05第五讲微分中值定理与应用

1、第五讲：微分中值定理与应用一、单项选择题(每小题4分，共24分)1、已知 f ( x)= (x- 3)x- 4X(，则f '(X > 有( B)A 一个实根B 两个实根C三个实根D 无实根解:( 1) ； f(x)在3,4连续在(3,4)可导且 f(3) =f (4) =0A f (x)在3,4满足罗尔定理条件故有 f '( 10( 3 ： ：4)(2) 同理f (x)在4,5满足罗尔定理有f'( 2)=0,4 ： 2 5综上所述，f'(x) =0在(3,5至少有两个实根(3) f'(x) =0是一元二次方程，至多有两个根，故选E2 下列函数在所给

2、区间满足罗尔定理条件的是(D)Af(x)=x2,x 0,3Bf(x) =2,X -1,1xC f(x) =|x|,xf1,1D f (x) =X、x,X 0,3解：f(x)刁一厂二在0,3连续f'(x) 3-xf(x)在0,3可导且 f(0) =0, f(3) =0满足罗尔定理条件.故选D33. 设曲线y =3x-x ,则其拐点坐标为(C)A 0B ( 0, 1)C (0, 0)D 1解: y” =3x3, y”=-6x .令 y'£ .得 x=0 .当x：0,有y'' 0 .当 x 0时，y“：0 .故(0, 0)为曲线的拐点 C4. 若 f(X)=

3、 f (-X),且在(0, +)内f'(x) 0,f“(x) 0则在必有(C)Af'(x)：0,f”(x)：0Bf'(x)0,f''(x)0Cf'(x)：0,f''(x)0Df'(x)0,f”(x)：0解：f (x)为偶函数且在(0,：)V f(x)单调递增，曲线为凹弧(：,0), f(x) ：0, f '' 0 选CIf5. 设 f (x)二 aln x bx33x在x=1, x=2取得极值。则a,b为.(B)11A a ,b=2B a=2,b =2211C a ,b=2D a - - 2, b =22解

4、：f'(x)=a 2bx-3x： f'(1)=0x.a = 3 -2b 7 f '(2) =0,a =6 -8b1一6b-3=0得b代入21得 a =2答 a =2,b 二2答案选B6. 下列命题中正确的是 (B)A x0为极值点，则必有 f '(怡)=0B若f (x)在点x0处可导，且x0为f (x)的极值点，则必有f'(x0) =0解：原式讪f(x0姑)-仏)芒n fi= 2f(x)=2 0 = 02hIn x& f(x)的单调增加区间为(0,e)x1 _ l n x解: (1)定义域(0, v) (2) f (X)=亍x当0<x<

5、;e时。f'(x)0故f (x)的单调增区间为(0, e)9. f(x)=xh3的极小值是解：(1) f (x) = 1 -X1x3 -11x3C若f (x)在f a, b )有极大值也有极小值 则极大值必大于极小值。x(30)0(0,1)1(1,咼)f'(x)+f(x)单调增单调 减极小单调增(2 )令 f' x = 0，驻点 x=1 .x=0 是 f x不可导点31D若f '(xj = 0则点x(3必有f(X)的极值点。(3)极小值 f (1) = 1 -22解：可导函数的极值点一定是驻点，故有f (x) =0 选 B二、填空题(每小题 4分，共24分)7.

6、设f(x)可导，且f(x)是f (x)的极小值。-0210. f (x) =1 -(x -2)3在0 , 3的最大值为丄2 丄解：(1) f '(x)(x-2) 3,x =2 是 f(x)的3不可导点。2(2) T f (2) = 1, f (0) = V 2', f (3) = 0(3) 最大值为f (2) =111 .曲线y x 的水平渐进线为 x(2x +1)解:x2 1 1-14 4 .A IYlim 2hmx ； ： 2x x J 2 _ 1x1直线y是曲线的一条水平渐进线212.函数f(x) =xlnx在1 , 2满足拉格朗日中值定理条件的.=4e解：(1) f (

7、2) f(1)= f'( )(2 -1) 2ln 2 -0 =(1 In(2) In = 2ln 2-1=1 n 4 -1n e.41,2e三、计算题(每小题 8分，共64分)13.已知f (x px2 qx r在区间a,b满足拉格朗日中值定理条件，求'解：(1)f(b) -f (a) =(2p q)(b -a)'1x3 1 人，f (x) = 2 2x =21-令f (x) = 0x3驻点，X = -1, f x的不可导点X = 0(2)x(宀0)-1(-1,0)0(0,母)f'(x)+-+f(x)极大极小(3)极大值f -1 =1，极小值f 0 = 0 ,f

8、 x在-1,0单调减f x在-：，-1 , 0单调增2 215求由方程x y1(y 0)所确定y y(x)的极值。2 2解: (1 )求驻点：2xy x 2yyy' = 02令 y' 0,2xy 0,( y 0)宀驻点 x = 0(2)判别极值点2 2 22y 2x2yy' 4xyy' 2x (y'yy'') y'' = 0当x = 0时y=1代入上式2+0+0+0+ y'' 0 =0y''(°) =2 ： 0.x = 0 为极大值点,16.求上的最大值，最小值。p(b2-a2)

9、q(b-a) =(2p q)(b-a)p(a b) q =2p q， 2 p 二 p(a b)a b (a,b)2214求函数f(x) =2x 3x'的单调区间与极值。解: (1)(3)极大值y(0) =1f(x) =32x2(x-6)在区间_2 , 41 _ 2解：(1) f '(x1(2x2(6) 3(6x2-24x)令f' x =0，x =0为不可导点(2) f(-2)=3 石 - -4, f(0)=0, f(4) =-4(3) 比较上述函数的大小最小值为-4，最大值为05二17 求曲线yx2 (x -1)3的凹凸区间与9拐点。解：(1)定义域(亠，+8)2(2)

10、5(X 一1)393(3) lim(1ex)，=2 二=; x=0为曲线的一条垂直渐近线sin x19判别函数 f(x)在(0, )的单调x2性。10 10解: (1) f'(x) = xcosxsinxx令 y''=0,y''二一 (3 x -11)=09( x -1)3得x =0 ； y''不存在的点为x =1(2)令 g(x) =xcosx-sinx,g'(x)=_xsinx：o； g(x)L X (0, ?)且 g(0)=0；g(x) ： g(0) = 0 > g(x) ： 0x(-,0)0(0, 1)1(1, +o

11、o)y''+0一不存在+y凹拐占八、凸拐占八、凹(3)列表答：拐点(0, 1)及(1，-);(T920设 f (xp 单调的区间。TT在(0/ )单调减。2(3) ； f '(x) 凶:0. f(x) =Sinx x(1C)为凹区间，(0，1)为凸区间。-x2,x 0xarcta nx,x_0确定f (x)解：( 1 )10.0xf '(0)=血逊叫0.xT x 0118.求曲线y =(1 ex)x的水平渐近线与垂直 渐近线。解：(1) 7 lim.(1 ex)x 10y=1 是曲线的一条水平渐近线。.1 仟0) lim(2) lim.(1 ex)xex xxx

12、lim elim ex:：1 ex =ex 二ex =ey=e是曲线的另一条水平渐近线故有f '(0) = 0为驻点(2) 当 x：0 时，f'(x) = -2x 0 > f(x)(x 0)xx 0 时，f'(x) = arctanx201 +x> f (x) (x 0)(3) 除 x = 0 夕卜，f'(x) 0 . f (x)在( ：)单调增加。四、综合题(每小题10分，共2 0分)21已知函数的图形上有一拐点(2, 4),在拐 点处曲线的切线斜率为-3，而且该函数满足y =6x a，求此函数解(1)已知；y(2)二3,y"(2) =0

13、,y(2) =4(2)求常数 a:；y =6x - a,由 y (2) =0得 12 a = 0 , a = -12即 y" =6x -12IIy+y广极大拐占八、极大值f(1) = e，拐点(2,2e)(4 )渐近线与函数变化趋势x ；.：1* lim x lim x=0. y=0 是曲线的 x r： e x r： e一条水平渐进线，lim xe» =x_>oC(5 )描点作图五、证明题(每小题 9分，共18分)(3) 求 y'y'6x -12' 2y =3x12x g，由 y'(2) =3,12-24 y =-3知g =9即 y =

14、3x2 -12x 9(4) 求函数 y:：y' =3x2 -12x 9y =x3 -6x 9x c2由 y(2) =4得 q =2答：所求函数y= x6x2 9x 222利用导数描绘y = xe»的图形解：(1)定义域(：)，非奇非偶函数23 设 x_0, f(x)连续，f(0) =0,(2)求驻点和y" =0的点当x 0时,f '(x)存在且f '(x)单调增加,x(T)1(1,2)2(2,兄)1y+(3)列表x2y'=1-xe"，令 y'=0，驻点 x = 1y“= x2e»，令 y''=0，得

15、 x=2f ( X )证明当x 0时单调增加xf( x)证明：1)令 F(x)二丄-(x 0)x F'(x) = xf'(x) f(x)f (0) =0 xf '(x) f(x) - f (0)微分中值定理xf '(x)xf ')-、2(0 :：: x)x f'(x)-f '()x当x . 0时，f'(x)单调增加.f'( ) ：f'(x),即f'(x)f'( )0故有F'(x) 0.即丄凶在(0,：)单调增加x24设f (x)在a,b连续，在(a,b)可导，证 明 n nf(b) - f(a) =(bn an)f'()， (a,b)证明：1)构造辅助函数：F(x) =xnf(b)-f(a)-(bn -an)f(x)(2) ：F(x)在a,b连续，在(a,b)可导，且F (a)二 an f (b) -an f (a) -bn f (a) an f (a)F(b) =bnf(b) -bnf(a) -bnf(b) anf(b)F(a)二 F(b) =anf(b) -bnf(a).由罗尔定理知F(J=0即卩n n4f(b)-f(a) =(bn-an)f'()(a,b)*选做题证明方程：