高中数学必修 用构造法求数列的通项公式

1、用构造法求数列的通项公式 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一 利用倒数关系构造数列。例如：中，若求an+4,即，是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列 an 的通项。练习：1)数列 an 中，an0，且满足求an

2、2)数列 an 中，求an通项公式。3)数列 an 中,求an.二 构造形如的数列。例：正数数列 an 中，若 解：设 练习：已知正数数列 an 中，,求数列 an 的通项公式。三 构造形如的数列。例：正数数列 an 中，若a1=10,且求an.解：由题意得：，即 .即练习：（选自2002年高考上海卷）数列 an 中，若a1=3,n是正整数，求数列 an 的通项公式。四 构造形如的数列。例：数列 an 中，若a1=6,an+1=2an+1, 求数列 an 的通项公式。解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1）设 bn= an+1, 则bn = 2 bn-1则数列 bn 是

3、等比数列，公比是2,首项b= a+17,，构造此种数列，往往它的递推公式形如：。如：an+1c an+d,设可化成an+1+x=c(an+x),an+1=c an+(c-1)x用待定系数法得：(c-1)xdx=.又如：n+an=n+2, 则n-1+an-1=n+1,二式相减得：nn-1 +a na n-1 =，即a n +a na n-1 =， 2 anan-1=，an =an-1+.如上提到bn = an d = an 1练习：1.数列 an 满足an+1=3an+2, 求an2.数列 an 满足n+an=2n+1,求an五 构造形如的数列。例：数列 an 中，若a1=，a=3,an+2 +

4、 4 an+1 - 5an=0 (nN),求an。解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0得： an+2 an+1 = - 5（an an ） 设bn = an an，则数列 bn 是等比数列，公比是-5,首项b= a2- a12,an an=2(-5)n-1即a a=2(-5)a a=2(-5)a a=2(-5)an an=2(-5)n-2以上各式相加得：an a=2（-5）(-5)(-5)（-5）n-1即：an a=2，即，（n当递推公式中，an与an的系数相同时，我们可构造bn = an an，然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+bn = an-a1通过求出数列bn前n-1项

5、和的方法，求出数列 an 的通项公式。1) 当递推公式中形如:an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形时，可以构造bn = anan ,得: bn = an+b； bn = qn; bn =qn +an+b。求出数列前n-1项的和Tn-1, Tn-1=; Tn-1=；Tn-1=+即： an a=; an a=; an a=+从而求出 an =a+; an= a+;an =a+。2）当递推公式中形如: an+1=a n+；an+1=a n+；an+1=a n+等情形可以构造bn = anan ,得:：bn =；bn =；bn

6、=即bn =；bn =；bn =从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,Tn-1=；Tn-1=；Tn-1=即： an a=; an a=; an a=从而求出 an =a+; an= a+;an =a+ 练习：1）数列 an 中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an.2）数列 an 中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an.3) 数列 an 中，若a1=2，求通项an.六 构造形如的形式。例：数列 an 中，若a1=1，求an.解：由得： ， ， ，用累乘法把以上各式相乘得： 。当递推公式形如：；等形式，我们可以构造。可得: ;.然后用叠乘法得：。令数列bn的前n-1项

7、的积为An-1,则 ；;从而得到：； ；。练习：1）数列 an 中，若a1=2，求an.七 构造形如的形式。例：数列 an 中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an.解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2 an =4an-1-4an-2an -2an-1=2（an-1-an-2）设bn=an+1-2an，当递推公式形如 Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1) 等形式时，因an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an),我们构造bn=an+1-2an; bn=an+1-an,