08-09量子力学试题B答案

1、试题编号：重庆邮电大学2008-2009学年第二学期量子力学试卷（期末）（B卷）（闭卷）题号-一-二二2.12.22.32.4总分得分评卷人一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、 A,B两束光，A的波长、a=3 10m，B的波长=4 10m，请问哪束光的能量更高？ A.2、微观粒子的波函数应满足的三个标准条件是单值性，连续性，有限性 .3、一粒子的波函数t（x）=3x2e，请问该粒子是否处在动量的本征态？丄.4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易6对易关系L?2丄z , Lx,L?y岬

2、? , LX,何“思7、已知 X, Px =h,则厶X：Px - 2 .8、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？ 是.9、已知泡利算符分量0 1，“的矩阵表达式10、写出氧原子（原子序数z=8）的电子排布:1s22s22p4.二、解答题（本大题共6小题，共70分）卜 X 0,1、（10分）一粒子在一维势场U （x）二0,0 _ x _ a中运动，求粒子的能级和对应的 :,x a波函数。解: 一位无限深势阱中，定态薛定谔方程2d2-d (x) (U -E)(x)( 1)(2 分),这是没有意义在阱外，X空0, x _a,U(X)=：:，若波函数(x) = 0,由式得 2dx2的。因此，在阱外

3、必有t(x) =0。( 2分)224E在阱内，0 ：x：a,U(x) =0,令 k22 ,由(1)式得nd 一k2-=0.(2)dx2上式的通解是(x)二 Asin kx - Bcoskx ,(3)A, B是两个待定常数.因为匸(x)在边界处连续,有B (0) =0,且=Asin kx代入因为A - 0 ,否则只能有零解，故k = n , n二1,2/ .将粒子波函数(x)a归一化条件.(xr (x)dx二1,积分得A二-,所以，归一化波函数为an(x)二nx粒子能量为E二n2 后.(5)( sin.(4)( 5 分)a 分)试求平均值x和动量的几率分布函数。(利用积分公式:：鼻-讼二-oO解

4、:平均值x为a: .2 2* xdx=0x=. *(x)x (x)dx =-12 dx(4分)2、(10分)粒子状态处于一维谐振子的基态 (x,t)=22_ 1_- 2無：=4 ：2x2t 丄 pxe 22 e “ dx12/ IP 、-2：(X 厲)e动量几率分布函数为2 p1_2 八一Ip )2dxp2(4分)国(p) = c(p)a 卉 Ji?(2分)因为动量的本征函数为p(x) n1 e讣，所以p 隔C(p) = frp(x)- (x)dx! a.0厶悄 4Pxe 22 e ” dxp2 2dx3、(20分)有二个物理量，它们的矩阵表示为:V20 1 0、5 0 0、1 0 1L丄 ，

5、Lz运0 0 0卫1 0丿1 0 T(1)如果测量Lz，得到的可能的值是什么?解: Lz的久期方程为=0)=0= 1=0,求Lz的本征函数。“00)a、0 0 0a2=九a21 0-1 v芒3解: LZ的本征方程（1 分）aia2设为?z的本征函数。2当=0时,.1h 0二 020-1ai ) fO ) 01丿a2ai0=ai=a3 = 0由归一化条件1 =(0,a2,0)a22a2 ，所以 a2 =1(2 分)当2二力一时，有由归一化条件仁（a；,0,0）a J0I。丿=ai，所以a1当3（2 分）1 =（0,0, a3）=a32，所以a3 =100、000a2一逅a2101丿丿&3丿池时，

6、有05 _a2.一a3 J=a由归一化条件（2 分）求Lx的本征值。解:Lx的久期方程为=0 = 1=0,23 ?x的本征值为0,（3分）求Lx的本征函数。解: ?x的本征方程010、h11001a2=ka210丿f30丿其中设？x的本征函数屮=a2 .（ 1 分）a3 = _ai,a2 = 0当 1 =0时，有ft0 i 0、3i Jrii 0 ia2042e i 0丿9:ai即 0 = 0Lai由归一化条件，zai2取ai= (ai ,0, ai) 0= 2aiLai丿(2 分)(i0i飞丿 当 2二时，有1（3i a3）a2屮舟=-J2.a由归一化条件a2 na2a31 =（a；, J2

7、a；,a；） Jia、。（2 分）a2-2a3a、2.取a、12丿0 1 0 %a1 a1 1 0 1a2=_ha20 0丿0丿0当3二-介时，有h21jaiV21心、*a3）一 a?_a3a2 =2a1a? - - 2a3a3 二 a12 1= 4a1 .取 a1 = _a1由归一化条件 1 =（a； ,f2a；,a；） - J2apa14、（10作用，微扰矩阵元为H，a和b都是实数，用微扰公式求能量 巳乓至分）设一体系未受微扰作用时有三个能级：e10,e20，现在受到微扰H?/的二级修正值。解：因为H/，由微扰论公式En=En Hnv 吧吧（0） m En - Em（2 分）可得El =Ei Hiim七a.皿1 0 0E1 - E2E2 =e0H22m七 b H2|2|Hm1 |2Eio - Em=E0 a bE1 一 E2 町 E； a、E2 - EmmTm=2IHmlfH （4 分）E02二 E bE2 E1|Hm2 |2吐（4分）5、（10分）证明轨道角动量满足L2 =l2 + L4L_-方Lz.（其中L=Lx土iLy）证明:L；LL_-扎Z -L； （Lx iL+ L 2-iLxLyiLyLxLyLx2-i（LxLy -LyLx） LLx2-i.i 札zLyMjLzL 2tlzLyLzL 2+ L 2 uy=L2 y）（Lx-iLy）Lz2 LzJ -也当体系处于波函