TSP问题的解决方案

1、算法设计与分析实验报告学号：日期：20161230姓名：得 分：一、实验内容：TSP问题二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1、蛮力法1) 基本思想借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。首先构造距离矩阵，任意节点 到自身节点的距离为无穷大。在第一行找到最小项a1j，从而跳转到第j行，再找到最小值ajk，再到第k行进行查找。然后构造各行允 许数组rown=1,11，各列允许数组 colablen=0,1,1.1，其中1 表示允许访问，即该节点未被访问；0表示不允许访问，即该节点已经 被访问。如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。程序再 发问最后一个节点前，所访问的行中至少有1个允许访问的

2、节点，依次访问这些节点找到最小的即可；在访问最后一个节点后，再次访问，会 返回k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。2) 复杂度分析基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有n个点，则计算的次数为 nA2-n。T(n)=n*(n-1)=O(nT)。2、动态规划法1)基本思想假设从顶点s岀发，令d(i, V ')从顶点i岀发经过 V是一个点的集合)中各个顶点一次且 仅一次，最后回到岀发点s的最短路径长度。推导：(分情况来讨论) 当V为空集，那么d(i, V ；表示从i不经过任何点就回到 s 了，如上图的 城市3-城 市0(0为起点城市)。此时d(i, V '

3、; )=Ci就是城市i到城市s的距离)、如果V不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在V这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。d（i, V ' ）=minCik +d（k, V -'）注：Cik表示你选择的城市和城市 i的距离，d（k, V -k）是一个子问题。综上所述，TSP问题的动态规划方程就岀来了：班匚刃）=丘帆乞4/（上尸-（幻） 2$2）复杂度分析和蛮力法相比，动态规划求解tsp问题，把原来时间复杂性 O （n!）的 排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。3、回溯法1）基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以

4、深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成 为当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点 即成为新的活结点，并为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不 能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。 此时，应往回 移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩 展结点。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为 0，然 后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对 应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子 树

5、继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索， 如果当前结点 的所有子树都已尝试过并且发生冲突，贝U回溯到当前结点的父节点。 采用邻接矩阵mpnn存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递 参数，将数组mp设置为全局变量，设数组xn表示哈密顿回路经过 的顶点。2）复杂度分析在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件xi!=xj（1<=l,jv=n,i!=j）,则可能解应该是（1,2,n）的一个排列，对应的解空间树种至少有n!个叶子结点，每个叶子结点代表一种可能解。 当找到可行的最优解时， 算法停止。根据递归条件不同时间复杂度也会不同，这里为 O（n！）。4、分支限界法1 ）基本思想分支界限法以

6、广度优先或以最小耗费 （最大效益） 优势的方式搜索问 题的解空间树。 问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树， 常 见的有子集树和排列树。 在搜索问题的解空间树时， 分支界限法与回 溯法的主要区别在于他们对当前扩展结点所采用的扩展方式不同。 在 分支界限法中， 每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。 活结点一 旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。 在这些儿子结点中， 导致不可行解或导致非最优解得儿子结点被舍弃， 其余儿子结点被加 入活结点表中。 算法开始时创建一个最小堆， 用于表示活结点优先队 列。堆中每个结点的子树费用的下界 lcost 值是优先队列的优先级。 接着算法计算出图中

7、每个顶点的最小费用出边并用 minout 记录。如 果所给的有向图中某个顶点没有出边， 则该图不可能有回路， 算法即 告结束。如果每个顶点都有出边，则根据计算出的 minout 作算法初 始化。2）复杂度分析目标函数（限界函数） ， lb 分为三部分，第一部分是经过路径的长度 相加的 2 倍，加上第二部分离着路径首尾节点最近的距离相加 （不在 已知路径上的），加上第三部分除了路径上节点，矩阵中两个最短的 距离相加， 最后这三部分和相加， 得到的结果除以 2便是每个节点的 限界值。由于限界函数的不同，下界为 O （n）,上界为0 （25）,智 力特定指出。三、源程序及注释：1 、 蛮力法int

8、main（）int i,j,s=0;int *a;printf(" 输入节点个数 ： n");scanf("%d",&n);printf(”输入%d维对称矩阵：n",n);colable=(int*)malloc(sizeof(int)*n);colable0=0;/对各列允 许矩阵进行赋值for(i=1;i<n;i+)colablei=1;row=(int *)malloc(sizeof(int)*n);for(i=0;i<n;i+)rowi=1;a=(int *)malloc(sizeof(int*)*n);for(i=

9、0;i<n;i+)ai=(int *)malloc(sizeof(int*)*n);for(i=0;i<n;i+)for(j=0;j<n;j+)scanf("%d",&aij)'i=0;while(rowi=1)j=min(ai);rowi=0;colablej=0;printf(" 访问 路径： n");printf("t%d->%dn",i,j);s=s+aij;i=j;printf(" 最短 总距离 为： %dn",s);int min(int *a)int j=0,m

10、=a0,k=0;while(colablej=0|rowj=0)j+;m=aj;/ 求最短距离for(;j<n;j+)if(colablej=1&&rowj=1)/ 节点没有被 访问if(m>=aj)m=aj;/m 始 终保持最短距离k=j;return k;2、动态规划法int init()int i;int j;int t;if(sca nf("%d", &n )=EOF) return -1;for(i=0; i<n; i+)for(j=0; j< n; j+)if(i=j)con ti nue;scan f("

11、;%d", &gij);memset(c on ,-1,sizeof(c on);for(i=0; i<n; i+)biti=1<<i;t=1;for(i=1; i<n; i+)return 1;int getc on (i nt s,i nt k)int t,tt;int i;int mi n=INF;if(con sk!=-1)return con sk;t=s&(bitk-1);for(i=1; i<n; i+)tt=t&biti-1;if(tt>0)if(getc on( t,i)+gik< min)min=g

12、etc on( t,i)+gik;con sk=mi n;return con sk;3.回溯法 void backtrack(i nt i)if(i> n)if(graphroad n1!=INF&&(a ns+graphroad n 1)<besta ns)besta ns=a ns+graphroad n1;for(i nt j=1;j<=n ;j+) bestroadj=roadj;elsefor(i nt j=1;j<=n ;j+)if(graphroadi-1j!=INF &&an s+graphroadi-1j<bes

13、ta ns&& !visj)roadi=j;an s+=graphroadi-1j;visj=1;backtrack(i+1);/改回辅助的全局变量an s-=graphroadi-1j;visj=0;int mai n()memset(graph,INF,sizeof(graph);cin»n»m;for(i nt i=1;i<=m;i+)int a,b;cin> >a»b;cin> >graphab;graphb a=graphab;vis1=1;road1=1;/假设是从1开始backtrack(2);cout&

14、lt;<besta ns<<e ndl;for(i nt i=1;i<=n ;i+) cout<<bestroadi<<"" cout<<1<<e ndl;4.分支限界法void in()scan f("%d", &n);for(i nt i=1; i<=n; i+)for(i nt j=1; j<=n; j+)if(i=j)mpij=INF;con ti nue;scan f("%d", &mpij);struct nodein t

15、visp22;标记哪些点走了int st;/起点int st_p;起点的邻接点int ed;终点int ed_p;终点的邻接点int k; 走过的点数int sumv;/经过路径的距离int lb;/目标函数的值bool operator <(c onst node &p )constreturn lb>p .lb;priority_queue <no de> q;in t low,up;int in q22;/确定上界int dfs(i nt u,i nt k,i nt I)if(k=n) return l+mpu1;int minlen=INF , p;fo

16、r(i nt i=1; i<=n; i+)if(i nqi=0&&mi nle n>mpui)/*取与所有点的连边中最小的边*/p=i；in qp=1；return dfs(p,k+1,l+mi nle n);int get_lb( node p)int ret=p.sumv*2;路径上的点的距离int mi n仁INF,mi n2=INF;起点和终点连出来的边for(i nt i=1; i<=n; i+)if(p.vispi=0&&min 1>mpip.st)mi n1=mpip.st;ret+=mi n1;for(i nt i=1;

17、i<=n; i+)if(p.vispi=0&&mi n2>mpp.edi)mi n2=mpp.edi;ret+=mi n2;for(i nt i=1; i<=n; i+)if(p.vispi=O)mi n仁min 2=INF;for(i nt j=1; j<=n; j+)if(mi n1>mpij)mi n1=mpij;for(i nt j=1; j<=n; j+)if(mi n2>mpji)mi n2=mpji;ret+=min 1+m in2;return ret%2=0?(ret/2):(ret/2+1);void get_up(

18、)in q1=1;up=dfs(1,1,O);void get_low()low=0;for(i nt i=1; i<=n; i+)/*通过排序求两个最小值*/in t min 1=INF,mi n2=INF;int tmpA22;for(i nt j=1; j<=n; j+)tmpAj=mpij;sort(tmpA+1,tmpA+1+ n);对临时的数组进行排序low+=tmpA1;int solve()/*贪心法确定上界*/get_up();/*取每行最小的边之和作为下界*/get_low();/*设置初始点，默认从1开始*/node star;star.st=1;star.e

19、d=1;star.k=1;for(i nt i=1; i<=n; i+) star.vispi=O;star.visp1=1;star.sumv=0;starb=low;/*ret 为问题的解*/int ret=INF;q.push(star);while(!q.empty()node tmp=q.top();q.pop()；if(tmp.k=n-1)/*找最后一个没有走的点*/in t p;for(i nt i=1; i<=n; i+)if(tmp.vispi=O)p=i;break;int an s=tmp.sumv+mpptmp.st+mptmp.edp;node judge

20、 = q.top();/*如果当前的路径和比所有的目标函数值都小则跳出*/if(ans <= judge .lb)ret=mi n(an s,ret);break;/*否则继续求其他可能的路径和，并更新上界*/elseup = min( up,a ns);ret=mi n( ret,a ns);con ti nue;/*当前点可以向下扩展的点入优先级队列*/node n ext;for(i nt i=1; i<=n; i+)if(tmp.vispi=O)n ext.st=tmp.st;/*更新路径和*/n ext.sumv=tmp.sumv+mptmp.edi;/*更新最后一个点*/n ext.ed=i;/*更新顶点数*/n ext.k=tmp.k+1;/*更新经过的顶点*/for(i nt j=1; j<=n; j+) n