高中数学论文：浅议高中数学通性通法教学的重要性

1、高中数学论文让数学教学从“意料之外”变成“情理之中”浅议高中数学通性通法教学的重要性摘要：作为一线数学老师，每每我们上完一节数学课，总会有学生这样感慨：这种方法实在太好了，我怎么想不到呢？深究其因，学生觉得老师的思路有点“来路不明”，太过于唐突，在他们的意料之外.一旦学生有如此想法，说明解法不是通性通法，或学生没有把这种解法概况到数学核心概念上，因此我们不能“玩技巧”，要让学生觉得抓住数学的本质，就可以“条条大路通罗马”，让他们觉得是在情理之中.关键词：数学教学 高考试题 通性通法 作为高中数学教师，每次去参加高考数学复习研讨会，听到最多的恐怕是“注重通性通法，淡化特殊技巧”，但我们应该如何注

2、重通性通法，注重通性通法到底会对我们高中数学产生怎么样的影响，本文将对高中数学通性通法的产生，到发展，再到通性通法对我们平时教学和高考的作用展开讨论，以求抛砖引玉.李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！”，“通法”是指解决某类问题的基本方法,具有一定的“通用性”.在教学中强调“通解通法”为的是有利于学生掌握相关知识内容最本质的东西,有利于学生形成基础的知识结构和网络,也易于消除多数学生对数学的恐惧心理,能够增强学生学好数学的信心.其实，整个高中数学有关通性通法的讲法经历了几个阶段，最早是数学通报1992年第8期发表了曾家鹏先生的文章“提倡运用通法,建议淡化特技”之后,

3、在中学数学教师中产生了较大的反响,但如何把握通法与特技的界定呢?我们却无可适从，再到数学通报1995年第5期发表的王敬庚先生的文章“关于在数学教学中强调通法的思考”，以及甘大旺在1997年发表在数学通报的“通法与特技的相对性及启示”，才在高中数学教师引起较强烈的反响，并被逐渐采纳和接受.1.通法与课堂教学密不可分，通法使数学教学更自然、更有效通法是人类对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识.在数学研究范围的拓展、研究对象的延伸、数学方法的形成、方法之间的、联系的建立并发展成新的方法等之中都体现出数学思想的核心作用.数学思想虽然程序性弱，但功能性强.在等比数列求和

4、的第一课时中，“错位相减”的方法总是给学生的感觉是很唐突的，以致学生无法接受为什么要乘以公比q,下面笔者就不同的三次教学对比，感受通法在教学中作用.【案例1】等比数列前n项和课堂教学片断（只取课堂中错位相减法概念给出的一小部分）1.1第一次教学设计【引入】由书本棋盘问题提出：=？问题解决：主要方法 (错位相减法) ，-得 ：【公式推导】问题1：把2改成,则，如何化简？仿照上面的求和方法（主要讲错位相减法），等式两边应同乘以q，即-得 （提问学生如何处理，提醒学生注意q的取值）当时, 由得 ，当时, 由得 ；问题2：等比数列前n项的和呢?对于一般等比数列,它的前n项的和是可得等比数列前n项和公式

5、【反思与改进】第一次教学设计应该说是失败的，学生没有积极性，课堂练习反馈的结果很不理想。是什么原因呢？数列求和的通法是消去大量相同的项，怎么消，为什么这样消没解决.带着这样的问题，设计了第二次教学.1.2第二次课堂教学设计【课堂引入】话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，摇身变成了CEO可好景不长，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元即后一天返还数为前一天的2倍”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收

6、入100万，第三天：支出4元，收入100万元；哇，发财了” 心里越想越美再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？学生自主探究：一般等比数列前n项和：即【公式推导】方法1：错位相减法方法2：提取公比q，【反思与改进】这节课采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.但感觉热热闹闹过大年，有点虚.为什么要乘2，为什么要乘公比q，没有给出本质，也就是说没有解决错位相减法的关键.再回忆等差数列前n项和用了倒序相加法

7、，因为首尾相加相同所以相加，怎么利用等比数列的性质来启发学生自己得出方法.带着第二个问题：为什么想到错位相减并运用新课程理念设计了第三次.1.3第三次课堂教学设计小丸子,我每天给你1000元,而你第一天给我1元,第二天给我2元,第三天给我4元,即后一天给我的钱是前一天的2倍,如此下去一个月,怎么样?好啊?【课堂引入】?【公式推导】师：请同学回忆等差数列前n项和公式推导方法.生：采用倒序相加的方法.师：那等比数列前n项和呢？应该用什么方法？生：也用倒序相加，也有些声音是倒序相乘.师：请同学用自己所想到的方法尝试一下.几分钟后，学生感觉不对，好象不能消项.师：同学再思考一下，为什么能在等差数列中用

8、倒序相加，而在等比数列中不能用？生：因为等差数列的性质决定的，师：那等比数列有什么性质？应用什么方法推导求和呢？生：从第二项起，每一项与前一项的比是常数，即师：那也就是说，每一项乘2就是后一项。那应该怎么办呢？生：中乘2就有很多相同的项了，或许能消.师：非常好，我们根据性质，也就是说，即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0.请同学们试试.生：（踊跃地）先生，我会了.只要把乘2相减就可以了.中间让学生自行计算，得出结果.师：如果推广到一般的等比数列前n项和：生：同理，乘公比q相减即可.师：好，我们把这种方法叫做：错位相减法.师：同学们的结果是，除以，便得【案例1的反思】本节课的关键是让

9、学生理解错位相减法的本质，为什么要乘2，为什么要乘公比q.因为数列求和的本质就是消项，而如何消项，就要用等比数列的定义去解决，即每一项与前面一项的比是同一个常数q,观察,如果在此基础上乘q将有大量的相同项.理解这个就理解了本课的关键.不仅授鱼，且授渔.本文只介绍后一类的求和问题，有关的方法概括地说是有四种“通法”，即“错位相减法”、“裂项法”、“倒序相加法”和“二项式定理法”，由于后两种方法结构都很特殊（如含有组合数符号的数列求和问题，很容易想到利用后两种方法中的一种），所以高考试题中出现的机会很少，“错位相减法”主要是针对数列的通项公式的表达式为等差数列和等比数列的乘积构成的新数列的求和问题

10、.这种通法核心思维是：写出前n项和的等式，然后等式两边乘以等比数列的公比得到新的一个等式，经过错位相减将不可求和的数列转化为等比数列的求和问题.笔者做过这样一个调查，在50名高中数学教师中问卷，实际收回48份为有效卷，结果如下：ABCD你的教学是以教材为主吗？0.850.120.030你认为现有的教学方式效率如何？0.150.200.540.11你认为通法在实际教学中作用如何？0.750.120.100.03其中A、B、C、D分别为：是（好），一般，不是（不好），不清楚，从调查中显示有54%的教师认为当前的数学教学的效率低下，数学思想方法在教学中不能得以很好的体现，使学生逐步丧失数学学习的兴趣

11、.现在教学资源较为丰富，教学手段多元化的现代社会，仍然采用公式、定理的讲解大量习题训练的教学模式已经妨碍了教学目标的实现，很难达到新课程对人才培养目标的要求.有75%的教师认为通法有研究的价值，大部分教师在一定程度上还是知道“通法”的含义的.但认识得还不够深入，在谈通法的认识和通法举例时做不出系统性的总结.数学思想不是孤立的，而是互相渗透的，有意地去体会并运用这些数学思想，才能抓住教学的核心和本质，“站得高，才能看得远”，才会起到事半功倍的作用.2.通法与高考休戚相关，通法使高考试题更简单、更明了高考的宗旨是考查高中数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法.因此，充分体会通性通法在解题中的作用

12、，系统掌握知识间的内在联系就显得尤为重要.要加强对各章节知识点的梳理，灵活运用，熟练掌握通性通法，舍弃偏、难、怪习题，淡化特殊技巧.尽管每年会出现一些题型新颖的客观题，但无不是课本上的通性通法.所以要处理好“通法”和“巧法”的关系，在复习中不应过分追求特殊方法、技巧，不必将力气花在钻难题、怪题中.2.1函数周期部分试题的通法研究【案例2】：三角函数的周期性，本节课大部分老师采用讲授法，先给出周期的定义，然后给出正弦、余弦函数周期的公式：,接下来就采用大量的例题对公式进行巩固.这样的教学从内容和结构上来讲是没有问题的，但没有概括到通法的层面，于是到了高三一轮复习有以下的题目：此题的第三小题，大部

13、分学生不能完成，即究其原因就是学生当时没有真正理解三角函数的周期性，没有掌握周期概念本质.【案例2的反思】利用周期函数定义的通法，从正、余弦函数的周期性抽象出一般函数的周期性概念：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期.再形如的周期，就利用通法去求的典型.2.2函数值域部分试题的通法研究解决一类问题时可以采用的共同方法，我们将其称为“解题通法”，如代入法、消元法、配方法、割补法等，它的适用范围比较广泛.【案例3】 求下列函数的值域（1） (2)（1）函数的定义域为

14、,令(t0)，则由二次函数的图象可知，(2)函数的定义域为，令,则,则.【案例3的反思】（1）题用代数换元法，适用于(其中f(x)与g(x)均为x的一次式)，（2）题用三角换元法，适用于(其中f(x)为 x的特殊二次式)，（3）换元法是求无理函数值域的常用方法，在设出新元t(或)后，新元的范围的限定要以既不影响x的取值，运算起来又方便为原则.【案例4】高三复习研讨会例题已知函数恒成立，求m的范围；变式1：函数恒成立，求m的范围；变式2：设定义域为R的奇函数时，恒成立，求m的范围.【案例4的反思】对于不等式恒成立问题,需要把参数分离出来,利用下列结论求参数的取值范围求最值法：若在区间D上恒成立，

15、则只需满足；若区间D上恒成立，则只需满足.2.3求空间角部分试题的通法分析空间角主要有异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角.求这三种空间角的总体思想是：先把空间角转化为平面角，再通过解三角形达到求角的值.其一般步骤是：找出或作出有关的平面角；证明它符合定义；化归到某一三角形中进行计算.在空间向量引入高中教材后，向量法也提供了解决问题的另一种途径.【案例5】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离.【案例5的反思】根据相关角的定义，在已知图形中直接作出具体的平面角，作异面直线

16、成角关键是在图形中找到一个特殊点，作平行线，平行线夹角即为所求；作线面成角的关键是作或证垂线，而后抓射影，如果图形特征观察不明显，就一定要牢记射影的定义；作二面角的平面角的关键是利用图形结构作出垂直于棱的垂线，进而得出其平面角.【案例6】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,ADBC,BAD=90°,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.()求证：PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角.【案例6的反思】当已知条件中出现一个平面的垂线（或虽未给出但可由已知能作或证出存在这样的垂线），可依据线面角定义找射影或由三垂线定理及逆定理作出所求角

17、，然后再行求解.3.通法与学生息息相关，通法使学生更自信、更有成就感运用通法解题的过程中可以提高学生的自信心.虽然有的老师提及用通法解题麻烦，但是却可以得到正确的结果，通法更受中下等生的欢迎.所以在解题思路不是很明朗的时候，可以首先尝试通法，往往可以达到“柳暗花明又一村”的效果.【案例7】已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值已知函数.（I）求函数的最小正周期和单调增区间；（II）的图象由函数的图象怎样的变换得到？已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.【案例7的反思】不难看出有关三角函数图象与性质有关的问题中，在通法的使用中，除了求值域中的两种结构以外

18、，剩余的有关问题解决中关键是函数表达式的结构都需要化成一次式的结构，化的过程中主要是三角变换中的降幂公式和辅助角公式.类似的通法还有很多，例如圆锥曲线作为高中数学中一个非常重要的知识块，蕴涵着高中数学中主要体现的数学思想和方法，所以解决有关解析几何问题中涉及的通法也是多样的，由于教材编写的局限性，不可能在教材中系统归纳有关的通法.由于解析几何解答题的综合性，解决每个题目所运用到的通法可能是多种通法.这些通法的研究对学生的自信心很有帮助，特别是对学习成绩偏下的学生更有帮助.波利亚说：一个想法使用一次是一个技巧，经过多次的使用就可以成为方法，可见通法与巧法的对立统一关系，我们教师自己经常做题目，也经常看参考书上的习题解答.当同类习题，出现不同的解法的时候，我们是否应该反思一下，这类题究竟有没有规律、有没有通法可以遵循？遇到花俏的解法，我们应该加以改造，使之还原为通法，纳入到原有的认知结构中去.经常这样思考，深入地问几个为什么，将多种不同的解法予以比较分析，而不是“拿来主义”、“照搬主