2020届高考数学文二轮总复习专题训练：2锥体中的线面关系及计算版含答案

1、1.3.2 锥体中的线面关系及计算、选择题1.对于空间的两条直线 mn 和一个平面 a,下列命题中的真命题是（）A.若 m/a,n/a,贝 Um/nB.若 m/a,n?a,则 m/nC.若 m/a,na,则 m/nD.若 mla,na,则miln解析：对于 A,直线mn可能平行、异面或相交，故 A 错误；对于B,直线m与n可能平行,也可能异面，故 B 错误；对于 C,m与n可能垂直，也可能异面，故 C 错误；对于 D,垂直于同一平面的两直线平行，故 D 正确.答案：D2 .“直线l垂直于平面 a”的一个必要不充分条件是（）A.直线 l 与平面 a 内的任意一条直线垂直B.过直线 l 的任意一个

2、平面与平面 a 垂直C.存在平行于直线 l 的直线与平面 a 垂直D.经过直线 l 的某一个平面与平面 a 垂直解析：A,B,C 均为充要条件，因为“直线 l 垂直于平面 a”可以推得“经过直线 l 的某一个平面与平面 a垂直”，反之未必成立.故选 D.答案：D3.正四面体ABC用，AOL平面BCD垂足为O,设M是线段AO上一点，且/BM隹90,AM，则MO勺值为（）A.11C.23设正四面体的棱长为a,则OB=乎a,3B.22D.3261AMB=-a,故OM=a=二AO262解析：如图，连接OB答案：A4 .设 m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A. mla

3、,nB,且则mlnB. m/a,n/B,且a/B,则 m/nC. mla,n?3,mLn,则aX（3D. m?a,n?a,rn/3,n/B,贝Ua/3解析：用排除法，B 错，因为mn有可能异面；C 错，因为 a/（3 时，同样有mLn；D 错，因为满足条件时，a 与也有可能相交.故选 A.答案：A5.已知三棱锥SABC勺所有顶点都在球O的球面上，SA1平面ABCSA=2AEB=1,AC=2,/BAC=60,则球O的表面积为（）A.4 兀 B.12%C.16TTD.64TT解析：AB=1,AC=2,ZBAC=60,ABLBCSA!平面ABC，BCL平面SAB.BCSB.SC是千O的直径.SA=2

4、/，AC=2,.SC=4.球O的表面积为 16 兀.故选 C.答案：C6.已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为2,侧棱长为小，D为BC的中点，则三棱锥A-BDC的体积为（）3A.3B.-3C.1D.方解析：D是等边三角形ABC勺边BC的中点， .ADXBC又ABOABG为正三棱柱，AD!平面BBGC四边形BBCC为矩形， SADBC=1S四边形BBCC=|x2X/3=/3.又AD=2x乎=出,VA-BDC=1SABDC-AD=由=1.33答案：CPB三麴tP-ABC勺外接球白体积为（）27A.2兀C.27 也兀因为ABCW边三角形,所以ABCW卜接圆的半径二 2；鬻ABC勺距离d=PAr2=

5、3,则三棱锥P-ABC勺外接球的半径R满足F2=r2+（R-d）解得R=乎,所以三棱锥 P-ABC勺外接球的体积 V=:兀4=红兀，故选 B.232答案：B8.如图，以等腰直角三角形ABC勺斜边BC上的高AD为折痕，把ABCffiAC所成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:BD，ACBAC等边三角形;三棱锥D-ABC正三棱锥;其中正确的有（A.C.平面ABDL平面ACD所以AB=AC=BCBAC等边三角形，正确；易知DA=DB=DC又由知正确；由知错.故选 B.答案：B9 .将一个底面半径为 1,高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为（）-8 兀 B.27

6、7.（2019南宁摸底联考）三棱锥PABC中,ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3,PA1D.27TT解析：本题考查三棱锥的性质、球体的体积.因为PA=PB=3,PALPB所以AB=3，又事,则顶点P到底面平面ADC_平面ABCB.D.解析：由题意知,BDL平面ADC故BDLAC正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,A兀A.一27D27tr2-x解析：如图所不，设圆柱的半径为r,高为x,体积为V由题意可得彳=一2，所以x=2-2r,所以圆柱的体积 V=兀r2(22r)=2 兀(r2r3)(0r1),设 Mr)=2 兀(r2r3)(0r1),则V(r)=2 兀(2r3r2),由 2 兀(

7、2r3r2)=0 得 r=|,3所以圆柱的最大体积Vnax=2 兀答案：B10 .如图，圆锥的底面直径AB=2,母线长VA=3,点C在母线VB上，且VC=1,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A.13C.3.一.一.一.兀.一.解析：把圆锥的半侧面展开，侧面展开图中AB=TI,半径r=3,故圆心角/AVB=方.如图.在3VAC 中，根据余弦定理得 AO32+122X3X1Xg=巾，此即为蚂蚁爬行的最短距离.B.17答案：BA125 兀25 兀D.16解析：AB=BC=5AC=2,.ABB直角三角形，ABC的外接圆的圆心为边AC的中点O,如图所示.若使四面体ABC

8、咻积取得最大彳1只需使点D到平面ABC勺距离最大，又OOL平面ABC点D是直线OO与球上方的交点时体积最大.设球的半径为R则由体525积公式有OD=2.在 RtAAOO,R2=1+（2S2,解得 R=故球的表面积S=.故选C.答案：C12.如图，已知平面四边形ABCDAB=BC=3,CD=1,AD=gAADC=90.沿直线AC将AC丽折成ACD,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是（）AT解析：如图，过点B作B已AC于点E,过点D彳DFlACT点F,在平面ABB过点F作FG触BE11.已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,2取大值为 7,则这个球的表面积为（）3AB=BC=&AC=2

9、,若四面体ABC咻积的B.8 兀C25jtB.T连接BG。G则BGLDG,/DBG就是AC与BD所成的角.设/DFG=0.经计算得BE=FG=挈,CF=/，EF=BG半，在FG中，由余弦定理得，二,二/，25DG=DF+FG-2D，F-FG-cos0=y-5cos0.在 RtADGB中，BD=yJD_G2+BG=,9 一 5cos0,_6BG3cos/DBG=j.BD495cos0当 cose=1 时，cos/DBG有最大值为手.答案：B二、填空题13.若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的正弦值为解析：设圆锥的高为 h,底面半径为 r,母线与轴所成角为 9,则 S 侧=；,2

10、 兀 rx/r2+h2,2S底=兀产.因为S侧=3S底，所以兀rN/+h?=3 兀r2,得，=3r,即 8r之=h?,所以 tan9=一产，sin9=223答案：1314 .设a,3是两个不重合的平面，3n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若n?a,n/3,anB=3则n/n若 n?a,n?a,m/3,n/B,则a/B;若a,B,anB=mn?a,n，m则n，B；若 mla,a，B,m/n,则 n/B.其中正确的命题序号为解析：由线面平行的性质定理知正确；由面面平行的判定定理知直线mn相交时才成立，所以错误；由面面垂直的性质定理知正确；中，可以是n?B,所以错误，即正确命题是.答案：15

11、 .如图，在四棱锥P-ABCDK底面ABCN菱形，/BAD=60,Q为AD的中点.若平面PADL平面ABCDP&PD=AD=2,点 ME 线段PC上，且P阵 2M。则四棱锥P-ABCd三棱锥P-QBM勺体积之比是解析：过点M作MHBC交PB点H平面PADL平面ABCD平面PACT平面ABC9ADPQLAD.PQL平面ABCD,PA=PD=AD=AB=2,/BAD=60,.PQ=BQ=3.，VPABCD=gPQ。S菱形 ABCD=-13X2X-3=2.33又PQLBCBQLADAD/BC.BQLBC又QBHQP=Q.BCL平面PQBMHPM2由MH/BC导,MHL平面PQI,=-.BCP

12、C34BC=2,MH=3VPQBgVPQB=；X；X*X4=2.3233.VP-ABCD：VP-QBM=3:1.答案：3：116.如图，/ACB=90,DAL平面ABCAEE!DB交DB于E,AHDC交DC于F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为解析：因为DAL平面ABC所以DALBC又BCACDA?AC=A,所以BCL平面ADC所以BCLAF又AFCQB6CD=C,所以AF，平面DCE?所以AF1_EF,AFDB又DBLAAEnAF=A,所以DBL平面AEF所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD.,1-l、_11a2+b2斜边上的电所以AE=2,DE=

13、0设AF=a,FE=b,则AEF的面积S=2ab/ABC=90,所以BC/AD又BC?平面PADAD?平面PAD故BC/平面PAD什一一一 1 一一一，一。巾一(2)取AD的中点M连接PMCM由AB=BC=2ADBC/ADZABC=90 得，四边形ABCM为正方形，则CMLAD因为侧面PAD等边三角形且垂直于平面ABCD平面PADH平面ABC吩AD所以PMLADPML平面ABCD因为CMT底面ABCD,所以PMLCM设BC=x,贝UCM=x,CD-2x,PM=*x,PC=PD-2x,取CD的中点N,连接PN贝UPN因为PCM面积为 2，7,所以 1xq2xx14x=2 干,解得x=2,于是AB

14、=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD勺体积2 .（2019长春模拟）如图，在四棱锥P-ABCDL平面PABL平面ABCDPA=PB,AD/BC_1_AB=ACAD=gBO1,PD=3,/BAD=120,M为PC的中点.证明：DM/平面PAB（2）求四面体M-ABD勺体积.解析：（1）证明：取PB中点N,连接MNAN、，一，一一一 11 一.M为PC的中点,MIN/BC且MNkBC一_1_又AD/BC且AD=C彳导MNAD .ADMM平行四边形，DM/AN又AN?平面PABDM平面PAB .DM/平面PAB(2)取AB中点O,连接PO.PA=PB,POLAB又平面PABL平面

15、ABCD平面PABH平面ABC吩ARPCy 平面PAB则POL平面ABCD取BC中点H,连接AH .AB=ACAHLBC又AD/BC,/BA氏 120,，_1_，/ABC=60.RtABH中，BH=&BC=1,AB=2,一 1V=ox32X2+42X2,=娟.A0=1,又AD=1,在AO加，由余弦定理得，OD=/3.在 Rtpo碑,PO=ypDOD=乖.一 1、一又SABD=2ABADin12011；2VkABD=3.ABD2Po才.3.如图，已知正方形ABCD勺边长为2,AC与BD交于点0将正方形ABC册对角线BD折起，得至U三棱锥ABCD(1)求证：平面AOC_平面BCD(2)若三

16、棱锥ABCM体积为半，且/A0O钝角，求AC的长.3解析：(1)证明：四边形ABCDI正方形，.BDAOBDLCO折起后仍有BDLAOBDLCOASCO=O,AOC。平面AOCBD，平面AOC.BD?平面BCD平面AOC_平面BCD(2)由(1)知BDL平面AOC116-x-OA-OC-sin/AOCBD=,323即1X；X 啦 X 啦 Xsin/AOC2啦二号3233sinZAOC=j-.又AOC!钝角，AOC=120.在AO计，由余弦定理得AC=OA+OC2OAOCcos/AOC=(也)2+(也)2-2X/x 班 xcos120=6,.AC=16.4 .已知空间几何体ABCDW,BCDWCDE匀是边长为 2 的等边三角形，ABC是腰长为3 的等腰三角形，平面CDEL平面BCD平面ABC_平面BCDYABCD=二SAOC,BD(1)试在平面BCCft作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABCCF行,并给出详细证明；(2)求三棱锥E-ABC勺体积.解析：(1)二.平面CD已平面BCD平面ABCL平面BCD过E作EQL平面BCD交CDTQ,过A作AP1平面BCD交BC于P,EQ/AR过Q作Q。BC交BD于O则直线O就是在平面BCDrt所求的直线，使得直线OQk