微积分求极限的方法(2

1、专题一求极限的方法【考点】求极限1、近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为 2-3题12-18分左右，而用极限的 概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式 子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0,无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。2、 极限收敛的几个准则：归结准则(联系数列和函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、 单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在)3、要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如

2、因式分解，分子有理 化，变量代换等等。.sin x14、 两个重要极限lim1 lim(1)x lim(1 x)x e，注意变形，如将第二个式x 0 xxxx 01子x叫(1 x) e中的x变成某趋向于0的函数f(x)以构造“ 1 ”的形式的典型求极限题目。5、一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：(1) 利用归结原则将数列极限转化为函数极限(2) 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解1lim ex 1题，如x 1因左右极限不相等而在这点极限不存在。(当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发)(3) 遇到无限项和式求极限时想三

3、种方法： 看是否能直接求出这个和式 (如等比数列求和)再求极限 夹逼定理 用定积分的概念求解。(4) 如果f(x)/g(x)当Xix0时的极限存在，而当 Xix0时g(x)0，则当xx0时f(x)也 宀0(5) 一个重要的不等式：sinx x ( x 0)*其中方法考到的可能性较大。6、有关求极限时能不能直接代入数据的问题。7、闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理)8、此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算【例1】求极限lim(x 1)(xm1xm21) = m1) nJim( X2

4、1, x2 x)x 1 (x 1)( xn 1主：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。【例2】求极限lim （Jx21x.x2 x)注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法一一有理化和采取倒变量的方法。2、一个最基本的多项式极限limxnn 1axa?xmm 1b|Xb2x色（系数均不为0）：bn 若n>m，则极限为正无穷； 若*m，则极限为0； 若n=m，则极限为a1。（本质为比较次数）b11要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的次来2计算，如 x21的次数为1。方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限例 3】设

5、 U112，un 1-'12 un(n 1,2,.),证明 lim 叫存在并求之甲n方法三：利用夹逼定理一一适用于无限项求极限时可放缩的情况【例4】求极限lim 1 1 n 2 n'3. n n1 nn n=n n n解因 1=1 n 1 1 n2 n3. n nn n而 lim仁lim 折=1nn故由夹逼定理lim 1 1 n 2 n'3 .存n n=1方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则一一未定式极限（化加减为乘除！）【例5】nx J e e 求极限叽tanC原式収沁）tan xex (tanx x) limx 0tan x【例6】求极限limx1x2(a

6、x1ax1)1lim x2(axx1ax 1)=limxx2ax 1 (alim x2x11 (a1)=lim x2 1xIn ax(x 1)In a【例7】求极限limx 0、1 + tanx x 1 sin xsinx x2 (3(1 x2)4 1)原式=xm0sin x x21)( 1+tanx 1 sin x)tanx sinx=limX 0.24 2 osinx x x 23limx 0xtan x(1 cosx)sin x=x叫1 4x23161 cosxcos2xcos3x 【例8】求极限limx 01 cosx解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得1 cosx cos2x co

7、s3x lim=x 01 cosxlimsinxcos2xcos3x limx 0x4cos x sin 2x cos3xxsin xcos2xcos3x limx 0sin xsin xcos2xcos3x limx 02x2cos xs in 2xcos3x limx 0lim9cosxcos2xsin3x -x 0xsin xcos2xcos3x limx 0si nx2cos xs in 2xcos3x limx 0x4cos xs in 2xcos3x limx 02x【例9】求极限lim logx(xa xb)x解：由换底公式，limxa b ln(x x )ln xlimxaxb

8、xbbx=limx3x3cosxcos2xs in3x limx 0sin x3cosxcos2xs in3x limx 0x9cosxcos2xs in3x limx 0a | bax bxa bx x3x=1+4+9=14方法六:幕指函数求极限一一取对数再取指数【例10】limn1nsin 一nn2(1limn 1 nsin nn2=limx 1 xsin xx2limt 01sint Q【例11】limx +limx +limt 0limet 0sintsint t 0t301ln xarcta n x2(00)ln xsint t 1sint t t 孑limet 0cost 13t2

9、arcta nx2=elim:+In arcta nx2()In xlimx(一 arctanx2limx-arctanx2lime1 x21 x2【例12】求极限ximZVarc cotxex 1?注意x是趋向正无穷, 向于正无穷。但是指数此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。故是一个“0 ”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。对于之后 arccotx的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做, 这里给出一个转化为熟悉的， 间的转换有很深的熟悉度

10、。可等加量代换的式子的方法,方法较灵活,需要对三角函数之解原式=limxarccot x ln -xelimx=earccot xl nex 1limx1arctaA Inxex 1ln ex 1 ln xlimx=elimx=exeex 1=e?关于第三个等号左右的变化：令y arc cotx，贝Ucot y，故 tantan y1y arctan，综上， arc cot xxarctanx方法七：运用泰勒定理求极限 适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。【例13】求极限lim0x 0x22 2 1 x2x2(cosx ex )(cosx ex )解1+xx2x4o(x4),x 0 ,cosx

11、x22!o(x3), x 0ex2x2 0(x2),0代入原式可得,XmoH X4X方法八：通过定积分的概念来求极限【例14】求limn(&解由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即即原式=limnn2122nn2n 4 n 9n2n2lim (n11111lim2 2nn1, 211 -nnn11lim2ni 1in1n此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数112 . 2,3 n1 -1 -nnf (x)在0,1上的定积分，故1 xnn2 4nn2 9_)=2 2 n n1 101 x2dx=4【例15】求极限nlim(n!)n二 lim

12、n1n(n 1)(n 2).2 疗n1ilim lnn n i 1 nelim l(n!)n= limnn1n(n 1)(n 2).2 疔n1n(n 1)( n 2).2 1 n limnnlim (23n 11nnnnnn1ni1ln xdx0limnni 1ln nee.1 . z 1 2 3 lim In (-n 1 n、)ennn n nn n1(xlnx x)|o1eelimnk2 2 sin k, ln n【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。故我们需要找到定积分概念中和式极限的“-”和 “ f( i) ”。 n1&qu

13、ot;”我们可以类似【例 5】，自己把这一项构造出来，而f（ J这一项不同于我们以往做n过的题目中f（ i）经常取小区间的左端点 丄或右端点 丄，而是取了中间一个点，但是无nn论如何，由于“取点的任意性”，只要能表示成f（! 1）, f（-）, f（ i）中的一种即可看作为n n到1上f （x）的定积分。1 n k2sin2 k .lim 2In1nn k 1n1112xln xdxxdx002解：原式=2 2k sink1y In yHy2入11 1入u入0n故原式=11xln xdx042 1x In x 0 o (xln x x)dx【一些核心问题&问的很多的题目】1、求极限的时候到底什么时候可以直接代进去?V1 xsin x cosx【例子1】”叫）2xsin 21 cosxcos2xcos3x 【例子2】limx 01 cosx【例子3】