高中数学选修22推理与证明直接证明与间接证明

1、综合法和分析法学习目标1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.知识点一综合法1.定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.基本模式综合法的证明过程如下：即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为：3.综合法的证明格式因为，所以，所以，所以成立.思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案演绎推理.知识点二分析法1.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分

2、条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2.基本模式用Q表示要证明的结论，P表示条件，则分析法可用框图表示为：3.分析法的证明格式要证，只需证，只需证，因为成立，所以成立.思考分析法与综合法有哪些异同点？答案相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.题型一综合法的应用例1已知a，b是正数，且ab1，求证：4.证明方法一a，b是正数，且ab1，ab2，4.方法二a，b是正数，ab2>0，2 >0

3、，(ab)4.又ab1，4.方法三1122 4.当且仅当ab时，取“”号.反思与感悟利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1已知a，b，cR，且它们互不相等，求证a4b4c4a2b2b

4、2c2c2a2.证明a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a，b，c互不相等.a4b4c4a2b2b2c2c2a2.题型二分析法的应用例2已知a5，求证.证明要证，只需证，只需证()2()2，只需证2a522a52，只需证，只需证a25aa25a6，只需证06.因为06恒成立，所以成立.反思与感悟分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用

5、分析法证题易忽视的地方.跟踪训练2若a，b，c是不全相等的正数,求证lg lg lg lg alg blg c.证明方法一(分析法)要证lg lg lg lg alg blg c，即证lg lg(abc)，只需证··abc.0，0，0，··abc0成立.(*)又a，b，c是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立.方法二(综合法)a，b，cR，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，··abc，lglg(abc)，lg lg lg lg alg blg c.题型三综合法和分析法的综合应用例3已知a、b、c是不全相等的正数，且

6、0<x<1.求证：logxlogxlogx<logxalogxblogxc.证明要证logxlogxlogx<logxalogxblogxc，只需证logx<logx(abc).由已知0<x<1，只需证明··>abc.由公式>0，>0，>0，又a，b，c是不全相等的正数，··>abc.即··>abc成立.logxlogxlogx<logxalogxblogxc成立.反思与感悟综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时

7、，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.跟踪训练3设a，b，c为任意三角形的三边长，Iabc，Sabbcca，试证明：3SI24S.证明Iabc，Sabbcca，I2(abc)2a2b2c22(abbcac)a2b2c22S.于是，要证3SI24S, 即证3Sa2b2c22S4S，即证Sa2b2c22S.(1)要证Sa2b2c2，即证a2b2c2abbcca0，即证(a2b22ab)(b2c22bc)(a2c22ca)0，即证(ab)2(bc)2(ac)

8、20.(ab)20，(bc)20，(ac)20，(ab)2(bc)2(ac)20，Sa2b2c2成立.(2)要证a2b2c22S，即证a2b2c22ab2bc2ac0，即证(a2abac)(b2abbc)(c2acbc)0，即证aa(bc)bb(ac)cc(ab)0.a，b，c为任意三角形的三边长，a0，b0，c0，且abc，acb，bca，aa(bc)0，bb(ac)0，cc(ab)0，aa(bc)bb(ac)cc(ab)0，a2b2c22S成立.综合(1)(2)可知，Sa2b2c22S成立，于是3SI24S成立.因误用证明依据而出错例4已知a，b，c均为正实数，求证abc.错解因为a2b2

9、b2c2c2a233abc，abc3，所以abc.错因分析由于对不等式的性质把握不清而导致错误.不等式的性质：若ab0，cd0，则acbd，但却不一定成立.正解因为a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，把以上三式相加，并化简得a2b2b2c2c2a2abc(abc).两边同除以正数abc，得abc.防范措施在利用分析法或综合法证明问题时，要严格依据有关定理、性质、公理、法则进行证明.1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.等价条件答案A2.已知函数f(x)lg ，若f(a)b，则f(a)等

10、于()A.b B.b C. D.答案B解析函数f(x)的定义域为x|1x1，且f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数，f(a)f(a)b.3.若abab，则a，b应满足的条件是_.答案a0，b0且ab解析abab()2()0a0，b0，且ab.4.已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_.答案(0,16解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216，ab的最小值为16，要使ab恒成立，需16，016.5.求证：<2.证明因为logab，所以左边log1952log1933log192log195log1932log1923log19(5×32×

11、;23)log19360.因为log19360<log193612，所以<2.1.综合法：(1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，利于表达推理的思维轨迹.(2)综合法证明问题的步骤：第一步，分析条件，选择方向；第二步，转化条件，组织过程；第三步，回顾反思，适当调整.2.分析法：所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时，我们往往采用分析法证明问题，其关键是对结论进行等价变形，不等价无意义，也找不到成立的条件.3.分析综合法：有时解题需要一边分析，一边综合，称之为分析综合法，它表明分析与综合相互联系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又进一步成为分

12、析的起点.运用综合法与分析法联合解题时，一方面要特别注意“分析”那部分的叙述，不能与综合混为一谈，也就是说要注意它们之间的区别；另一方面，要习惯用分析法探求解题的途径，再用综合法完成命题的证明.一、选择题1.要证明，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是()A.综合法 B.分析法C.特殊值法 D.其他方法答案B2.已知a，b，c为互不相等的正数，且a2c22bc，则下列关系中可能成立的是()A.abc B.bcaC.bac D.acb答案C解析由a2c22ac，a2c22bc，得2bc2ac.又c0，ba，可排除A，D.令a2，b，可得c1或c4，可知C可能成立.3.若实数a，b，c满足abc

13、0，abc0，则的值()A.一定是正数 B.一定是负数C.可能是0 D.正、负不能确定答案B解析(abc)2a2b2c22(abbcac)0，且a2b2c20(由abc0，知a，b，c均不为零)，abbcac0，0.4.设0<x<1，则ax，b1x，c中最大的一个是()A.a B.bC.c D.不能确定答案C解析bc(1x)<0，b<c.又b1x>xa，a<b<c.5.已知A、B为ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理，又A、B为三角形

14、的内角，sin A>0，sin B>0，sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.6.已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析若l，m，则l，所以lm，正确；若l，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行或异面，不正确；若l，m，lm，则m，所以，正确.二、填空题7.定义在(，)上的函数yf(x)在(，2)上是增函数，且函数yf(x2)为偶函数，则f(1)，f(4)，f的大小关系是_.答案f(4)f(1

15、)f解析f(x2)为偶函数，f(x2)f(x2)，故f(x)关于x2对称，且开口向下，画出图象(图略)，显然有f(4)f(1)f.8.已知函数yx在3，)上是增函数，则a的取值范围是_.答案解析若函数yx在3，)，上是增函数，则y1在3，)大于等于0恒成立，只需x3，)时1恒成立，即2ax2，只需2a(x2)min9，a.9.函数ya1x(a0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_.答案4解析函数ya1x(a0且a1)恒过点A(1,1)，点A在直线mxny10上，mn10即mn1.又m·n0，m0，n0.(mn)222224(当且仅当mn时取等

16、号).10.当nN*时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(1)1，N(2)1，N(3)3，N(4)1，N(5)5，N(10)5，记S(n)N(2n1)N(2n11)N(2n12)N(2n1)(nN*)，则：(1)S(3)_；(2)S(n)_.答案(1)16(2)4n1解析(1)依题意知，S(3)N(4)N(5)N(6)N(7)153716.(2)依题意得，N(2n)1.当n为奇数时，N(n)n.在从2n1到2n1这2n1个数中，奇数有2n2个，偶数有2n2个.在这2n2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同.注意到N(2n1)1，N(2n1)2n1，且从N(2n1)到N(2n1)共有

17、2n1项，它们分别为互不相等的正奇数，其中最小的项是1，最大的项是2n1，而从1到2n1共有2n1个连续的奇数，因此N(2n1)N(2n11)N(2n12)N(2n1)1352n14n1，即S(n)4n1.三、解答题11.已知函数yf(x)(xR)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证yf为偶函数.证明设点P(x，y)是函数yf(x)上任一点，f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称.则点P(x，y)在函数yf(x1)的图象上.yf(x1)，又yf(x)，f(x)f(x1).fff，yf为偶函数.12.如图所示，M是抛物线y2x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MAMB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.证明设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k0)，则直线MF的斜率为k，直线ME的方程为yy0k(xy).由消去x，得ky2yy0(1ky0)0.解得yE，xE.同理可得yF，xF.kEF(定值).