06第六节定积分的几何应用

1、第六节定积分的几何应用分布图示面积表为定积分的步骤定积分的微元法直角坐标情形例1例2例3例4参数方程情形例5极坐标情形例6例7例8圆锥圆柱旋转体旋转体的体积例9例0例1例2例3平行截面面积为已知的立体的体积例14例5内容小结课堂练习习题5-6内容要点：一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表 示为定积分的形式可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U (总量)表示为定积分的方法一一 微元法，这个方法的主要步骤如下：由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间a,b，任取a,b的一个区间微元x,x dx，求出相应

2、于这个区间微元上部分量U的近似值，即求出所求总量 U的微元dU = f (x)dx ； 由微元写出积分 根据dU二f(x)dx写出表示总量U的定积分bbU 二 dU 二 f (x)dxaa微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用 应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1)所求总量u关于区间a,b应具有可加性，即如果把区间a,b分成许多部分区间，则U相 应地分成许多部分量，而U等于所有部分量U之和这一要求是由定积分概念本身所决定的；使用微元法的关键是正确给出部分量 U的近似表达式f (x)dx，即使得f(x)dx

3、=dU 一U 在通常情况下，要检验 U - f (x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易 事，因此，在实际应用要注意dU二f(x)dx的合理性.:、平面图形的面积(1)直角坐标系下平面图形的面积(2)极坐标系下平面图形的面积1 2曲边扇形的面积微元 dA二丄r( R2 d二2所求曲边扇形的面积 A二- t)2d戈:-2三、 旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体这 条直线称为旋转轴旋转体的体积微元 dV -二f (x)2 dx,b2所求旋转体的体积 V = f (x) dx.a四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的

4、各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积微元dV二A(x)dx,b所求立体的体积 VA(x)dx.a例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例1( E01)求由y2二x和y =x2所围成的图形的面积.解面积微元：dA = (.、x -x2)dxil_2 2所求面积：A 二 C、x - x2)dx 二 2x2 o3例2( E02)求由抛物线y V =x与直线y =1 x所围成的面积解如图，并由方程组y =1 + xy = x2 -12解得它们的交点为(-1,0),(2,3).选x为积分变量，则x的变化范围是-1,2,任取其上的一个区间微元 x,x dx,则可得到相应面积微元dA二(1

5、 x) - (x2 -1) dx,229从而所求面积 A = i (1 x) -(x -1)dx.y2例3( E03)求由y2 =2x和y = x - 4所围成的图形的面积解面积微元:dA = y + 4 dy,4所求面积：AdAydy“8.2例4计算由曲线y =x3-6x和y =x2所围成的图形的面积解面积微元：(1)xE2,0, dA =(x6x-x2)dx;23 x 0,3, dA2 =(x -x 6x)dx.23232532)dx o (x2- x3 6x)dx 二所求面积：030,A 二严 dA =.,x-6x_x2 2例5求椭圆 笃 每=1所围成的面积a b解椭圆面积：A =4A，

6、面积微元：dA = ydx,a02A =4 ydx =4 二bsintd(acost) = 4ab 02 sin tdt02例6( E04)求双纽线r2二a2cos2v所围平面图形的面积.1 2解面积微元：dA二 A2 cos2rdH2nn .所求面积：人呵认二讣严海日2.例7 （E05）求心形线r = a（1 co）所围平面图形的面积（a - 0）.1解面积微元：dA二丄a2（1 cosr）2dH2所求面积:JTA = 2 dA02=a、0：（1 2cosc宀小a2号沖扫0 02222 2例8求出-1和-1的图形的公共部分的面积（其中 a b 0）.a2 b2b2 a2解如图（见系统演示），

7、由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段OA在直线y = x上.令x = r cos二，y r sin二,代入方程2 2a2b2得其极坐标方程为r2 =22a b 22 .a cos 日 +b sin 日于是所求面积可表示为S =8丄2 4ji24r (扪dv - 4卑2&2JIarctan Ptan 日 i= 4a2b2 -abV 4 b t b二 4abacrta n.10a例9( E06)连接坐标原点 0及点P(h,r)的直线、直线x二h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r,高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积解体积微元：I 2dV = ;(x)2dx,h所求

8、体积：l(=x)2dX=g0 hh2 |L3 0二 hr22例10( E07)计算由椭圆笃a转而成的立体取x为自变量，其变化区间为-a, a,任取其上一区间微元x, x dx,相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为b.a2a-x2,高为dx的扁圆柱体的体积，即体积微元2-爲=1围成的平面图形绕 x轴旋转而成的旋转椭球体的b2体积解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆y二b a2 _x2及x轴所围成的图形绕 x轴旋ab222 .dV 2(a x )dx,a故所求旋转椭球体的体积为a;V = =LaE(a2a-x2)dx =2二a/a2-x2 )dx =2二耸aa 4 =ab .3f3特别

9、地，当a =b =R时，可得半径为 R的球体的体积v =二R3.3例11求星行线2/3xy2/3 =a2/3(a 0)绕x轴旋构成旋转体的体积解体积微元:2a33-x3 dx,所求体积: 22飞a1f JIa3-x3 IJ _a1JV 二dx323na .105例12计算由连续曲线x = (y)、直线y二c、y二d及y轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体的体积解体积微元：dV 二壮(y)2dy.所求体积：d 2V 二门：(y) dy.c例13( E08)求由曲线y=x2,y=2-x2所围成的图形分别绕 x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积解画出草图，并由方程组2 y = x- 2y =2

10、x解得交点为(_1,1)及(1,1).于是所求绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx =2兀 f (2 x2)2 x4dx=8x所求绕y轴旋转而成的旋转体的体积1 2J 一 2)2dy 亠.I (. 2 -y )2dy =二2灯十啥-例14(E09)平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 计算这平面截圆柱体所得立体的体积解截面面积：:-(图 5-6-18)，12 2A(x) (R -x )tan：,2体积微元:dV =A(x)dx, 所求体积：R 2223V =12二(R -x )tan： dx R tan ： R3例15求以半径为R的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为体积解取底圆所在的平面为 xOy平面，圆心0为原点 拼使x轴与正劈锥的顶平行底圆的方h的正劈锥体的程为 x2y2 = R2 过x轴上的点x(-RxR)作垂直于x轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形这截面的面积为A(x) = h y = h R2 -x2,于是所求正劈锥体的体积为RR I222 乎22nR hV = A(x)dx 二h_x dx =2R h