高三数学复习及试题 数列1 B卷附答案

1、第三章数列(一)知识网络范题精讲一、等差数列的概念、通项公式【例1】 等差数列an的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.分析：在等差数列中，有a1、an、n、d、Sn五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.解：(1)由an=a1+(n1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.解得n=11或n=22(舍去).评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列

2、的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.二、等差数列性质的应用【例2】 已知等差数列an为等差数列，pq,ap=q,aq=p,求ap+q.分析：可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.解法一： 相减得(pq)d=qp,pq,d=1.代入,得a1=p+q1.故ap+q=a1+(p+q1)d=0.解法二：ap=aq+(pq)d,q=p+(pq)d,以下同解法一.解法三：不妨设p<q,由于an为关于n的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p,ap)、(q,aq)、

3、(p+q,ap+q)三点在同一直线上，如图.由ABEBCF得(设ap+q=m)1=.设m=0,得ap+q=0.三、等差数列前n项和公式的应用【例3】 设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S12中哪一个值最大，并说明理由.(1)解：依题意有由a3=12,得a1=122d.又d3.(2)解法一：由d0,可知a1a2a3a12a13.因此，若在1n12中，存在自然数n，使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)0,S13=13a70,即a6+a70,a70,由此得a6a7

4、0.故在S1，S2，S12中S6的值最大.解法二：Sn=na1+d=n(122d)+n(n1)d=n2(12)n=n(5)2(5)2.d0,n(5)2最小时，Sn最大.当d3时，6(5)6.5.n=6时，n(5)2最小.S6最大.解法三：由d0,可知a1a2a3a12a13.因此，若在1n12中，存在自然数n，使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由已知故在S1,S2,S12中S6的值最大.评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a60,a70的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.四、数列的应用【例4

5、】 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n1)年(nN且n2)的产量之间的关系式(不要求证明).(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)不妨设改进技术后第n年的产量为an，则a1=a(1+200%)=3a,a2=a1(1+×200%

6、)=6a,a3=a2(1+×200%)=9a,a4=a3(1+×200%)=a.依此，得an=an1(1+×200%)=an11+()n2(nN*,n2).(2)设遭损失后第n年的产量为bn,则b1=a1(110%),b2=b1(1+×200%)(110%),bn=bn11+()n2(110%).令bnbn1,则0.91+()n212n29,n2,即n5.17.由nN*知n6.故从第6年起，产量将不如上一年.评注：这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键，把它抽象为数列的通项，容

7、易求出递推关系式an=an11+ ()n2(nN*且n2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.试题详解高中同步测控优化训练(十一)第三章数列(一)(A卷)说明：本试卷分为第、卷两部分，共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为A.34B.35C.36D.37解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110，121，132，它们构成一个等差数列，公差为11，an=110+(n1)·11=11n+99,由an5

8、00,解得n36.4,nN*,n36.答案：C2.在数列an中，a1=1,an+1=an21(n1),则a1+a2+a3+a4+a5等于A.1B.1C.0D.2解析：由已知：an+1=an21=(an+1)(an1),a2=0,a3=1,a4=0,a5=1.答案：A3.若数列an的前n项和Sn=n22n+3，则此数列的前3项依次为A.1,1,3B.2,1,3C.6,1,3D.2,3,6解析：当n=1时，a1=S1=122×1+3=2;当n=2时，由S2=a1+a2=222×2+3,得a2=1;当n=3时，由S3=a1+a2+a3=322×3+3,得a3=3.答案：

9、B4.设函数f(x)满足f(n+1)=(nN*)且f(1)=2,则f(20)为A.95B.97C.105D.192解析：f(n+1)f(n)= 各式相加得f(20)f(1)=(1+2+19) f(20)=95+f(1)=97.答案：B5.已知等差数列an中公差d0.若n2,nN*,则A.a1an+1a2anB.a1+an+1a2+anC.a1+an+1a2+anD.a1an+1a2an解析：a1an+1a2an=a1(a1+nd)(a1+d)a1+(n1)d=(n1)d20,a1an+1a2an.答案：A6.等差数列an中，a4+a7+a10=57,a4+a5+a14=275,ak=61,则k

10、等于A.18B.19C.20D.21解析：3a7=a4+a7+a10=57,a7=19.由a4+a5+a14=275,可得a9=25.公差d=3. ak=a9+(k9)·d,61=25+(k9)×3,解得k=21.答案：D7.已知等差数列an的公差为正数，且a3·a7=12,a4+a6=4,则S20为A.180B.180C.90D.90解析：由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=4与a3·a7=12联立，即a3、a7是方程x2+4x12=0的两根.又公差d>0,a7>a3a7=2,a3=6,从而得a1=10,d=2,S20=180.答案：A

11、8.设Sn是等差数列前n项的和，若,则等于A.1B.1C.2D. 解法一：,=.解法二：,答案：A9.已知an是递增数列，且对任意nN*都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是A.(,+)B.(0,+)C.(2,+)D.(3,+)解析：由an为递增数列得an+1an=2n+1+0恒成立,即2n1在n1时恒成立，只需(2n1)max=3,故选D.答案：D10.在等差数列an中，若S9=18,Sn=240,an4=30,则n的值为A.14B.15C.16D.17解析：S9=18a1+a9=42(a1+4d)=4.a1+4d=2.又an=an4+4d,Sn=16n=240.n=15.答案：B第卷

12、(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设数列an的前n项和为Sn,Sn=(nN*),且a4=54,则a1的值是_.解析：a4=S4S3,=54.a1=2.答案：212.若数列an的前n项和Sn=lg(1+n),则a10+a11+a12+a99=_.解析：a10+a11+a99=S99S9=lg(·100)lg(·10)=10=1.答案：113.在9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为21的等差数列，则n=_.解析：21=,n=5.答案：514.等差数列an中，a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的

13、和等于_.解析：由a1+a2+a3=24,可得3a2=24;由a18+a19+a20=78,可得3a19=78,即a2=8,a19=26.S20=10(a2+a19)=10(8+26)=180.答案：180三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知数列an满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n1);(2)a1=1,an+1=.解：(1)a1=0,an+1=an+(2n1),a2=a1+(2×11)=0+1=1,a3=a2+(2×21)=4,a4=a3+(

14、2×31)=9,a5=a4+(2×41)=16.它的前5项依次是0，1，4，9，16.又可写成(11)2,(21)2,(31)2,(41)2,(51)2.故该数列的一个通项公式是an=(n1)2.(2)a1=1,an+1=,a2=,a4=它的前5项依次是1,.又可写成故它的一个通项公式为an=.16.(本小题满分10分)已知等差数列an中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求其通项an.解：a1+a7=2a4,且a1+a4+a7=15,a4=5.又a2a4a6=45,a2a6=9.设其公差为d,又a4=5,a2=a42d,a6=a4+2d.代入a2a6=9可得(5

15、2d)(5+2d)=9254d2=9d=±2.当d=2时，an=a4+(n4)d=5+(n4)×2=2n3(nN*);当d=2时，an=a4+(n4)d=5+(n4)×(2)=132n(nN*).17.(本小题满分12分)数列的通项公式为an=n25n+4，问:(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.解：(1)由an为负数，得n25n+4<0,解得1<n<4.nN*,故n=2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.(2)an=n25n+4=(n)2,对称轴为n=2.5.又nN*,故当n=2或n=3时，an

16、有最小值，最小值为225×2+4=2.18.(本小题满分12分)有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一直向前放.一辆汽车一次最多运三根，如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？解：设在运完第3(n1)至3n(其中1n10且nN*)根且返回起点时，这辆汽车的行程为an米，则根据题意得a1=(1000+50+50)×2=2×1100,a2=(1100+50+50+50)×2=2(1100+150),a3=(1100+150+50+50+50)

17、15;2=2(1100+300),.an是以2×1100为首项，150为公差的等差数列.从而行程为s10=(1100×10+×10×9×150)×2=35500.答：这辆汽车的行程是35500千米.19.(本小题满分12分)设无穷等差数列an的前n项和为Sn.(1)若首项a1=,公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k;(2)求所有的无穷等差数列an，使得对一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立.解：(1)当a1=,d=1时，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2,即k3(k1)=0.又k0,k=4.(2)设等差数列an的公差为d,则在Sk2=(Sk)2中，分别取k=1,2,得即由得a1