高中数学导数及其应用 153 微积分基本定理习题 苏教版选修22

1、1.5.3微积分基本定理明目标、知重点1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分1微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，即F(x)dxF(b)F(a)2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则f(x)dxS上(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则f(x)dxS下(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则f(x)dxS上S下，若S上S下，则f(x)dx0.情境导学从前面的学习中可以

2、发现，虽然被积函数f(x)x3非常简单，但直接用定积分的定义计算x3dx的值却比较麻烦有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是sy(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)y(t)设这个物体在时间段a，b内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是sy(t)知：sy(b)y(a)，通过求定积分的几何意义，可得sv(t)dty(t)dt，所以v(t)

3、dty(t)dty(b)y(a)其中v(t)y(t)小结(1)一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理(2)运用微积分基本定理求定积分f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F(x)f(x)的F(x)思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F(x)f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数c，F(x)cF(x)cf(x)不影响，因为f(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a)例1计算下列定积分：(1)dx；(2)(2x

4、)dx；(3)(cos xex)dx.解(1)因为(ln x)，所以dxln 2ln 1ln 2.(2)因为(x2)2x，()，所以(2x)dx2xdxdxx2|(91)(1).(3)因为(sin x)cos x，(ex)ex，所以(cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限跟踪训练1若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为_答案S2<S

5、1<S3解析S1x2dxx3|，S2dxln x|ln 2<1，S3exdxex|e2ee(e1)>.所以S2<S1<S3.探究点二分段函数的定积分例2已知函数f(x)先画出函数图象，再求这个函数在0,4上的定积分解图象如图f(x)dx(x1)dx(cos x)(x2x)|1(2)(40)7.反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数跟踪训练2设f(x)求f(x)dx.解f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3|(sin xx)|sin 1.探究点三定积分的应用例3计算

6、下列定积分：sin xdx，sin xdx，sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论解因为(cos x)sin x，所以sin xdx(cos x)|(cos )(cos 0)2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos )2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos 0)0.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位

7、于x轴下方的曲边梯形面积反思与感悟求平面图形面积的步骤画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积跟踪训练3求曲线ysin x与直线x，x，y0所围图形的面积(如图所示)解所求面积为S12(1)4.1_.答案2解析(xsin x)1cos x，(xsin x)sin2.2若(2x)dx3ln 2，则a的值是_答案2解析(2x)dx2xdxdxx2|ln x|a21ln a3ln 2，解得a2.3(x2x)dx_.答案解析(x2x)dxx2dxxdx|.4若x2dx9，则常数T的值为_答案3解析x2dxx3×T

8、39.T327，T3.5已知f(x)计算f(x)dx.解取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sin x，则F2(x)cos x.所以sin x21，即f(x)dx21.呈重点、现规律1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、基础过关1已知物体做变速直线运

9、动的位移函数ss(t)，那么下列命题正确的是_它在时间段a，b内的位移是ss(t)|；它在某一时刻tt0时，瞬时速度是vs(t0)；它在时间段a，b内的位移是ss(t)dt.答案2若F(x)x2，则F(x)的解析式正确的是_F(x)x3F(x)x3F(x)x31F(x)x3c(c为常数)答案3(ex2x)dx_.答案e解析(ex2x)dx(exx2)|(e112)(e002)e.4若(2xk)dx2，则k_.答案1解析(2xk)dx(x2kx)|1k2，所以k1.5由直线x1，x4，y0和曲线y1围成的曲边梯形的面积是_答案解析设所求面积为S，由定积分几何意义知，S(1)dx(xx)|(4)(

10、1).6若(2axa1)dx5，则实数a_.答案1解析由(2axa1)dx5，得ax2(a1)x|4a15，解得a1.7计算定积分|x22x|dx.解令f(x)|x22x|，即f(x)则f(x)dxf(x)dxf(x)dx(x22x)dx(2xx2)dx(x3x2)|(x2x3)|(4)(4)8.二、能力提升8设f(x)，若ff(1)1，则a_.答案1解析因为x1>0，所以f(1)lg 10.又x0时，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因为ff(1)1，所以a31，解得a1.9设函数f(x)ax2c (a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_答案解析

11、(ax2c)dxaxc，ax，a0，x，又0x01，x0.10.设f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，则f(x)的解析式为_答案f(x)4x3解析因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbxdxab.由得11.已知f(a)(2ax2a2x)dx，求f(a)的最大值解(ax3a2x2)2ax2a2x，(2ax2a2x)dx(ax3a2x2)|aa2，即f(a)aa2(a2a)(a)2，当a时，f(a)有最大值.12.物体A以速度vA3t21(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？解设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为sAvAdt(3t21)dta3a；B从开始到a秒末所走的路程为sBvBdt10tdt5a2.由题意得sAsB5，即a3a5a25，得a5.此时s