微积分基本知识[1]

1、微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1. 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数X!,K,X n,L叫数列，记作Xn ,并吧每个数叫做数列的 项，第n个数叫做数列 的第n项或通项界的概念：一个数列xn，若 M 0, s.t对n N*，都有xn M，则称人是有界的：若不论M有多大，总 m N*， s.t xm M，则称xn是无界的若a Xn b，则a称为Xn的下界，b称为x.的上界Xn有界的充要条件：Xn既有上界，又有下界2. 数列极限的概念定义：设Xn为一个数列，a为一个常数，若对0，总 N ,s.t当n N时，有Xn a则称a是数列Xn的极限，记作lim Xn a或Xn

2、 a(n )n数列有极限时，称该数列为 收敛的，否则为发散的几何意义：从第N 1项开始，xn的所有项全部落在点a的邻域(a ,a )3. 数列极限的性质唯一性收敛必有界保号性：极限大小关系数列大小关系(nN时)函数的极限1定义：两种情形 X X0 :设f (X)在点X0处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对0，s.t 当 0时，恒有f(x) A成立，则称f (x)在XXo时有极限A记作 lim f (x)X xA或 f(x)A(xX。)几何意义：对0，s.t 当 0x x0时，f (x)介于两直线单侧极限：设f (x)在点x°处的右侧某邻域内有定义，A为常数，若对0 , s.t当0

3、x X0时，恒有f (x) A成立，称f (x)在X0处有右极限A，记作 lim f(x) A 或 f (X0) AX X)lim f(x) A的充要条件为：f(x。) f(x°)=AX X垂直渐近线：当lim f (x) 时，x x0为f (x)在x0处的渐近线X X X :设函数f (x)在x b 0上有定义，A为常数，若对 0， X b,st 当x X时，有| f(x) A 成立，则称f(x)在x时有极限A，记作im f (x) A 或 f (x) A(x )lim f (x) A 的充要条件为：lim f (x) lim f (x) AXXX水平渐进线：若lim f (x)

4、A或lim f (x) A，则y A是f (x)的水平渐近线XX2函数极限的性质：唯一性局部有界性局部保号性(在当0 |x X。时成立)三、极限的运算法则1. 四则运算法则设f(x)、g(x)的极限存在,lim f (x) lim f(x) g(x) A B lim f (x)g(x) AB lim- (当 B 0 时)g(x) B lim cf (x) cA ( c为常数) limf(x)kAk( k为正整数)2. 复合运算法则设 y f (x)，若 lim (x) a，则 limx x)x xo可以写成 lim f (x) f lim (x)x xox xo四、极限存在准则及两个重要极限1

5、 极限存在准则A,lim g(x) B 则f (x) f(a)(换元法基础)夹逼准则Yn Xn Zn,lim ynlim znann单调有界准则有界数列必有极限3.重要极限sin x lim11 X lim 1ex 0 xxx五、无穷大与无穷小1.无穷小：设有三个数列Xn ,Yn ,Zn ,满足贝V lim xn an丄或 lim 1 x x ex 0在自变量某个变化过程中lim f (x)0，则称f (x)为x在该变化过程中的无穷小探 若f(x) 0,则f(x)为x在所有变化过程中的无穷小若f(X) ，则f(x)不是无穷小性质：1有限个无穷小的代数和为无穷小2常量与无穷小的乘积为无穷小3有限

6、个无穷小的乘积为无穷小4有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim f (x)A的充要条件是f (x) A (x)，其中(x)为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(x),(x)，为同一变化过程中 的无穷小若 lim c ( c0常数)则是的同阶无穷小(当c 1时为等价无穷小)右 lim kc ( c0常数)则是的k阶无穷小若 lim 0则是的高阶无穷小常用等价无穷小：(x 0) x:sin x :tan x: arcs in x :xarctanx: ln(1 x) : e 1;1 cos x :2x(1T ； (1x) 1X

7、；ax 1 : xln a2无穷大：设函数f (x)在X。的某去心邻域内有定义。若对于 M 0 ,0 s.t当0 x Xo时，恒有 f (x) M称f (x)当xx°时为无穷大，记作lim f (x)x X0为无穷小lim f (x)1为无穷大lim f (x)(下：趋于某点，去心邻域不为 0)无穷大定理：lim f (x)无穷小探 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定 六、连续函数1 定义设函数yf (x)在xo某邻域有定义，若对0 , Ost当0 x时,恒有： f (x) f (xo)也可记作 lim f (x) f (x0)或 lim y 0x xox 0f(x°

8、;) f(x°)(或 f(x°)f(x)为左(或右)连续2 函数的间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义左右极限不等可去间断点 跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3连续函数的运算若函数f (x)与g(x)都在x处连续，则函数f (x)f (x) g(x)， f (x)g(x)，( g(x) 0 )g(x)定理：y fg(x)， g(x°) U0，若g(x)在x°处连续，f (g)在u°处连续，则 y f g(x)在x°处连续4闭区间连续函数的性质 最值定理：f (x)在a,b上连续，贝V VX2，对一切

9、x a,b有f(xjf(x) f(X2)介值定理：f(x)在a,b上连续，对于f (a)与f (b)之间的任何数u，至少 一点s.t f ( ) u第二章、导数一、导数的概念定义：设函数y f (x)在点Xo的某邻域有定义，如果极限lim x)一f(x存在，则称函数 y f(x)在点X 0xxo可导，极限值为函数y f(x)在点xo处的导数，记为f'(xo)单侧导数：设函数y f (x)在点Xo处的左侧(xo, xo有定义，若极限lim f(xoX)f(xo)存在，则称此极限为函数X °xy f (x)在点x处的左导数，记为f (xo)，类似有右导数f(X。)导函数：函数y

10、f(x)在某区间上可导，贝yf (X x) f (x) f (x) limx ox性质：函数y f(x)在点Xo处可导的充要条件f'(Xo) f'(Xo)可导连续导数的几何意义：函数点处的切线斜率二、求导法则1 函数的和、差、积、商的求导法则 定理：若u u(x), v v(x)都在X处可导，则函数u(x) v(x)在X处也可导，且u(x) v(x) u (x) v (x)定理：若u u(x), v v(x)都在x处可导，则函数u(x)v(x)在x处也可导，且u(x)v(x) u v uv推论：若u1,K , un都在x处可导，贝V函数u1 u2 L un在x处也可导，且III

11、IU1U2L UnU|U2L Un U|U2 L Un L U1U2L Un定理：若u u(x), v v(x)都在x处可导，则函数“勺在x处也可导，且v(x)u(x) u v uv2v(x)v2 反函数的求导法则定理：设函数x g(y)在Iy上单调可导，它的值域为Ix，而g'(y)0,贝V其反函数y g 1(x) f(x)在区间Ix上可导，并且有f'(x)4.复合函数的求导法则定理：若函数u (x)在Xo可导，函数y f (u)在点Uo(X。)可导，则复合函数y f ( (x)在X。处可导f( (x)'f'( (x) '(x)或dx dugdx(连锁规

12、则)三、高阶导数定义：若函数y f(x)的导数yf (x)仍可导，贝V y f (x)导数为y f (x)的二阶导数,记作 y , f (x),d2ydx2类似的，有n阶导数y(n), f (n)(x),nd ydxn四、隐函数求导对于 Fx,y(x)0,或 Fx, y(x)Gx,y(x)，若求 史dx求导法：方程两侧对x求导 微分法：方程两侧求微分公式法：dy 三，将方程化成Fx,y=O，将F看成关于x,y的二元函数，分别dx Fy对x,y求偏导Fx,Fy五、参数方程所确定的函数求导x(t)dydy dtdy , dx'yt，g/一'y(t)dxdt dxdt dt(t)xt

13、导数公式(cscx) cscxcotx(x )'1x(ax)' ax In a(lOg ax)'1xln a1(sin x)cosx1(cos x)sin x1(cot x)2 csc x1(secx)secx ta n x基本函数:C'0导数运算法则:(arcsin x)(arccosx)(arcta nx)(arccot x)'1111 x211 x2III(u v) u vIII(uv) u v uv(u v)(n) u(n) v(n)高阶导数(Cu)' Cu(与vu v uv(uv)(n)v2nkCnu(n k、(k)Cf (ax b)(

14、n)Canf (n)(ax b)1 (n)!n (m)m nm*1nn(x )An x ,(n N )若mn,则 0( 1)百xxx、(n) x n(a ) a In a(IOgaX)(n)( 1)'(n 1)!xn In a(si nx)(n) si n(x(cosx)(n) cos(x探 1.o(x ) o(x)xxXo2. |xm0_L(x°)f (xo)，需补充条件f (x)在Xo处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义：设函数y f(x)在某区间I上有定义，x0,x0x I ，若yf (xox) f (xo)可表示为y Ax o( x)(其中A与x无关)，则

15、称A x为y在x°处的微分，记作dy A x探dy与y的区别：当y为自变量时，dy y当y为因变量时，dy y， y dy o( x)， dy为y的线性主部定理：对于一元函数y f (x)，可导 可微性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分dny f (n)(x)(dx)n二、微分的几何意义“以直代曲”、微分中值定理中值定理条件结论Rollea, b上连续，(a,b)上可导， f (a) f (b)至少存在一点 ，使得f'( ) 0Lagra ngea,b上连续，(a, b)上可导f(b) f (a) f'() b aCauchya,b上连续，(a,b)上可导，g

16、9;(x)0f(b) f (a) f'() g(b) g(a) g'()有限增量定理：y f (x x) x (01) L Hospital 法则：-型未定式定值法：f(x),g(x)在x0的某去心邻域有定义，且0lim f(x) lim g(x) 0， f (x),g(x)在 x-的某去心邻域可导，且 g'(x)0x x-x xolim 3x X。g (x)lim 3 a，则有 lim 3x x- g (x)x x- g(x)0类似，0g ， 1 ，0°，四、函数的单调性与极值1单调性：定理：设函数y f (x)在a, b上连续，在(a,b)上可导，则导数符

17、号原函数单调性f'(x) 0Zf'(x) 02.极值定义：设函数y f(x)在点Xo某邻域有定义，若对该邻域内一切x都有f (x0) f(x)贝V f (Xo)是函数f (x)的一个极大值，点Xo为函数f (x)的一个极大值点。(极小值类似)函数取得极值的一阶充分条件函数y f(x)在点xo去心邻域可导，且在xo处可导或导数不存在，贝y：当 xxo 时，f '(x)o， xX。时，f '(x)o ，则f(x)是极大值当 xxo 时，f '(x)o， xX。时，f '(x)o ，则f (Xo)是极小值无论x xo 还是 xxo ，总有f '

18、(x)o (或f '(x)o )，则f(Xo)不是极值函数取得极值的二阶充分条件函数y f (x)在点xo处具有二阶导数，且f(X。)o , f (xo) o，则 若 f "(xo) o ，贝 f (xo) 是极小值 若f"(xo) o，则f(x。)是极大值第四章、不定积分一、不定积分的概念和性质1.原函数与不定积分原函数：设f(x)在I上有定义，若对 x I，都有F'(x) f(x) 或 dF(x) f(x)dx则称F(x)为f (x)在I上的一个原函数原函数存在定理：若函数f(x)在I上连续，则在I上 可导函数F(x)，s.t对x I，都有F'(

19、x) f (x)。即连续函数一定有原函数不定积分：设F(x)使f(x)的一个原函数，C为任意常数，称F(x) C为f(x)的不定积分，记作f(x)dx F(x) C几何意义：积分曲线族2不定积分的性质： 积分运算与微分运算为互逆运算 f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx k 0二、换元积分法1第一类换元积分法定理：设f(u)有原函数，且U(X)具有连续导数，则f (x) '(x)有原函数f (x) '(x)dx f(u)du2第二类换元积分法定理：设f(x)连续，x(t)具有连续导数，且'(t) 0，则f(x)dx

20、f (t) '(t)dt，其中 t 1(x)三、分部积分法IIuv dx uv u vdx四、有理函数的积分1简单有理函数的积分 将真分式P(x)分解为部分分式之和Q(x)对于Q(x) (x a)k形式：应分解成k个部分分式 A ,A-L匚x a (x a) (x a)对 于 Q(x) (x2 px q)1应分解成I个部分分C|X D|(x2 px q)1Cx DC2 x D2 -2, 2 Lx px q (x px q) 求4种积分1dx , x a(xCx D , rdx ,x px qCx D ,2dx(x px q)其中，对于Cx D(x2 px q)1dx，可令t4q P24

21、Cx D1则2Cx D ldx 2 1 2小，再利用递推法(x px q) (t a )2三角函数有理式的积分万能变换：吨u，sin x cosx2u1 u21 u2，dx2 du1 u21 u2其他方法:形式换元f (sin x,cos x)f ( sin x,cos x)t cosxf (sin x,cos x)f (sin x, cosx)t sin xf (sin x,cosx) f ( sinx, cosx)t tan x二、tann xdx 与 cotn xdx n N 对于 tann xdx令 t tan x对于 cotn xdx 令 t cotx三、sec? xdx与 csc

22、xdx n为偶数对于 se(5 xdx 令 t tan x对于 csc xdx 令 t cotx四、 sinm xcosn xdx当n,m至少有一个为 奇数时，可利用sin2 x cos2 x 1将其转化当n,m均为偶数时，利用2倍角转化d sin x bi cosx ,- dxa sinx bcosx令 申谀的 4 cosx)A-a4in4x2 4cosx) B(acosx bsinx)五、解出A,B分子分母原函数为Ax Bl4c4S?l分母积分表kdx kx Cxndx(n1)1dx In x CxaxdxCIn asin xdxcosxcosxdxsin xtan xdx In cosx

23、cot xdxIn sinsecxdxIn secxtanxcscxdx In cscx cotx2sec xtanxcsc xdxcotxsecxtanxdx secx Ccscx cot xdxcotxr1dx arcsin x、1 x212dx arcta nx C1 x2x21x小11xarcta nC22 dxIn aax a2aI xaCdx a1xdxarcs in 、a2 x2a1 dx2 2x aIn第五章、定积分、定积分的定义定义：设函数f (x)在a,b上有界，在a,b内任意插入n-1个分点ax0x-iLXn 1xnb把a,b分成n个小区间，xXjHi 1,2,L , n

24、)记x x xi 1，在第i个区间上任n取一点i，用f ( J乘上区间长度 x，即f ( i) Xj，并作和 f ( J xi .i 10时，bf(x)dx a记 max为，x2,L , xn ，无论怎么分割，无论怎么取i，若nf ( i) Xi趋于同一极限，则称此极限为f(x)在a,b上的定积分记作i 1bna f (x)dx 1叫 f ( J Xi0 i 1可积定理: 函数f (x)在a,b上连续 函数f (x)在a,b上有界，且仅有有限个第一类间断点 函数f(x)在a,b上单调有界二、定积分的性质b a kf (x)dxbk a f(x)dxb af(x) g(x)dxba f(x)dx

25、ba g(x)dx区间可加性bf (x)dx acf(x)dx abf(x)dx cb Cdx (baba)C单调性 若a,b上f (x) g(x)则bf (x)dx aba g(x)dx f (x)dxa:f(x)dx估值性质：设M , m分别为f(x)在a,b上的最大值与最小值，则m(bba) f(x)dx M (b a)a定积分中值定理：若f (x)在a, b上连续，则在区间a,b上至少存在一点，s.tbf(x)dx f( )(b a1 bf (x)在a, b上的平均值为f (x)dxb a aa)a若f (x)为奇函数， f(x)dx 0 ;若为偶函数af(x)dxaa0 f(x)dx

26、(11) ； f (sinx)dx°2 f (cosx)dx 。xf (sin x)dxf (sin x)dxTT aTf (x)为周期函数，a f (x)dx 0 f (x)dx鼻 f (x)dx2nTT0 f (x)dx n 0 f (x)dx三、微积分学基本定理1.变上限函数x(x) a f (t)dtx a,b定理：若f(x)在a,b上连续，则变上限函数可导，'(x)f(x)2原函数存在定理若f(x)在a,b上连续，则函数(x)是f(x)在a,b上的一个原函数3.Newton-Leibniz 公式(微积分基本定理)f (x)在a,b上连续，F(x)是f (x)在a,b上一个原函数b贝 yf(x)dx F(b) F(a)a若不满足连续条件，可