高中数学导数及其应用 151 曲边梯形的面积习题 苏教版选修22

1、1.5.1曲边梯形的面积明目标、知重点1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1曲边梯形的概念由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)2求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)3求曲边梯形面积的步骤：分割，以直代曲，作和，逼近4求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可

2、以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法，求出它在atb内所作的位移s.情境导学任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？为此，我们需要学习新的数学知识定积分探究点一求曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解问题如图，如何求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S?思考2图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x1

3、，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如下图)可以通过把区间0,1分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好SSi()2·x()2·(i1,2，n)0·()2·()2·021222(n1)2(1)(1)所以，

4、当n时，.求曲边梯形的面积可以通过分割、以直代曲、作和、逼近四个步骤完成思考4在“以直代曲”中，如果认为函数f(x)x2在区间，(i1,2，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意i，处的函数值f(i)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答都能求出S.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形例1求由直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的图形的面积解(1)分割将区间0,1等分为n个小区间：0，1，每个小区间的长度为x.过各区间端点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积

5、分别记作S1，S2，Sn.(2)以直代曲在区间，(i1,2，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度x作为底边，小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即Si()2·.(3)作和曲边梯形的面积近似值为SSi()2·0·()2·()2·()2·021222(n1)2(1)(1)(4)逼近当n时，所以，曲边梯形的面积为.反思与感悟求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割以直代曲作和逼近；(3)关键：以直代曲；(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积解yx2为偶函

6、数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影由得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n等分，则x， 取i.(2)以直代曲、作和S2·02122232(n1)2(1)(1)(3)逼近当n时，.所求平面图形的面积为S阴影2×4.2S阴影，即抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积为.探究点二求曲边梯形面积方法的实际应用思考利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系

7、，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为svt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题例 2汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(单位：km/h)，那么它在0t1这段时间行驶的路程是多少？解(1)分割将时间区间0,1分成n个小区间，0，1，则第i个小区间为，(i1,2，n)(2)以直代曲第

8、i个小矩形的高为v()，Siv()·()22·.(3)作和S()22021222(n1)222(1)(1)2.(4)逼近当n时，2.这段时间行驶的路程为 km.反思与感悟(1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、以直代曲、作和、逼近四步解决(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v(t)t22在t0，t1，v(t)0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现跟踪训练2弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)kx (k为常数，x为伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功解将物体用常力F沿着x的方向移动距离x，则所做

9、的功为WFx.本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)kx.将0，b区间n等分，记x，分点依次为x00，x1，x2，xn1，xnb.当n很大时，在分段xi，xi1所用的力约为kxi，所做的功为Wkxi·xkxi·，则从0到b所做的总功W近似地等于Wikxi·xk··012(n1).当n时，Wkb2.答弹簧从平衡位置拉长b所做的功为kb2.1把区间1,3n等分，所得n个小区间的长度均为_答案解析区间1,3的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.2若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时，克服弹力所做的功为_答

10、案0.36 J3在“以直代曲”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值可以是_答案该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)4求由曲线yx2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_答案1.02解析将区间5等分所得的小区间为1，2，于是所求平面图形的面积近似等于(1)×1.02.呈重点、现规律1求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间a，b；(2)以直代曲：取点ixi1，xi；(3)作和：(i)·；(4)逼近：“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一

11、些特殊点，如区间的端点(或中点)2变速运动的路程，变力做功问题等可转化为曲边梯形面积问题一、基础过关1. _.答案解析 (12n)·.2在区间0,8上插入9个等分点之后，则所分的小区间长度x_，第5个小区间是_答案0.83.2,43求由抛物线y2x2与直线x0，xt (t>0)，y0所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，t等分成n个小区间，则第i1个区间为_答案4一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为_答案解析曲线v(t)t与直线t0，t1，横轴围成的三角形面积S即为这段时间内物体所走的路程5由直线x1，y0，x0和曲线yx3所围成的曲边梯

12、形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是_答案解析将区间0,1四等分，得到4个小区间：0，1，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S()3×()3×()3×13×.6若做变速直线运动的物体v(t)t2，在0ta内经过的路程为9，则a的值为_答案3解析将区间0，an等分，记第i个区间为，(i1,2，n)，此区间长为，用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 ()2··(1222n2)(1)(1)近似地等于速度曲线v(t)t2与直线t0，ta，t轴围成的曲

13、边梯形的面积依题意得当n时，(1)(1)9，9，解得a3.7求直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积解令f(x)x2.(1)分割将区间0,2n等分，分点依次为x00，x1，x2，xn1，xn2.第i个区间为，(i1,2，n)，每个区间长度为x.(2)以直代曲、作和取i(i1,2，n)，Sf()·x ()2·i2(1222n2)·(2)(3)逼近当n，(2)，即所求曲边梯形的面积为.二、能力提升8直线x0，x2，y0与曲线yx21围成的曲边梯形，将区间0,25等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为_、_.答案3.925.52解析分别以小区间左

14、、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和S1(0210.4210.8211.2211.621)×0.43.92；S2(0.4210.8211.2211.621221)×0.45.52.9在求由抛物线yx26与直线x1，x2，y0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成n个小区间，则第i个区间为_答案，10已知某物体运动的速度为vt，t0,10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_答案55解析把区间0,1010等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2，10)，每个小区间的长度为1.物体运动的路程近似值S1&#

15、215;(1210)55.11已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间0，t内物体下落的距离解(1)分割：将时间区间0，t分成n等份把时间0，t分成n个小区间，则第i个小区间为t，(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段tt，在各个小区间物体下落的距离记作Si(i1,2，n)(2)以直代曲：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在t，上任取一时刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)g·t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t内所经过的距离可近似表示为Sig·t·(i1,2，n)(3)作和：SSig·t·012(n1)gt2(1)(4)逼近：当n时，Sgt2.即在时间区间0，t内物体下落的距离为gt2.12求直线x0，x2，y0与二次函数曲线f(x)x22x1所围成的曲边梯形的面积解(1)分割将0,2n等分，则(i1,2，n)的区间长度x，原曲边梯形分割成n个小曲边梯形，如图所示(2)以直代曲用f作为第i个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积(3)作和n个小矩形面积之和S x12(n1)n··n(n1)(2n1)·n(n1)242(4)逼近当n时，0，所以S.所以，由直线x0，x2，y0与二次函数曲线f(x)x22x