含参不等式的解法

1、第1页(共5页)不等式( (3)-含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方 面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的 解的大小的影响。 我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。(一)几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1:解关于的x不等式(m - 1)x?-4x 1辽0(m：= R)分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当

2、m+1 = 1时，还需对m+10及m+10来分类 讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当m0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当一1m0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，=4(3m)=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x?-4x=0的根。当m3时，=4(3m)0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为.。11解：当m=1时,原不等式的解集为x|x_;I4j当m-1时,(m *1)x2-4x，1二0的判别式.：=4(3 m);贝V当mc1时，原不等式的解集为 丿x | x Z23_m或x兰2+丫

3、3_口卜m+1m+1当-1 wm m+1m+1当m=3时，原不等式的解集为$x | X= 1；当m3时，原不等式的解集为.一。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式ax2-2(a 1)x 4 0,(a 0)思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完 成。二、含参数的分式不等式的解法：例2：解关于x的不等式:X T0 x一x -2分析：解此分式不

4、等式先要等价转化为整式不等式，再对ax1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于(ax -1)(2)(x 1)0当a=0时，原不等式等价于(x -2)(x 1)：0解得-1：x：2，此时原不等式得解集为x| -1：x：2；第2页(共5页)1当a0时,原不等式等价于(x_丄)(x_2)(x J) .0,a则：当a =-时，原不等式的解集为Cx|x . -1 且 x=2?;21当a0时，原不等式等价于(x_丄)(x_2)(x 1)：0,a则当a = -1时，原不等式的解集为*|x：2 且 x =-V;当-仁a0时，原不等式的解集为x|x：或-仁：x：2；当a c1时，原不等式

5、的解集为xlxC或丄cx1和a1分为两类，再在a1的情况下，又要按两根 厂2与2的大小关系分为a : 0,a二0 和0 a1三种情况。有很多同学找不到分类a 1的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。三、含参数的绝对值不等式的解法：例3：解关于x的不等式|ax-2|_bx,(a 0,b 0)分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形|f(x)|丄g(x) f (x) g(x)或f(x)亠g(x)，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a、b两个参数间的大小关系分类讨论求解。解：|ax-2|丄bx= ax-2_-bx 或 ax-

6、2_bx= (a b)x2 或(a-b)x_22当0或a一1：当a丄时，原不等式的解集为21、x | -1：x或x 2 a当a b 0时,(a b)x_2 或(a-b)x_2= x -此时原不等式的解集为*x| x兰2 2或x_亠a b a -b第3页(共5页)当a =b -0时，由(a b)x _2得x _ ,而(a - b)x亠2无解，a +b此时原不等式的解集为2a b第4页（共5页）x*2-a +b22f (x) g (x)利用同解变形：|x|：a= -a x a, (a 0);| x| a：= x：a 或 x a,(a 0);| f (x) |g(x)= g(x)乞f(x)乞g(x)

7、; | f(x)|_ g(x)= f (x)乞-g(x)或f(x)一g(x)；（二）解含参数不等式的常用方法一、通过讨论解带参数不等式例1：x2-X - a（a -1） 02例2：关于x的不等式ax - （a-1）x a -1：0对于R恒成立，求a的取值范围。二、已知解集的参数不等式例3：已知集合A=_2ax a 2仝0，若BA，求实数a的取值范围.三、使用变量分离方法解带参数不等式21例4：若不等式x2+ ax+1 _0对于一切（0,）成立，则a的取值范围2例5：设f x =lg门工k,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n2,若f x.n当x ,1 1时有意义，求a的取值范围。例6：已知定

8、义在R上函数f（x）为奇函数，且在0, :上是增函数，对于任意R求实数m范围，使f cos2v - 3 f 4m-2mcos【恒成立。思考：对于（0,3）上的一切实数x,不等式x-2m：2x-1恒成立，求实数m的取值范 围。如何求解？分离参数法适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。四、主参换位法解带参数不等式某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出 奇制胜的效果。一般情况下，如果给出参数的范围，则可以把参数看作主变量，进行研究。例7：

9、若对于任意I：- 1,11,函数fx =x2 a-4x，4-2a的值恒大于0,求x的取值范围。分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路 受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。例&已知-9岂a1,关于x的不等式：ax2-5x，4：0恒成立，求x的范围。当0 :a: b时，(a b)x岂2或(a - b)x _ 2：=x或 xa +b2x 2log2x + p恒成立，求实数x的取值范围。例10:对于（0,3） 上的一切实数x,不等式（x-2m：2x-1恒成立，求实数m的取值范围。分析：一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有 关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。五、数形结合法/ 1 例11：若不等式3x?-Iogaxc0在x壬0, i内恒成立，求实数a的取值范围。 3丿 六、构建