量子力学中常用的级数及积分

1、 量子力学中常用的级数和积分摘要：（1）研究背景和目的：在量子力学这门课程中涉及和应用到了许多的积分和级数,尤其是在复杂的计算过程中,为了更好的掌握和熟悉这些积分和级数,便于计算,总结和说明这些积分和级数非常有必要和意义.（2）方法：总结整理教材中涉及的积分和级数，并查阅参考资料,利用网络资源补充和完善这些常用的积分和级数.（3）主要结果：总结归纳了量子力学中常用的积分和级数,并对其中的一些做了说明和解释.（4）结论：本文总结了量子力学中常用的积分和级数做了一定的总结归纳,并对其中的一些做了详细的说明和扩充.便于以后对这些积分和级数的学习和查阅.关键词：量子力学，级数，积分.一，引言：（1）本

2、领域研究背景的综述：量子力学中的积分和级数比较繁杂,对于这些级数和积分的系统全面的整理总结不多.（2）为什么进行进一步的研究：在量子力学的学习过程中尤其是计算过程中会用到许多的积分和级数，这些积分和级数往往比较复杂和难于理解和掌握，给计算求解过程带来了许多的麻烦.但是查找起来并不方便.因此为了系统和较全面的掌握和应用这些积分和级数,对它们进行总结和整理时十分有意义的.这将对量子力学的学习有一定的帮助.本文总结了量子力学中常用的积分和级数,并对其中的一些做了详细的说明.（3）研究目的：便于读者查阅和学习量子中常用的二级分和级数.（4）本文开展的研究工作：整理教材中的典型积分和级数，查阅相关资料文

3、献以及通过网络资源对其进行补充和完善.(5）本文的研究意义：便于读者查阅和学习量子力学中常用的积分和级数.二， 对常用积分和级数的总结整理1，泰勒级数（Taylor series）是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。在数学上，一个定义在开区间（a-r, a+r）上的无穷可微实变函数或复变函数f 的泰勒级数是如下的幂级数：这里,n! 表示n 的阶乘而表示函数f 在点a 处的n 阶导数。如果泰勒级数对于区间 (a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和

4、等于f (x)，那么我们就称函数f (x)为解析的.当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时,它才是解析的.为了检查级数是否收敛于f (x),我们通常采用泰勒定理估计级数的余项.上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数.如果a=0,那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数.泰勒级数的定义：下面给出了几个重要的泰勒级数.参数x 为复数时它们依然成立.（1）指数函数和自然对数:(2)几何级数:(3)二项式定理:(4)三角函数:(5)双曲函数:2,傅里叶级数法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示.傅里叶级数的

5、公式:给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：（i为虚数单位）（1）其中，可以按下式计算：（2）3,黎曼积分由黎曼创立的黎曼积分（Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义.对于一在区间a,b上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与x坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为.S是函数f在闭区间a,b上的黎曼积分,当且仅当对于任意的,都存在,使得对于任意的取样分割、,只要它的子区间长度最大值 ,就有：4,幂级数在数学中,幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数,变量可以是一个或多个.单变量的幂级数形式为：其中的c

6、和是常数。称为幂级数的系数.5,勒让德多项式( Legendre Multinomail )将上式中的未知函数 P 记成 y,则勒让德方程变为设其形式解为 其中, 常数c和(k=0,1,2)可以通过把y和它的导数y、y”代入上式来确定.6，积分证明: 由积分表达式的具体形式可以看出, n N 且积分参数R ;下面就n = 0 与n 为正整数时的积分分别给出证明.当n = 0 时,积分简记为 ,并计算得;当n 为正整数时,有=.7,概率积分当n = 0 ,= 1 时,积分化为概率积分,由积分与积分变量的无关性,有=,因此（）（）=.将直角坐标改用极坐标积分, 即令x = rcos,y=rsin,

7、则dxdy=rdrd,得=,所以=.8,(x)函数(x)函数的定义:广义积分(x)= ，当x >0时收敛，从而在x > 0的范围内，确定了一个以x为自变量的函数，称为(x)函数. 记(x)为(x)= ，（x>0）(x)函数的性质:(1)(x1) = x(x) x 介于二整数间，则(x+1)= x(x)= x(x1)(x1)= x(x1)(x2)(x 2)= =x(x1)(x2)(x3)(xn)(xn),(0<xn<1)（2）x=n(n为自然数)，(n +1) = n(n) = n(n1)(n1)=n(n1)(n2)(n2)=n!(1)，而(1)=. 所以(n +1

8、)=n!（3）x 为半整数，即x = ( k取奇整数1，3，5，7，)(+1)= ()=(-1)(-2)()9,B-函数B-函数的定义:广义积分,当m>0，n>0 时收敛，从而在m>0，n>0 的范围内确定了一个以m，n 为自变量的二元函数. 称之为B-函数. 记B(m,n)为B(m,n) =,(m>0，n>0)(1)B-函数的性质：B(m,n) = B(n,m).（2）B-函数的递推公式:B(m+1,n+1)= B(m+1,n).（3）B-函数的变换形式:在B(m,n)= ，令x = sin2x，则B(m,n)= .10,常用的一些积分公式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (10) 三,结论本文总结了量子力学中常用的积分和级数做了