每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和（Eratosthenes双筛

1、每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和（Eratosthenes双筛法）作者：崔坤单位：即墨市瑞达包装辅料厂邮箱：cwkzq摘要：Eratosthenes筛法的最大智慧就是用N1/2内的素数可以得到N内的所有素数，有双记法可以给出任意大于等于6的偶数N都可以表示为2个奇素数之和。关键词：Eratosthenes筛法，奇素数，等差数列，Eratosthenes双筛法证明：偶数N大于等于6：N=2n+43.5.7.9(2n-5).(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+1)(2n-1).(2n-3)(2n-5).9.75.3上面的排列是用2双筛后余下的奇数排列，是N分解为两个奇数和的双记法埃拉

2、托斯特尼筛法，简称埃氏筛或爱氏筛，是一种由希腊数学家埃拉托斯特尼所提出的一种简单检定素数的算法。要得到自然数N以内的全部素数，必须把不大于根号N的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。显然：Eratosthenes筛法的最大智慧就是用N1/2内的素数可以得到N内的所有素数设N1/2内的最大奇素数是Pm在N内：由于1既不是素数也不是合数,故不考虑1+(N-1)的算式。我们只分析从3+(N-3)开始的N=2n+4:分析每个大于等于6的偶数N中的奇数对个数：N=2n+4中共有n个不相同的奇数，共有n个不相同的奇数对。奇数对分类与N相关的有四种：1（奇素数，奇素数），简称：1+1，令有r2(N)个2（奇

3、合数，奇合数），简称：C+C,令有C(N)个3（奇素数，奇合数），简称：1+C,令有M(N)个4（奇合数，奇素数），简称：C+1,令有W(N)个根据其对称性则有：M(N)=W(N)设N=2n+4中共有(N-3)-1个不相同的奇素数，则：r2(N)+C(N)+W(N)+M(N)=n1M(N)= (N-3)-1- r2(N)2M(N)=W(N)3有上述1、2、3式得：r2(N)=C(N)+2(N-3)-2-n其中，r2(N)、C(N)均为自然数，(N-3)、n均为非零自然数。偶数表法数公式：r2(N)=C(N)+2(N-3)-N/2从集合概念上讲:A:【奇素数+奇素数】，B:【奇素数+奇合数】，C

4、:【奇合数+奇素数】，D:【奇合数+奇合数】,这是4个平行的概念，它们没有任何交集。大偶数N的集合中有且仅有这4个子集合，N=A+B+C+D是恒等式。根据埃氏筛法可知经过(m-1)个素数双筛后，素数有且仅有：【奇素数+奇素数】+【奇素数+奇合数】末筛素数Pm只是筛掉了：【奇合数+奇素数】+【奇合数+奇合数】,由于【奇合数+奇素数】的个数=【奇素数+奇合数】的个数，而【奇素数+奇素数】的个数始终不变。我们用数学归纳法给出证明：偶数N大于等于6：N=2n+4【1】 当m=2时，P(2-1)= P(1)=3, P(2)=5根据埃氏筛法可知648内的偶数都可以经过(m-1)=2-1=1个素数,3双筛后

5、，素数有且仅有：【奇素数+奇素数】+【奇素数+奇合数】末筛素数5只筛去了含有5的奇合数，素数3双筛后的【奇素数+奇素数】的个数没有变化。【2】假设m=k时，偶数N大于等于50，根据埃氏筛法可知经过(k-1)个素数双筛后，素数有且仅有：【奇素数+奇素数】+【奇素数+奇合数】末筛素数Pk只是筛掉了含有素因子Pk的奇合数：【奇合数+奇素数】+【奇合数+奇合数】,由于【奇合数+奇素数】的个数=【奇素数+奇合数】的个数，而素数P(k-1)双筛后的【奇素数+奇素数】的个数始终不变。m=k+1时，根据埃氏筛法可知经过(k+1)-1)个素数双筛后，素数有且仅有：【奇素数+奇素数】+【奇素数+奇合数】末筛素数P

6、(k+1)只是筛掉了含有素因子P(k+1)的奇合数：【奇合数+奇素数】+【奇合数+奇合数】,由于【奇合数+奇素数】的个数=【奇素数+奇合数】的个数，而素数Pk双筛后的【奇素数+奇素数】的个数始终不变。【3】综合【1】、【2】，对一切自然数m2，偶数N大于等于6都能表示成为2个奇素数之和。无论偶数N有多大经过双筛后的素数是存在的，剩余素数的个数r2(N)大于含有素因子Pm合数的个数N/4Pm，是向下取整符号。r2(N)N/4Pm推导：单筛法时含有素数因子Pm的合数至少有N/2Pm-1双筛法时含有素数因子Pm的合数至多有N/4Pm，由于是双筛，则r2(N)N/4Pm，由于N>Pm*Pm所以r

7、2(N)N/4PmPm/4示范：50：首先我们运用埃氏筛法：第一步：用 2 双筛：剩余 50/2=25 个奇数1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 4949 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1第二步：用 3双筛：剩余 11 个奇数1 3 7 13 19 25 31 37 43 47 4949 47 43 37 31 25 19 13 7 3 1第三步：用 5 双筛：剩余 10 个奇数1 3 7 13 1

8、9 31 37 43 47 4949 47 43 37 31 19 13 7 3 1显然：在末筛素数7参入之前除1之外有9个奇数它们是数列： 3 7 13 19 31 37 43 47 49用末筛素数7双筛就得到8个素数，也就是8个素对即r2(50)=8它们是：3 7 13 19 31 37 43 4747 43 37 31 19 13 7 3r2(50)Pm/4=7/4=1当N趋向于无穷时，r2(N)=C(N)+2(N-3)-N/2(简称：表示法个数偶数公式)r2(N)/N=C(N)/N+2(N-3)/N-1/2limr2(N)/N=limC(N)/N+lim2(N-3)/N-1/2N+ N+ N+根据素数定理有：lim(N)/N=0，N+而r2(N)(N-3)(N),所以：limr2(N)/N=0，lim2(N-3)/N=0N+ N+即：limC(N)/N+lim2(N-3)/N-1/2N+ N+=limC(N)/N+0-1/2N+=limC(N)/N-1/2=0N+即：limC(N)/N=1/2N+C(N)N/2这个结论我们称之为奇合数对个数密度定理。根据奇合数对个数密度定理:C(N)N/2根据素数定理：(N-3)(N-3)/ln(N-3)r2(N)2（N-3）/ln(N-3)，由于r2(N)的最大值是