数：_=_ （2）、函数的导数_2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：_；求平均变化率：_；取极限得导数：_ 三导数的

2、物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。2.Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。四导数的几何意义：1.函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：_2.用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线在点处切线：。相应的切线方程是：_（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，PQ连线斜率=(或利用切点在切线上)，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。五、导数的运算：（下面内容必记）（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：_(是常数

3、)； _； _=_； =_； _ =_； _； _法则1：_(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：_ (口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：_(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数的导数求法【只做了解】：换元，令，则分别求导再相乘回代六函数的单调性：设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为_；（2）该区间内为_；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）在该区间内单调递增_在该区间内恒成立；（4）在该区间内单调递减_在该区间内恒成立；【注意】：（1）（2）与（3

4、）（4）两种题型的区别，是易错点题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤(1)求函数的定义域(2)求导数 (3)判断导函数在区间上的符号(4)下结论：该区间内为增函数；该区间内为减函数；题型二、利用导数求函数单调区间的步骤为：（1）分析 的定义域；（2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一. 在该区间内单调递增在该区间内恒成立；在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 【然后将参数很干净的移到左边，只需要参数超过右边的最值即可】思路二.先求出函数在定义域上的

5、单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。题型四：先利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性，再比较大小【例子】若函数，若则( ) A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c七、函数的极值与其导数的关系：1.函数的极值极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有_，则称为函数的一个_，为_点。可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。求极值的步骤：第一

6、步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负，则是_；若的符号由负变正，则是_；若的符号不变，则不是极值，不是极值点。已知极值求参数，最后必须验证。【注意】：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有_则称为函数的_，记作_如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较

7、的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意：a、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。b函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）c、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。d、给定区间求最值问题特别引起重视，一定要先求出给定区间的单调性，然后求最值注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x

8、0)0。但是，f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。八、导数图象与原函数图象关系导函数 原函数 的符号 单调性与x轴的交点且交点两侧异号 极值的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度） 的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快） 减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）基础典型题归类一、题型一：利用导数概念求导数例1已知s=，利用导数概念求t=3秒时的瞬时速度。变式练习：利用导数概念求函数y=的导数。例2已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则li _变式练习：若f(x0)2，求 的值二、题型二：深入领会导数

9、的几何意义导数的几何意义: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。1、已知曲线上的点求此点切线斜率例3已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2变式训练（1）：已知曲线yx22上一点P(1，)，则过点P的切线的倾斜角为_变式训练（2）：求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线变式训练（3）：已知曲线，求：（1）曲线上与直线y=2x-4平行的切线的方程；（2）求过点P（0,5）且与曲线相切的切线的方程. 变式训练（4）：已知抛物线y=x2+bx+c在点（1,2）处的切线与直线y=x-2平行，求b,c的值。2、已知切线斜率求相关

10、点坐标例4 函数yx24x在xx0处的切线斜率为2，则x0_.变式训练：下列点中，在曲线yx2上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0,0) B(2,4) C(，) D(，)三、题型三：利用求导公式及法则求导及其应用例5f(x).变式练习：（1）、设函数f(x)logax，f(1)1，则a_（2）、已知直线ykx是曲线ylnx的切线，则k的值等于_ 例6 已知f(x)xa，则f(1)4，则a的值等于()A4 B4 C5 D5变式练习求与曲线y在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程四、 题型四： 函数求导及应用1、用和、差、积、商求导法则求函数导数例8 求下列函数的导数：(1)y3x2x

11、cosx； (2)y； (3)ylgxex；2、函数求导的应用例9、已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是()A. B. C. D.变式练习（1）若函数f(x)在xc处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为_变式练习（2） 若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)()A1 B2 C2 D03、导数中利用待定系数法求解析式例10、已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1.求f(x)的解析式小结：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；如：例8中1、2（2）有的函数虽然表面形式为函

12、数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。五、题型五：借助导数处理单调区间、极值和最值问题1、已知函数解析式求其单调区间例11求下列函数的单调区间(1)yxlnx； (2)y.变式练习 ：函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)2、已知函数单调区间求解析式中的参数值例12、若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1,2，则b_，c_变式练习：若函数yx3ax有三个单调区间，则a的取值范围是_3、用导数解复杂函数中的恒成立问题例13函数yax3x在R上是减函数，则()

13、Aa Ba1 Ca2 Da0变式练习已知函数f(x)ax2lnx(a0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围4、通过导数解决函数极值问题例14、函数f(x)x36x215x2的极大值是_，极小值是_变式练习：函数f(x)x3x22x取极小值时，x的值是()A2 B2，1 C1 D3例15、函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a()A2B3 C4 D5变式练习（1）： 已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a、b的值为()Aa4，b11 Ba4，b1或a4，b11Ca1，b5 D以上都不正确变式练习（2）：若函数yx36x2m的极大值

14、等于13，则实数m等于_解析：y3x212x，由y0，得x0或x4，容易得出当x4时函数取得极大值，所以436×42m13，解得m19.例16、设aR，若函数yexax，xR，有大于零的极值点，则a的取值范围为_解析：yexa，由y0得xln(a)由题意知ln(a)>0，a<1.(，1)变式练习：已知函数yxlnx，则y的极值情况是()A有极小值 B有极大值C既有极大值又有极小值 D无极值综合练习：(2010年高考安徽卷)设函数f(x)sinxcosxx1（0<x<2）， 求函数f(x)的单调区间与极值5、通过导数解决函数最值问题例17、（06浙江卷）在区间上

15、的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4变式练习（1）：函数y4x2(x2)在x2,2上的最小值为_，最大值为_变式练习（2）：函数yxex的最小值为_例18函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71 C15 D22变式练习(1):已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_变式练习(2)函数f(x)ax44ax2b(a>0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_.例19已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最大值和最小值变式练习1（06山东卷）：设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。变式练习2：已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。 变式练习3：设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极值为-4（1）、求a、b、c的值（2）、求函数的单调区间变式练习