重积分和线面积分

1、重积分与线面积分练习题一.填空题1. 设， D表示全平面，则2. 设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .3.二重积分，其中D是由所围成的区域。4.设连续，则积分，其中.5.6.设是圆的外侧，则曲线积分7.已知，其中是锥面 和围成的整个立体的表面内侧，则.8. _ _ .9. .二.选择题1. 设函数连续，则二次积分等于 ( B ) A. B. C. D.2. 设，其中，则 ( A ) A. B. C. D.3. 设f(x)为连续函数，则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. 4. 设函数连续, 区域, 则等于（D）（A）. （B）.（C）

2、. （D）5.由曲线，所围成图形的面积.A. B. C. D.6.设L是星形线，则曲线积分 A. B. C. D.7.设函数在上有连续的导数，L是由点到的直线段，则曲线积分 A. 28 B. 26 C. 32 D. 308.设L是上半圆上从点到点的弧段，则曲线积分 A. B. C. D. 9. 若区域D由所围成，则=（ ）（A）；（B）；（C）；（D）10若区域D由所围成，则= .（A） ； （B）；（C）2； （D）11.若是星形线上半部（取顺时针方向）,的值为( ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) 12.设 是球域，则三重积分= .（A） ； （B）； （C） ； （D）.13

3、( ), 其中. (A) (B) (C) (D) 14.设是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分. (A); (B) ; (C) ; (D) .15可微, 则( ).(A) (B) (C) (D) 三. 解答题1. 计算二重积分，其中是由所围成的平面区域。2. 计算二重积分，其中。3. 计算二重积分， 其中，积分区域。4. 求，其中D是由圆和所围成的平面区域。5. 设闭区域，为D上的连续函数，且，求。6. 设有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为一常数。（1）证明：对右半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有；（2）求.7. 计算曲面积分其中是曲面的上侧.8.计算二重积

4、分，其中，表示不超过的最大整数.9.计算，其中为。10.计算三重积分，其中是由平面与三个坐标面围成的区域。11.计算，其中为.12.计算空间曲线积分，其中L为球面与平面之交线。13.计算，其中L为与之交线。14.计算，其中是半球面的上侧。15.计算，其中为柱体的边界外表面。16.已知平面区域，L为D的正向边界，试证：（1）（2）17.求其中，为正的常数，L为从点沿曲线到点的弧。18.计算是被割下的有限部分；19.,其中为锥面夹在之间的外侧.20.,其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧.21.,其中及所围立体表面的外侧. 22.，其中为曲面的外侧。23.计算，其中,为球面表面外侧。

5、24.计算，其中是球体x2+y2+z22z的表面的外侧。25.利用斯托克斯公式计算,其中是球面与平面的交线,从轴正向看为逆时针方向.26.计算二次积分。27.计算二重积分28.计算曲面积分其中是球面（的常数）外侧的上半球面。29.31.计算曲面积分, 其中。32.计算重积分:, 其中是由所围之立体。-33.计算曲面积分, 其中。34.计算积分 其中 为立体的上半部 35.计算, 其中 x为不超过x的最大整数.36.计算曲面积分 其中37.计算重积分： 其中是由所围之立体.一、填空题1. 设， D表示全平面，则【详解】由题设知，只有当时，被积函数才不为0，即2. 设为正向圆周在第一象限中的部分，

6、则曲线积分的值为 .【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为于是 =【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.3.二重积分，其中D是由所围成的区域。【详解】由函数的奇偶性可知,而，其中是由确定的闭域。故.4.设连续，则积分，其中.【详解】5.【分析】显然我们首先遇到的便是函数的积分，而这个函数的原函数是不能表示为初等函数的，因此必须先交换积分顺序再计算累次积分。【详解】由题知积分区域D为由直线和抛物线所围成的，若先对积分，则.于是.6.设是圆的外侧，则

7、曲线积分【详解】由于圆关于，轴都是对称的，因此，.其中是在的部分，则二、 选择题1. 设函数连续，则二次积分等于 ( B ) A. B. C. D.【分析】画出积分区域的草图即可.2. 设，其中，则 ( A ) A. B. C. D.【分析】都是区域D上的二重积分，只需比较被积函数在D上的大小。【详解】由于在区域D上有， 所以， （仅在点处取等号）. 于是有 .3. 设f(x)为连续函数，则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，

8、得=于是，从而有 ，故应选(B). 【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。4. 设函数连续, 区域, 则等于（D）（A）. （B）.（C）. （D）【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下,故应排除（A）、（B）.在极坐标系下, ,故应选（D）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.5.由曲线，所围成图形的面积.

9、A. B. C. D.【详解】利用极坐标变换有 故应选（ C ）6.设L是星形线，则曲线积分 A. B. C. D.【详解】由星形线的直角坐标方程，可推得参数方程则 ，故7.设函数在上有连续的导数，L是由点到的直线段，则曲线积分 A. 28 B. 26 C. 32 D. 30【详解】令，则有 ，所以，在第一象限内所给曲线积分与路径无关，取为积分路径，有8.设L是上半圆上从点到点的弧段，则曲线积分 A. B. C. D. 【详解】添加轴上从点到的直线段，则有构成封闭曲线，它所围成的平面区域记为D，并令，由格林公式有而 于是可得 .三、 解答题1. 计算二重积分，其中是由所围成的平面区域。【分析】

10、采用“先后”方法计算。【详解】注：本题如果采用“先后”的方法，则计算比较复杂。2. 计算二重积分，其中。【分析】由于被积函数不是初等函数，所以需将积分区域D分块后再积分。【详解】将积分区域D分成和两部分，则由于，所以，。注：本题将计算转化为计算，而 是单位正方形上的二重积分，容易计算，而是已经算出的的相反数。3. 计算二重积分， 其中，积分区域。【详解】在极坐标下有.由对称性得.令，则. 记，则由此可得 .所以 .4. 求，其中D是由圆和所围成的平面区域。【详解】由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性得.故 注意：积分区域对称性的应用。5. 设闭区域，为D上的连续函数，且，求。【分析】记，对所给

11、等式的两边进行二重积分得到关于A的方程，求出A即得的表达式。【详解】记，则.对上式两边在区域D上作二重积分得即 所以因此，.6. 设有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为一常数。（1）证明：对右半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有；（2）求.【详解】（1）证明很简单，设点在右半平面上，曲线即为曲线（不包含原点），取点在左半平面上，则曲线包含坐标原点，显然，因此.（2）由（1）可知，是全微分。利用“凑全微分法”求。因为只要使 是形式的全微分，即使即可。此时.7. 计算曲面积分其中是曲面的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的

12、曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，则由高斯公式知 = =而 ，故 【评注】 本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在上直接投影积分时，应注意符号(取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).8.计算二重积分，其中，表示不超过的最大整数.【详解】令，则9.计算，其中为。【详解】在平面内投影为圆域，利用球坐标变换则，10.计算三重积分，其中是由平面与三个坐标面围成的区域。【分析】这个积分区域对三个变量是对称的，关于被积函数也是对称的，利用对称性来计算。【详解】因为故11.计算，其中为.【详解】利用广义球坐标变换，

13、令 其中12.计算空间曲线积分，其中L为球面与平面之交线。【分析】以换，以换，以换，曲线L的方程不变，即L具有轮换对称性，利用这一性质进行计算。【详解】由于轮换对称性，可知而L是经过球心的圆，其周长为，故.13.计算，其中L为与之交线。【详解】先从消去得 其参数方程为，因此 .14.计算，其中是半球面的上侧。【详解】虽然不是封闭的，但我们可以用平面将其补上，使成为封闭的外侧面，它围成的域是。于是就有由于 由高斯公式而的值又可以直接化成二重积分来计算故 .15.计算，其中为柱体的边界外表面。【详解】依题可设柱体，由高斯公式，并利用柱面坐标计算可得16.已知平面区域，L为D的正向边界，试证：（1）

14、（2）【详解】（1）左边， 右边，所以 .（2）由于，故由（1）得.1. 若区域D由所围成，则=（ D ）（A）；（B）；（C）；（D）2若区域D由所围成，则= A .（A） ； （B）；（C）2； （D）3.若是星形线上半部（取顺时针方向）,的值为( ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) 4.设 是球域，则三重积分= D .（A） ； （B）； （C） ； （D）.5( B ), 其中. (A) (B) (C) (D) .6.设是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分 D . (A); (B) ; (C) ; (D) .7可微, 则( B ). (A) (B) (C) (D) 8.已知，其中是锥面 和围成的整个立体的表面内侧，则9.10.11.计算曲面积分, 其中。解 根据轮换对称性 -12.计算重积分:, 其中是由所围之立体。解：关于对称，是关于的奇函数 投影区域为，选择柱坐标，13.计算曲面积分, 其中。解：根据轮换对称性 -14.计算积分