2017_18版高中数学平面向量1数乘向量学案北师大必修

1、3.1 数乘向量【学习目标】1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.H问题导学知识点一向量数乘的定义思考 i 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？思考 2 向量 3a,3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？思考 3 入 a 的几何意义是什么？梳理数乘向量一般地，实数人与向量 a 的积是一个向量，记作.它的长度为|入 a|=|入|a|.它的方向：当入0 时，入a 与 a 的方向相同；当入0 时，入 a 与 a 的方向相反；当

2、入=0 时,入 a=0,方向任意.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？梳理向量数乘运算律（1）入（a）=（入 w）a.（2）（入+（i）a=入 a+（1a.（3）入（a+b）=Xa+入 b.知识点三向量共线定理思考若 b=2a,b 与 a 共线吗？梳理（1）向量共线的判定定理a 是一个向量，若存在一个实数入，使得,则向量 b 与非零向量 a 共线.(2)向量共线的性质定理若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数入，使得 b=.知识点四向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).题型探究类型一向量数乘的基

3、本运算1例 1(1)化简：彳2(2a+4b)-4(5a-2b).(2)已知向量为 a,b,未知向量为 x,y,向量 a,b,x,y 满足关系式 3x2y=a,4x+3y=b,求向量 x,y.反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练 1(1)(a+b)-3(a-b)-8a=.(2)若 2y-1a-1(c+b-3y)+b=0,其

4、中 a,b,c 为已知向量，则未知向量 y=.33类型二向量共线的判定及应用命题角度 1 判定向量共线或三点共线例 2 已知非零向量 61,e2不共线._11(1)右 a=;e1e2,b=3e12e2,判断向重 a,b 是否共线.23(2)若 AB=e1+e2,Bt=2e1+8e2,也 3(e1e。，求证：A、B、D 三点共线.反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 b=入 a(aw0),还要说明向量

5、a,b有公共点.跟踪训练 2 已知非零向量 ei,e2不共线，如果 AEB=ei+2e2,BO=-5ei+6e2,5b=7ei2e2,则共线的三个点是.命题角度 2 利用向量共线求参数值例 3 已知非零向量 ei,e2不共线，欲使 kei+e2和 ei+ke2共线，试确定 k 的值.反思与感悟利用向量共线定理，即 b 与 a(aw0)共线？b=入 a,既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练 3 已知 A,B,P 三点共线，O 为直线外任意一点，若如 xOAbyOB 则 x+y=类型三用已知向量表示其他向量例 4 在AB3若点 D 满足BD=2 而则 Afce 于()A

6、.3AC|ABB.5AB-|Ab2-i2-i.C-AO-ABD-AO-AB3333反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(i)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练 4 如图，在ABC,D,E 为边 AB 的两个三等分点，CA=3a,CB=2b,求 CDCE.1MliA.2AMC.2AMD.MA3.设 ei,e2是两个不共线的向量，若向量m=edke2(keR

7、)与向量 n=e22ei共线，则()A.k=0B,k=1一.一_.1C.k=2D.k=24 .已知ABC 勺三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P,且 9 幅电 AB,则（）A.P 在ABS 部B.P 在ABC7卜部C.P 在 AB 边上或其延长线上D.P 在 AC 边上5 .如图所示，已知 AP=4ABi用OAOE表示OP3T 规律与方法）1 .实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如入+a,入-a 是没有意义的.2 .入 a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|入|倍.向量 raIa|表示与向量 a 同向的单位向量.3 .向量共线定理是证明三点

8、共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4 .已知 QA,B 是不共线的三点，且OP=mOAnOBmnCR）,A,P,B 三点共线？mWn=当堂训练1.已知 a=5e,b=3e,c=4e,则 2a3b+c 等于(A.5eB.5eC. 23eD. 23e2.在ABC43,M 是 BC 的中点，则 AB+AW 于（）B.AM1.答案精析问题导学知识点一思考 1 向量.思考 23a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相同.3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反.思考 3 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量 a

9、 的有向线段伸长或压缩.当|入|1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（入0）或反方向（入 v0）上伸长为原来的|入|倍；当|入|v1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（入0）或反方向（入 v0）上缩短为原来的|入|倍.梳理入 a知识点二思考结合律，分配律.知识点三思考根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与 a 共线.如果有一个实数入，使 b=入 a（aw0）,那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a（aw。）是共线向量，那么有且只有一个实数入，使得 b=入 a.梳理非零 b=入 a（2）入 a题型探究例 1 解（1）12（2a+4b）-4（5a-2b）1.一.一=(4a+

10、8b20a+8b)1.=-(-16a+16b)4=4a+4b.（2）因为由X3+X2,得 x=3a+2b,代入得 3X(3a+2b)2y=a,即 y=4a+3b.所以 x=3a+2b,y=4a+3b.跟踪训练 110a+4b3x2y=a,4x+3y=b,221(2)9a-9b+9C例 2解.b=6a,，a 与 b 共线.证明 AB=ei+2,BD=BOFCD=2e+8&+3e一 3e2=5(+e2)=5 丽.陌国共线，且有公共点 B,.A、RD 三点共线.跟踪训练 2AB,D例 3 解:k&+e2 与 e+ke2 共线，存在实数入，使 kei+e2=入(ei+ke2),则(k入)ei=(入 k-1)e2.kX=0,又&与&不共线，入k-1=0,k=+1.跟踪训练 31例 4D跟踪训练 4 解,S3a,而=2b,.=-2b-3a.