抛物线的性质归纳与证明

1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明过抛物线y2= 2px (p>0)焦点F的弦两端点为 A(Xi, yj, B(X2,y2)倾斜角为，中点为C(xo,yo),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A'、B'、C'.1.求证焦半径|AF| X1 I厂詈焦半径|BF| X2P1 cos弦长| AB | = X1 + X2 + p= 2P ;特别地，当sinX1 =X2( =90 )时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p :厶AOB的面积 Sa2pOAB =.2si n

2、证明：根据抛物线的定义，| AF | = | AD | = X1+ 2, | BF | = | BC | = X2 + p,I RF| Pp+1 + cos2psin2同理，1 BF匸吋=二pr AB 1T AF 1 +1 BF 1 = rs111 pSaoab= Saoaf+ Saobf= OF 11 yi 丨 + OF 11 yi 丨= (| yi 1 + 丨 yi |)yiy2 = - p2,则yi、y2异号,因此，Iyi| + |yi| = | yi -y2|P'Sa oab = ；| yi y24(yi + y2)2 4yiy2 =p22sinii +| AF | BF |2

3、2.求证：xxs p :yy24当AB丄x轴时，有AF BFp,成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：yk X卫.代入抛物线方程22k2 x号2px化简得222.2p |2八k x p k 2 x k 04方程（1）之二1 根为 Xi, X2，二 x111111AFBFAAiBBiXix4X2P1XiPPpXiX22_P_22X1X224XiX2pXiX2p2p4Xi2p4x1x2p3.求证： AC'B A'FB' Rt Z先证明：ZAMB = Rt Z证法一】延长AM交BC的延长线于 E,如图3,则 ADM 进 ECM,I AM | = | EM |, |

4、 EC| = | AD |I BE | = | BC | + | CE |= | BC | + | AD |=| BF | + | AF | = | AB | ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，BM 丄AE,即 ZAMB = Rt Z证法二】取AB的中点N ,连结MN ,贝U111| MN | = _(| AD | + | BC |) = _(| AF | + | BF |) = _| AB | ,.| MN | = | AN | = | BN |222 ABM为直角三角形，AB为斜边，故ZAMB = Rt Z.ppp yi + y2证法三】由已知得C(y2)、D(-, yi),由此得M(

5、).yi + y2yi2yi y2p(yi y2)p2p(yi )yipp同理kBM=y2Kam=pXi +一2yi =2+ p 2py2 + p2yi+p2 =yi'2 2PPP p，kAM kBM= = 1yi y2 yiy2 p2BM 丄AE,即 ZAMB = Rt 乙证法四】由已知得 C( p, y2)、D( 2, yi),p yi + y22')由此得.TMapyiy2 t2 )，mbp=(X3+ ，y2 yip p (yi y2)(y2 yi)MAMB =(Xi+；)(X2+ 2)+厂2 2pp_(yiy2)=XiX2 + (Xi + X2)+244p2 p yi

6、y2p2 yi + y2 2yiy2=4+忑+厂 42 2 2p2 yiy2 p2 p2=+= += o2 2 2 2Ma 丄 Mb ,故 zamb = Rtz证法五】由下面证得/DFC= 90 ,连结FM,则FM= DM.又 AD = AF,故厶 ADMAFM ,如图 4/ =Z2 ,同理 Z3 =Z41+ /3 = -x180 = 902 zAMB = Rt 乙接着证明：/DFC= Rt Z证法一】如图5,由于| AD | = | AF |, AD /RF,故可设 ZAFD=ZADF=ZDFR=同理，设/BFC=ZBCF=ZCFR= 而 ZAFD+/DFR+/BFC+ZCFR= 180 2

7、( + )= 180，即 + = 90 ,故/DFC= 90p y1 + y证法二】取CD的中点M ,即M ( ,)p y2 y2p由前知 kAM = , kcF=y1p ppy1+ _+ _2 2Ram= kcF, AM /CF,同理,BM /DFzDFC=ZAMB = 90 .证法三】.DF = (p, y1), CF = (p, y2),.-"Df Cf = p2+ y1 y2 = 0"Df 丄"Cf ,故/DFC= 90 .| DR| RF |证法四】由于 | RF |2= p2 = -y"2=| DR | RC |,即 =,且/DRF=/FRC

8、=| RF | RC |90 DRFsFRCzDFR=/RCF,而 ZRCF+ZRFC= 90zDFR+ZRFC= 90zDFC= 90DD1/y1)M<O(RTxCB(x2, y2)图8证法ppyi】畑=y;, AM的直线方程为y-yi=/-办4.C'A、C'B是抛物线的切线与抛物线方程y2= 2px联立消去x得p y2 y222y-yi =(亦一亦)，整理得 y2-2yiy+ y2= 0故直线AM与抛物线y2= 2px相切,可见 = (2yi)2- 4yi = 0 ,同理BM也是抛物线的切线，如图8.证法二】由抛物线方程y2= 2px,两边对x求导，(y2)x= (2

9、px)x，=y1 =p得 2yyx= 2p , g y,故抛物线y2= 2px在点A(xi, yi)处的切线的斜率为k 切=yj yy1又kAM = P,*切=kAM ,即AM是抛物线在点 A处的切线，同理BM也是抛物线 yip yi + y证法三】过点A(xi, yi)的切线方程为yiy = p(x+ Xi),把M(-)代入2 2 2yi + y2 yi + yiy22pxi pp左边=yi = pxi 2 2 2 22pp2右边=p( 2+xi) = + pxi,左边=右边，可见，过点A的切线经过点 M ,即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物 线的切线5. C'A、C'B

10、分别是ZA'AB和/B'BA的平分线.证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,则厶 ADMECM,有 AD /BC, AB =BE,/DAM =ZAEB=ZBAM ,即AM平分/DAB,同理BM平分/CBA证法二】由图9可知只须证明直线 AB的倾斜角 是直线AM的倾斜角 的2倍即可，即p yi + y2=2 .且 M （ 2,厂）y2 yiy2 yi2ptan = kAB=2厂=x2 xiy2y2yi+y22p 2ptan'tan 2yi 一yi + y2=kAM =Pxi + 一2yi y22 L+ p2p2pp(yi y2)P2p(yi)yi2 , yi + p

11、yf+ p2yi2ta ni tan 2yii - (P)2yi2pyi2 2 y2 p2pyi 2p2= tany + yi y2 yi + y2共点，=2 ,即AM平分/DAB,同理BM平分ZCBA.6. AC'、A'F、y轴三线共点，BC'、B'F、y轴三线共点证法一】如图i0,设AM与DF相交于点Gi,由以上证明知| AD |=| AF |，AM平分ZDAF，故AGi也是DF边上的中线，.Gi是DF的中点.设AD与y轴交于点Di, DF与y轴相交于点 G,易知，| DDi |=| OF |, DDi /OF,故厶 DDiG2 FOG2'| DG2

12、 | = | FGb |,则 G2也是 DF 的中点.Gi与G2重合（设为点G）,则AM、DF、y轴三线同理BM、CF、y轴也三线共点证法二】AM的直线方程为py2y -yi=严 2P），°koA= koc,则 A、0、C 三点共线,令x= 0得AM与y轴交于点 G（0, J）,yipyi又DF的直线方程为y p（x-?令x= 0得DF与y轴交于点G（o，?）yi'AM、DF与y轴的相交同一点 G（0，）,则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形7. A、0、B'三点共线,B、0、A '三点共线证法

13、一】如图11, koA=-xi2pyi2py22y22py22py22pkoc=2 = _=ppp2 yiy2 yi2同理D、0、B三点也共线证法二】设AC与x轴交于点 0 ,tAD /RF/BC|R0 | C0 | BF | 0 F|CB|AD | = | CA | = | AB |， | AF | = | AB又 | AD |=| AF |, | BC | = | BF |,I R0 |I AF |0F | AF |0、B三点也| RO | = | OF |,则0与0重合，即C、0、A三点共线,同理D、I OF | AF |证法三】设AC与x轴交于点0 , RFBC，両=芮,| CB |

14、|-AF | | BF | |AF |1p 0 F | =见证】|AB| AF | + | BF |112I AF 广| BF |0与0重合，则即C、0、A三点共线,同理D、0、B三点也共线证法四= (-2，y2), "0a = (xi, yi),2 2ppyipyiyiy2yipyip yi yi xi y2= yiy2=-=+= 0222p22p22p0C /OA，且都以0为端点 A、0、C三点共线,同理B、0、D三点共线.过A、 B两点B、0、M 三推广】过定点P(m , 0)的直线与抛物线y2= 2px (p > 0)相交于点A、B, 分别作直线I: x= m的垂线，垂

15、足分别为M、N,则A、0、N三点共线， 点也共线，如下图：m n8. 若| AF |: | BF | = m : n ,点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则cos =m + n过B作BEX AD于证明】如图14 ,过A、B分别作准线I的垂线，垂足分别为 D, C,E,设 | AF | = mt, | AF | = nt,则| AD | = | AF |, | BC | = | BF |, | AE | = | AD | | BC | = (m n)t| AE |(m n)t m n在 Rt ABE 中，cos ZBAE=-| AB |(m + n)t m + nm n/cos = cos ZBAE=.m + n例6】设经过抛物线y2 = 2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B,且| AF |: | BF | = 3 : 1,则直线AB的倾斜角的大小为.答案】60或120 .y轴相切；以AB为直径的圆与准线9. 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与相切;A ''为直径的圆与焦点弦 AB相切.说明】如图15,设E是AF的中点，P 一+ Xi2则E的坐标为（=yi，2），P一 + Xi2则点E到y轴的距离为d =1=2I AFI故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径