高中数学思想转化与化归思想

1、转化与化归思想思想方法解读转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性转化与化归

2、思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决体验高考1(2016·课标全国乙)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则

3、a100等于()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.2(2016·课标全国丙)已知则()Ab<a<cBa<b<cCb<c<aDc<a<b答案A解析因为由函数y2x在R上为增函数知b<a；又因为由函数在(0，)上为增函数知a<c.综上得b<a<c.故选A.3(2016·四川)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，

4、求tan B.(1)证明根据正弦定理，可设k(k>0)，则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A，所以sin A.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B.故tan B4.高考必会题型题型一正难则反的转化例1已知集合AxR|x24mx2m60，BxR|x<0

5、，若AB，求实数m的取值范围解设全集Um|(4m)24(2m6)0，即Um|m1或m若方程x24mx2m60的两根x1，x2均为非负，则所以使AB的实数m的取值范围为m|m1点评本题中，AB，所以A是方程x24mx2m60的实数解组成的非空集合，并且方程的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由0，求出全集U，然后求的两根均为非负时m的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”变式训练1若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,

6、3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_答案解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，所以m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，则m49，即m.所以使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为<m<5.题型二函数、方程、不等式之间的转化例2已知函数f(x)eln x，g(x)f(x)(x1)(e2.718)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1>ln(n1)(n

7、N*)(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x>0)令g(x)>0，解得0<x<1；令g(x)<0，解得x>1.函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)(t>1)取t(nN*)时，则>lnln，1>ln 2，>ln ，>ln ，>ln，叠加得1>ln(2··

8、83;·)ln(n1)即1>ln(n1)点评解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围变式训练2设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)

9、f(x)0f(x)单调递减22ln 22a单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)>0.即e

10、xx22ax1>0，故ex>x22ax1.题型三主与次的转化例3已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数对满足1a1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为_答案解析由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有g(x)<0，即(a)<0，即解得<x<1.故当x时，对满足1a1的一切a的值，都有g(x)<0.点评主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把

11、哪个字母看成变量，哪个看成常数显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在1,1内关于a的一次函数小于0恒成立的问题变式训练3设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，则x的取值范围为_答案(，10，)解析f(x)是R上的增函数，1axx22a，a1,1(*)(*)式可化为(x1)ax210对a1,1恒成立令g(a)(x1)ax21.则解得x0或x1，即实数x的取值范围是(，10，)题型四以换元为手段的转化与化归例4是否存在实数a，使得函数ysin2xacos xa在闭区间0，上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，请说明理由解ysi

12、n2xacos xa1cos2xacos xa(cos x)2a.0x，0cos x1，令cos xt，则y(t)2a，0t1.当>1，即a>2时，函数y(t)2a在t0,1上单调递增，t1时，函数有最大值ymaxaa1，解得a<2(舍去)；当01，即0a2时，则t时函数有最大值，ymaxa1，解得a或a4(舍去)；当<0，即a<0时，函数y(t)2a在t0,1上单调递减，t0时，函数有最大值ymaxa1，解得a>0(舍去)，综上所述，存在实数a，使得函数在闭区间0，上有最大值1.点评换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况本题是关于三角函数最值的存在性问题

13、，通过换元，设cos xt，转化为关于t的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y(t)2a，0t1的最值问题，然后分类讨论解决问题变式训练4若关于x的方程9x(4a)·3x40有解，则实数a的取值范围是_答案(，8解析设t3x，则原命题等价于关于t的方程t2(4a)t40有正解，分离变量a，得a4，t>0，4，a8，即实数a的取值范围是(，8高考题型精练1若函数f(x)x3tx23x在区间1,4上单调递减，则实数t的取值范围是()A(， B(，3C，) D3，)答案C解析f(x)3x22tx3，由于f(x)在区间1,4上单调递减，则有f(x)0在1,4上恒成立，即3

14、x22tx30，即t(x)在1,4上恒成立，因为y(x)在1,4上单调递增，所以t(4)，故选C.2已知函数f(x)|logx|，若m<n，有f(m)f(n)，则m3n的取值范围是()A2，) B(2，)C4，) D(4，)答案D解析f(x)|logx|，若m<n，有f(m)f(n)，logmlogn，mn1，0<m<1，n>1，m3nm在m(0,1)上单调递减，当m1时，m3n4，m3n>4.3过抛物线yax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A2aB.C4aD.答案C解析抛物线yax2(

15、a>0)的标准方程为x2y(a>0)，焦点F(0，)，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|QF|，所以4a.4已知函数f(x)(e2x11)(ax3a1)，若存在x(0，)，使得不等式f(x)<1成立，则实数a的取值范围是()A(0，)B(0，)C(，)D(，)答案C解析因为x(0，)，所以2x1>1，则e2x11>e1，要使f(x)<1，则ax3a1<，可转化为：存在x(0，)使得a<·成立设g(x)·，则a<g(x)max，因为x>0，则x3>3，从而<，所以g(x)<，即a<，选C.

16、5已知f(x)，则f(2 015)f(2 014)f(0)f(1)f(2 016)_.答案2 016解析f(x)f(1x)1，f(0)f(1)1，f(2 015)f(2 016)1，f(2 015)f(2 014)f(0)f(1)f(2 016)2 016.6若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个值c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围是_答案(3，)解析如果在1,1内没有值满足f(c)>0，则p3或p，取补集为3<p<，即为满足条件的p的取值范围故实数p的取值范围为(3，)7对任意的|m|2，函数f(x)mx22x1m恒为负，则x的

17、取值范围是_答案(，)解析对任意的|m|2，有mx22x1m<0恒成立，即|m|2时，(x21)m2x1<0恒成立设g(m)(x21)m2x1，则原问题转化为g(m)<0恒成立(m2,2)所以即解得<x<，即实数x的取值范围为(，)8(2016·天津模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P，Q在正视图中所示位置：点P为所在线段的中点，点Q为顶点，则在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长为_答案a解析由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示则PQa.所以P，Q两点在侧面上的最短路径

18、的长为a.9求使不等式x2(a6)x93a>0，|a|1恒成立的x的取值范围解将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x9>0.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)>0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.即x的取值范围为(，2)(4，)10已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，若m，n1,1，mn0时，有>0.(1)证明f(x)在1,1上是增函数；(2)解不等式f(x21)f(33x)<0；(3)若f(x)t22at1对x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围解(1)任取1x1<x21，则f(x1)