二类曲线与曲面积分

1、第十章 第二类曲线与曲面积分§ 1.1第二类曲线与曲面积分网络图§ 1.2内容提要与释疑第二类曲线积分概念性质计算定义第二类曲线积分矢量函数Ax, y曲线积分与路径无关性x, y,z)Rx,y,与曲线！b上点(x,y,z处切线地 概念若.单位矢量T = Eosct, cosB,第二类曲面T.积地方向r性质f定地方向一致 地点乘积在rAB上地第一类I 厂 iA T0 ds. 第二类曲线与曲面积分 、 存在该积分值称为A x,曲线积分I计算格林公式y, z各沿曲线分的联索到B地高二公式线积分.-斯托克斯公式A沿闭合曲线:指定地方向通过地环流量q试a T0 ds地物理意义是：当流

2、体流速为注：由定义知第二类曲线积分是特;具有第一类曲线积分地性质由定义容易得到下面两功地第一流量曲线积分流量.若把A .T0看成数量函数，这个积分也个性质性质1ABAT0dS 爲论 A注：等式左右两边地 T 0正好相差一个符度号.性质2 若有向曲线:AB是由有向曲线-AC , -CB首尾相接而成，则A T°ds 二 A T0 ds A T0 ds.-AB- -AC- -CB记 ds =T°ds =；cos： , cos Icos dsdx, dy, dzl注：cosds二x =dx是ds在x轴上地有向投影，当为锐角，dx 0 ,当为钝 角，dx : 0,dx =0，而dy,

3、 dz是ds分别在y轴,z轴上地有向投影，从而第二类曲线积分五种形2式之一出现：ir 'A T0 ds = Pcos： Qcos ： Rcos ds'-AB'-AB=A ds -ABP x, y,z dx Q x, y,z dy R x,y,z dzP x,y,zdx-ABQ x, y,z dy-ABR x,y,z dz.而常常以形式 .P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz出现地较多，如果是直接计算，不论Jab是给哪一种形式出现 ，都需化成.P x, y, z dx Q x, y, z dy - R x, y, z dz地形式 &

4、lt;最后一种形式_AB“'“和上面形式实际上是相同地)x(t )若曲线iBy = y(t)，为光滑曲线且起点 a对应地参数为tA，终点b对应地参数为tB，则“ z(t ).P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz-_AB二Pxt,yt,zt x t Qxt,yt,zt y t Rxt,yt,zt z t dt.tA必须注意，公式中地tA，tB 一定要与曲线地起点A终点B相对应.即化成t函数地定积分时，积分地下限必须是起点 A对应地参数，积分地上限必须是终点 B对应地参数，至于上下限谁大谁小不受限 制，这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时，下限

5、一定小于上限地限制是不同地.而平面上地第二类曲线积分，是空间第二类曲线积分地特殊情况，这疋，r , P = P x, y , Q 二 Q x, y ,即为丨 P x, y dx Q x, y dy.2'-AB格林vGreen )公式 若函数P x, y ,Q x,y在有界闭区域D上具有连续地一阶偏导数，则f cQ cP 1dxdy，这里丨为区域D地边界曲线，并取正向.d :x 为Q注意：这里一与Q乘积指地是一.:xx x定义没有洞地平面区域，称为平面单连通区域，有洞地连通区域称为复连通区域FPFQ定理 设在单连通区域 D内，P，Q具有连续地一阶偏导数且 ,则环绕同一些洞 <如图1

6、0-矽ex1)地任何两条闭曲线 < 取同方向)上地曲线积分相等.平面曲线积分与路径无关性定理设DR2是平面单连通区域，若函数P x,y ,Q x, y在区域D内具有连续地一阶偏导数，则以下四个条件等价：<1 )沿D中厶一按段光滑地闭曲线 L，有L Pdx Qd 0 ；图 10-1<2 ）对D中任一按段光滑曲线 丨，曲线积分.Pdx Qdy与路径无关，只与'地起点和终点有关;<3） Pdx - Qdy是D内某一些函数u x, y地全微分，即在D内存在一个二元函数 u x, y ,使du 二 Pdx Qdy，即 亠=P,亠=Q ；Sxcy<4）在D内每一点处，

7、有 ':Q；:x斯 托克斯vStokes）公式设光滑曲面S地边界曲线L是按段光滑地连续曲线，若P x, y,z,Q x,y,z,Rx,y,z在Sv连同L）上具有连续地一阶偏导数，则._ ,丄丄o. cR 如丄“P<?R L丄（EQcP ,q Pdx+Qdy+Rdz= 口 一 dydz+ - dzdx+ - Idxdy.L$ I约&丿i比馭丿l釵矽丿其中S地侧面与L地方向按右手法则确定由定理地证明过程可知，只要以L为边界且符合定理条件地曲面S，结论都成立，从而我们在利用Stokes公式时，寻找以L为边界地较简单曲面S，比如平面上地圆面，椭圆面，三角形平面或球面等等以利于解决

8、问题.定义 若空间区域 V中任意地封闭曲线 L，都可以找以L为边界地曲面 S V，则V为线单连通 区域.空间曲线积分与路径无关性定理设：二R3为空间线单连通区域，若函数P、Q、R在门上具有连续地一阶偏导数，则以下四个条 件是等价地：<1 ）对于I内任一按段光滑地封闭曲线L，有-l Pdx Qdy Rdz = 0 ；<2）对于1内任一按段光滑地曲线丨，曲线积分.Pdx Qdy Rdz与路径无关，仅与起点、终点有关；<3 ） Pdx Qdy ' Rdz是】内某一函数地全微分，即存在】内地三元函数u x, y, z，使du = Pdx Qdy Rdz，即-二 P,- 二 Q

9、,- = R ； excycz2Q.x2二蛋主二兰在内处处成立:z:y : x:z即 rotA =0, x, y,z 门，其中 A x,y,z P x, y,z ,Q x, y, z , R x,y,z 二二、第二类曲面积分定义 若矢量函数 A x,y,z = IP x, y,z ,Q x, y,z , R x,y,z f与曲面S在曲面上点 x,y,z处 单位法向量n° ='cos，cos 一 cos ?< n0地方向与曲面 S指定地方向相同)地点乘积在 S上地第 一类曲面积分A n0 dS存在,该积分值称为 A x, y,z沿定侧曲面S上地第二类曲面积分.S:.A n

10、0 dS地物理意义是当流速为A地不可压缩流体，通过封闭曲面 S沿指定侧地S流量.S由定义知第二类曲面积分是特殊地第一类曲面积分，若把A 5°看成一个数量函数，这时为第一类曲面积分，也具有第一类曲面积分地性质.由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质性质 1 A n0 dS 二- A n0 dS.S .S 性质 2 111：A n0 dS 二 A n0 dS 亠 11A n° dS.SSiS2其中Si,S2地侧与曲面S地侧相同且S=Si+S2,Si,S2只有公共边界.设 dS = n°dS =；cos，cos-cos fdS = ；dydz, dzdx, dxdyf,

11、其中 dxdy 二cosrdS，称为 dS 在Oxy平面上地有向投影，当r为锐角时，dxdy - 0，当 r为钝角时，dxdy : 0，当 r 时,dxdy二0.2我们可以证明 cosr =sgn. -r 1 cosr .事实上，当r为锐角时，cosr >0,sgn r |=1,知12丿 <2 )cosr%、血一一r icosr,当r为钝角时，cosr <:0,sgn一 一 r |= -1,知 cosr = sgn-r icosr<2丿<2丿<2)=sgn931(31、当 r为一时,cosr =0,sgn. -r = 0,知 cosr =sgn-r cosr

12、 .212丿12丿fur 、dxdy =cosrdS =sgn 5 - r cos r dS =sgn-r<2从 而cos :cos ：二 sgn”1, X0,dydz =sgn -口 0, dzdx=sgn P 口°其中 sgnx = <0, x=0,l2丿l2 丿c-1, x£0.第二类曲面积分常常以下面五种形式之一出现:iiA n0 dS： iiiPcos：亠Qcos,-】Rcosr dSSS= A dS = P x, y,z dydz Q x,y,z dzdx R x,y,z dxdySS二 P x,y,z dydz 亠 hQ x, y, z dzdx亠

13、,R x, y, z dxdy.SSS如果是直接计算，无论是以哪一种形式给出，一定要化下面形式11 P x, y,z dydz亠i iQ x, y,zdzdx亠11 R x, y,z dxdy来计算,而且每一项要分别计算再相加,我SSS们以计算| | R x, y, z dxdy为例.S要求光滑曲面 S 一定要表示成z = z x, y : x, yHxy <其中二xy是曲面S在Oxy平面上地投影区域），且要求曲面S上每一点vx,y,z）处地法向量与 Oz轴地夹角或者全是锐角或者全是钝角< 曲面上个别曲线地法向量可以为 二）或者全是一.如果做不到上述要求，需把S分成几块，使得每一块

14、2 2能做到上述要求，然后根据第二类曲面积分性质，把S上地第二类曲面积分化为小块曲面上地第二类曲面积分，计算之再相加之即可.现假设S符合上述要求，即S : z = z x, y , x, y 三xy，且r全是锐角或全是钝角或全是，此时2sgn r 为一常数，则R x, y, z dxdy -SJJR(x,y,z JcosrdS = JJR(x, y,z Jsgn -r icosr dS<2二 Rx,y,zx,y sg n - r(6xyr全为锐角时r全为钝角时11 R x, y, z dxdyS11 R x, y, z dxdySnt )_r db=sgn T_r ”JR(x, y,z(

15、x, y )jd2<2/ay二 R x, y, z x, y d；.:xy=-R x, y, z x, y d .；：xynr全为一时2! R x, y, z dxdy 二 0.S注：r =时,dxdy =cos ds =0.换句话说如果 S在Oxy平面上地投影面积为零时2 2此时 Rx, y,zdxdy =0.S同理可知 计算11 R x, y, z dydz时，要求S:x=xy,z, y, zr ' yz <S在Oyz平面上地投影区域）:-全是锐角或全是钝角或全是'，此时，.I P x, y, z dxdz二sgnP x y, z , y, z .2s.；yz计

16、算iiQ x, y,z dzdx时，要求S: y = y z,x , z, x ，zx<S在Ozx平面上地投影区域）：全是锐S角或全是钝角或全是 才，此时，Q（x, y,z pzdx = sg n_Bx,y z, x , z .i - dv，其中S取外侧.:x.:y.:z高斯vGauss）公式 设空间区域 V由分片光滑地闭曲面 S围成,若函数P,Q,R在V上具有连续地一阶偏导数，则t Pdydz Qdzdx Rdxdy二川SV注：以上关于不论是第二类曲线积分或第二类曲面积分地定理都要求P，Q，R具有连续地一阶偏导数,这一条件要引起大家地重视 .三、场论P：Q.： R设 A x,y, =

17、T x, y, z ,Q x, y,z , R x,y,z :，且 p,q,r 偏导数存在，称函数为excycz-.、P ：Q .： R向量函数A在点Mvx,y,z）地散度，记作divAx, y,z.即divAx, y,z -''''-.且散度具有 excy cz线性运算法则，即div SA IB - rdivA IdivB.其中:-/为常数，代B为向量函数，利用散度地概 念,高斯公式可写成下列简洁形式II A ddiv Adv.SV若- M x,y,zMv,有divA =0，称 A为无源场，并有下面两个推论.推论1若在封闭曲面S所包围地区域 V中处处有divA

18、 =0，则：AdS =0.S推论2如果仅在区域 V中某些点 <或子区域上）divA = 0或divA不存在，其它点都有divA = 0, 则通过包围这些点或子区域 <称为洞）地 V内任一封闭曲面积分 <物理意义为流量）都是相等地 ，即 < A n0ds二A n0ds.其中Si,S2是包围之同地任何两个封闭曲面 ，且法方向沿同侧.SiS2定义 设（P x, y, z， x, y,z , R x, y,z /,且P,Q,R具有一阶偏导，称矢量函数cR如cR如即一J卜为矢量函数佝czczexexA在点M <x,y,z）处地旋度，记作rot A，即rotA =«

19、cQcPcRcQcP；y fz ' lz ：jx' :x :y或者形式可写成rotA =；xjkA以便记忆，cyczQR旋度也具有线性运算法则，即rot : A 1B i=：rot A Irot B.此时斯托克斯公式可写成 lA ds 二 rot A d S.S§ 1.3解题基本方法与技巧一、第二类曲线积分计算地方法1. f P（x, y dx+Q（x, y dy其中L是平面上简单封闭曲线.<1 ）若能找到一个单连通区域D,使L D ,而P,Q在D上具有连续地一阶偏导数，且_ p 二，x, y声D，由平面曲线积分与路径无关性知-P x, y dx Q x, y

20、d0.x ；yLrQ QP<2 ）若L包围地区域为 =P,Q在二上具有连续地一阶偏导，但此时可用格林公式，有excy.Q FPq P（x,y dx + Q（x,y ）dy = ±JJ jdg 当 L 沿正向，取 “+”号，沿负向取“一”号.L皐釵矽丿FQ尸P<3 ）若L包围地区域 二有洞，在这些洞上，P, Q或者偏导数不连续或者，但在其余excyFQrP点，P,Q具有连续地偏导数且，此时可找一简单封闭曲线Li与L环绕同一些洞且方向一致excy则由前面给出地复连通区域上地定理知P x, y dx Q x, y d P x, y dx Q x, y dy .而LiL'

21、L1容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后，容易计算.<4 ）若L容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后，容易计算，也可直接化成一元函数积分 .2. P x,y dx Q x, y dy.其中-ab是非封闭地平面曲线，起点A x°, y°，终点B为，y1 .-AB<1 ）若能找到 一个单连通区域D，使 ab D，P,Q在D上具有连续地 一阶偏导数，且g:PX1y1.，该曲线积分与路径无关，则.P x, y dx Q x,y dPx,y°dx， Qxydy._x:y-abx）y0FQrP<2 ）若P,Q偏导数连续，但,X, y卢Gb，且丨ab化

22、成参数比较方程困难或者化成参数exdy方程转化一元函数定积分很难计算，且加一个简单曲线 <比如直线段）构成封闭曲线，则可加一个简单曲线L,减一个简单曲线 L,即原式F -C -p q Pdx+Qdy - Pdx+Qdy = ±仃 J -匚dxdy-Pdx + Qdy如 *口 I & £y 丿L而二重积分与在 L上地第二曲线积分都容易计算.<二重积分前地“ _ ”号，由曲线:AB L方向确定）<3 ）若:ab容易化成参数方程，且第二类曲线积分转化为一元函数定积分以后容易计算，也可直接转化.3.P（x, y,z0x+Q（x, y, zpy + R（x,

23、 y,z）dz其中l为空间简单封闭曲线.<1 ）若找到一个线单连通区域V,使L V,P,Q,R在V上具有连续地一阶偏导数,且rotA =0, x, y, z V A J.P,Q,R?则由曲线积分与路径无关性知Pd Qdy Rdz二0.<2 ）若P,Q,R偏导数连续，但rotA = 0, x, y, z L.可找一个以L为边界曲线地简单曲面 :由 斯托克斯公式知 q Pdx+Qdy + Rdz= 空一竺 dydz+兰一兰 0zdx+'田一兰 dxdy.Lfl约 业丿x.cxcz J（fxcy J要求第二类曲面积分容易计算.<3 ）若L容易化成参数方程，且第二类曲线积分化

24、成一元函数定积分后容易计算，也可直接计算.4. P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz，其中-ab为空间曲线，起点 A x°, yo,z° ,终点'-ABB Xi, yz .<1 ）若找到一个线单连通区域V,使-ab V, P,Q, R在V具有连续地一阶偏导数,且 rotA =0, x, y,z V ,则该积分与路径无关，则N%可Pdx Qdy Rdz 二 x P x, y°, z° dx y Q %, y, z0 dy,z d乙-ABx0y0z0<2）若该积分与路径有关，但丨ab容易化成参数方程

25、，且转化为一元函数定积分后容易计算，可直接计算.5第二类曲线积分有时也可转化为第一类曲线积分，利用第一类曲线积分来计算.以上方法请大家灵活使用.、关于原函数1 .在一元函数里，若fx连续，则fx必有原函数，即使Px, y,Qx, y连续，P x, y dx Q x, y dy也不一定存在 u x, y，使du = Pdx - Qdy.若P,Q在单连通区域 D上具PQFPx有连续地一阶偏导，且.',x,D ,则u x, yP x, y0 d:X：yX。ylx 亠 1 Q x,y dy C ,使uudu = Pdx Qdy.即 P,Q，其中 x°, y° 远 D <

26、;疋点)泳cy2 .同理 若P,Q,R在空间某线单连通区域V上具有连续地一阶偏导数，且xyzrotA =0, x, y,z V ,则 u x,y,z 二P x, y°,Zg dx Q x,y,z° dy R x, y, z dz c ,xy0z0使 du 二 Pdx Qdy Rdz,即昱二 p,显工q,昱=R 其中 x0, y0,z0 戶 V. excy&3 若曲线积分 P(x,y dx + Q(x,y dy与路径无关，P,Q中含有待求地字母常数，且P,Q具有FQrP连续地偏导数，由曲线积分与路径无关地四个等价条件知二竺三匚,从中求出待求字母常数4、利用平面封闭曲线

27、上地第二类曲线积分计算平面图形地面积：在格林公式中,令P - -y, Q 二 x,有打-ydx xdy 二 11 dxdy 二 2S,因此 S =丄 i 厂 ydx xdy.其中丨是有D2界闭区域D地边界，沿正向.5 .第二类曲线积分地牛顿一莱布尼兹公式若 du x, y i= P x, y dx Q x, y dy，则P x,y dx Q x,y dy =-ABB召yJAw，y° gu(x,y Auhy )u(X0,y° )若 du x, y, z=P x, y,z dx Q x,y,z dy R x, y, z dz,则B(X1 ,y1 ,可)P x, y, z dx

28、Q x, y,z dy R x,y,z dzdu x, y,z 二 u 捲，乙-u x0,y° ,z° .-ABA , y0 ,z0 |三、第二类曲面积分计算方法1. iI P x,y,z dydz Q x, y,z dzdx R x, y,z dxdyZ<1 )若P,Q,R在v包围地立体区域 V具有连续地一阶偏导数，则“w扌如涿iiPdydz Qdzdx Rdxdydv,曲面沿外侧取“ +”号，曲面沿内侧取“-”Zv®&丿号.要求右边三重积分容易计算.<2 ）若曲面包围地立体 V内有洞，而在洞外面，P,Q,R具有连续偏导数，且divA三0,

29、A二P,Q,R，利用推论2转化为与包含同一些洞地曲面 ' i上地第二类曲面积分，而且沿同一侧方向，即Pdydz +Qdzdx + Rdxdy =曲 Pdydz + Qdzdx 十 Rdxdy，要求1 是简单地曲二二 1面，且右边或者直接计算或者化成第一类曲面积分计算<3）若曲面a本身也比较简单，也可直接计算或者化成第一类曲面积分计算2.! P x,y,z dydz Q x, y,z dzdx R x, y,z dxdy，其中 S是非封闭地光滑曲面.S<1）若直接计算比较困难，而加一个简单曲面 Si构成封闭曲面，且符合高斯定理条件，则11 Pdydz Qdzdx Rdxdy

30、= : Pdydz Qdzdx Rdxdy 丨 i Pdydz Qdzdx Rdxdyss：:;qqIpcQ cR=一 + + 一 dv - “ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy'V '、.、泳纲业）“由曲面法线方向地侧确定，要求右边地三重积分容易计算，后面一项第二类曲面积分直接容易计算.<2）也可直接计算或转化为第一类曲面积分来计算例1 在变力F二xyi zxj xyk地作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2 2 2务与务=1上第一象限地点 M , /，问,取何值时，力 F所作地功 W最大？并求出a b cW地最大值.解直线段 0M : x = t,y二t,

31、z =上，t 从 0至U1，功 W 为1 . _W = om yzdx zxdy xydz =。3t dt =.E2 耳 22F面求W =,在条件 =_ 0,_0_0下地最大值.a2 b2c2亡2 n2labCF或CF一少CF换flri1由=0,=0,=0,得2 2匚2亡22匚210口2 一 2 -2，即得 2 ：_ . 2 _-2 '二一.于是得abcabc3 ab - c一,.由冋题地实际意义知3、3, 3J3Wmaxabc.9k例2设位于点<0,1)地质点A对质点M地引力大小为 vk>0为常数,r为质点A与M之间地 r距离)，质点M沿曲线y = .2x-X2自B(2,

32、 0>运动到0(0, 0><图10-2).求在此运动过程中质点A对质点M地引力所作地功.解 由图 10-1 MA =(0 _x,1 - y 1 r = MA = *；x2 +(1 - y f .引力f地方向与MA 致，故f uE'-xj-y】从而,引力所作地 rkf1 、功 W = J一有xdx+(1 y dy】=k 1I、B° r< 45)注：因线积分与路径无关，故取沿BO积分得出结果.x2 y2 二 ax 交线计算 .y2dx ' z2dy ' x2dz 为球面 x2 y2 z22=a与圆柱面v z _0,a0),从Ox轴正向看去，

33、曲线按逆时针方向，图10-3).解将交线-改写成参数形式由圆柱面方程、2a 2 xy2 y人a a丄令 xcost,2 2于是，得】地参数方程为a . 一、一 ,. tysint.并代入球面方程，得z- a sin .2 2x = a cos2 丄,y = ?si n t,z = a si n , 0 _ t _ 2二2 2 2图 10-2代入积分式，得i厂y2dx z2dy x2dz22 二j人弋f、 fas in 1 -costa cos；a t泊 -cos! 2丿dt33a 3丄 a sin t8sin2 - cost2 cos 2 严Gidcostdt0 2二 a3.2兀2cos td

34、t -04例4 计算|二dx4x 2yln x R2 x2 dy ,其中c沿上半圆周图 10-3x y =R y - 0 从点 Av-R,0)到点 BvR,0)v图 10-4)解 考虑有向直线段 BA，令2I1 y dx 4x 2yln xR2 x 2 dy,BA 寸 R +x由Green公式 <注意曲线方向！），得gjx/Liv.ru D-1+cPdxdy,其中 P =.R2x2,Q = 4x 2yln x i R2 x2 ,D 为半圆域2 2 2x y :SR ,y亠0.因为在x轴上y=0,dy=0,所以11=0 .故I -D2yR2. X2 dXdy11 4dxdy = -4D2

35、2二R2 二-2*注：如将曲线 C表为y二R2 -x2或x二Rcost, y = Rsin t直接计算是很麻烦地，一个曲线积分 Pdx Qdy,如果较难直接计算，应先算一下，如果一Q -兰地表达式较简单，就可C:X: y: x : y用加一个简单曲线5计算|O<0,0)解<一般为直线段），减一个该曲线.£= 12xy ey dx - cosy -xey dy，其中 AOB 为由点 <-1,1）沿曲线 y = x2到点AOBy=0到点B<2,0）地路径.再沿直线积分路径见图10-4.eydx - cosy - xeyAOBdy 亠 112xydx.AOB右端第一

36、个积分满足 -eyex，故积分与路径无关.y图 10-42 0I = /x _: :cosy eydy 12xydx 12xydxAOOB- 20 2 2=3 sin1 e-112x x2dx12x Odx 二 sin1 e 2 3x4< 0二 sin1 e -1.计算I二x - VX " v2dx 二 2dy ,其中 L是点 Av-a,0)经上半椭圆x v x v2x2a2与=1 y _0 到 Bva,0)地弧段 v 图 10-6). b2/Ire qn图 10-5:P y2 - x2 -2xy:Q当 x,y = 0,0 时，矽（x2 + y2设D是去掉原点地上半面地区域P,

37、Q在D内有连续地偏导数并且 <1），则D是单连通区域， 式成立，故积分与路径无关.取C为点Av-a,0 ）经上半圆x2 y2 =a2 y _ 0 至q Bva,0)地弧段，并将 Cx二a cost, y二asin v起点A对应的-二，终点B对应的- 0x - y dx 亠 i.x y dyx2y2a22注：不可取C为点<-a,0）经下半圆x2 .二a y乞0至y B<a,0）地弧段，即取°(acos8 -as in 8 J-a si n 8 户(acos8 +asi n 0 (a cos 日 扁cos2 rdr-cos4s in 2严ji=2dcos J 4sin2

38、 二令，便得"2. J".解法二 P二弓 Jx2 +4y2,Q=arctg 2u2 2：Q_ x2 4y2 _8xy:xx 4yx2 4y2 .x2 4y2 2 (x.y) = (00)yx二acosj y二asin - - << 0 .这是因为，在曲线L与下半圆周围成地区域内，函数P,Q没有连续地偏导数 <在点<0,0）偏导数不存在）.或者说,P,Q是在全平面除去原点这个复连通区域内有连续 地偏导数，就全平面而言，不能保证积分与路径无关.此例迪可将L表示为x = acosv, y二bsin r 0乞二乞:而直接计算，但比较麻烦.x 4 y dy 亠

39、x - y dxI?.，其中C为单位圆周地正向.解法一 将曲线C表为参数方程x = cos】y = si nr 0 _二_ 2二，则2二 cos J 4sin ： cos 71 cos）-sin- sin i .22dK分项积分，并利用函数地周斯性、奇偶亠+4sin2日-兀3sin日cos日x2 4y2 41 1x = COST, y = Sin日（起点为日=0,终点为日=2兀，）,则函数p,q在以c与|为边界地复连4D上有连续地偏导数.由复连通区域上地定理知通区域_ x 4ydy x-ydx-1x2 4y2Jcosv sin v cosvIcosv -1 sin v -】sin v丿4124

40、 A 2 丿2二1 =.-2注：从该题可看出还是用解法二方便例8计算xd豊yd：,其中l是以点1,o）为中心，以r（r1 ）为半径地圆周，方向取逆时针方L 4x yP = _2，Q = 4 2 * 2 -4x y 4x y:Qy24x2:PA77?x,y70. V1)RV1时,P,Q在以L为边界地圆域上有连续地偏导数，由关系式1）可知1=0.R1时,取正数a用C表示椭圆4x2 y2 =a2,则P,Q在以L,C为边界地区域上有连续地偏导数，由关系式1）可知IC譽晋，这里积分沿逆时针方向椭圆C地参数方程是x = cos r,y = asi nr.故2计算Ia cos2二 2论o”as叫寺心ydx

41、一 x -1dy 其中 c 为,1)-C x-1 2 y2圆周x2 y2y地正向;地正向.x-12 y2，Q =x-1 2y2'cxtx-1 f + y2P <1)1）在圆周x2 +（y 1 2 =1上与该圆地内部,函数P,Q均有连续地偏导数 ，故由Green公式dxdy 二 0./-v/-v IJx:y2） C地图形见图10-6.函数P,Q及其偏导数在 C地内部有间断点2 2 2 1,0).以点1,0)为中心，在C地内部作圆周I : x-1 y =1' .由关系式1)可知Iydx-x"dy."(xlf+y2l地参数方程是 x = 1，cost, y

42、= :. sin t 0乞t乞2二，2二、sin V- ' sin t cost cost 2二 ,故 I2dt 二 dt - 2.0 § 2 0注：用Green公式计算曲线积分，必须十分注意“函数 P,Q在区域具有连续地偏导数这一样条件.如果P,Q在闭曲线C围成地内部除一点外，有连续地偏导数，且=.而积分 PdxQdyexcyC直接计算较难，可以适当选用闭曲线 Lv不一定是圆），将原积分化成易于计算地积分PdxQdy.“22 2 2例10 研究曲线积分 xln x y1 dx yln x y1 dy<1）在区域AB2 21 x y < -:内是否与路径无关?解：

43、函数 P = xIn x2 y2 -1 与 Q 二 yln x2 y2 -1 在复连通区域1 ： x2： 内有连续地偏导数，并且=2 2xy2-.<2）2o2.:xx y 1_y在复连通区域1 ：x2 y2 ： :内任取简单闭曲线 C.2 21） 如果原点在C地外部，则整个圆域 x y < 1也在 C地外部，则C地内部全含于区域2 21 x y < -:内.因P,Q在C上及C内满足等式V2）.故由Green公式7/cQ cPPdx+Qdy= JJ -dxdy = 0.CD,故勺丿2 22） 如果原点在 C地内部，则整个圆域x y <1都在C地内部，取正数R足够大,使曲线

44、C含 于圆域x2 y2 < R2地内部，则以C与圆x2 y2 = R2为边界地闭区域含于区域 1 ： x2 y2： 地内部，由<2）式与Green公式可知=Cxln x2 y2 Tdx yln x2 y2-1dy= xmx2 Tdx ylnx2y2dy.x2 -y2 缶2，且0 =0 .计算x2C.再由®(0)=0，得 C=0，故®(x)=x2.所以 j (,1J (0,00,1 沿直线y=x从点0,0)到点1,1)积分，得i f,021,122xy dx y x dyxy dx x ydy.1 3 1xy dx yx dy = °2x dx2设 x=

45、Rcost,y=Rsint 则 IRcost ln R2-1 - Rsint Rsintln R2-1 Rcost Idt = 0.由 1 ),2 ) 可知，对区域1 ： x2 y2 ： ：内地任意闭曲线 C,都有2 2 .2 2 2 2 cxlnx y -1 dx y lnxy -1dy=0.故积分 <1)在区域 1 ： x y径无关.例11设曲线积分cxy2d y xdy与路径无关，其中' x具有连续地导数,12o xy2dx y x dy 地值.2cPSQ解由 P x, y = xy , Q x, y =y x,得 2xy = y x , x =&yex无关，并且对

46、任意t恒有0,0解由曲线积分与路径无关地条件知卫二厶2xy二2x.于；:x詡是，Qx, y =x2=Cy ,其中例12设函数Q x, y在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分l 2xydx Q x, y dy与路径 + Q(x, y dy = J j 0 ；2xydx + Q(x, y Jdy,求 Q(x, y)Q x, y dy 二2 C y dy】 = t2. °C y dy,tC(y为待定函数.J j0-0,011Q x, y dy =0012 C y dyLt . 0C y dy.t由题设知t2亠.1 C y dy二t亠.1 c y dy.两边对t求导,得2t =1 C

47、t ,C t = 2t T.从而 C y =2y -1，所以 Q x,y = x3 2y -1.例 13 求原函数 u,使 du = x2 2xy - y2 dx x2 - 2xy - y2 dy 并解方程x2 2xy _ y2 dx 亠!.x2 _2xy _ y2 dy 二 0.2 2 2 2解由 P = x 2xy - y ,Q = x 2xy - y =2x -2y,P =2x -2y 都连续且 P, x, yR2，选取 0,0R2，于x:y:x:yx 2y 221322130 x2dx 亠 i x2 _2xy -y2 dy C x3 x2y _xy2y C11且方程地解为x3亠x2y

48、- xy2 - y2 =C3 3例 14 计算 i x2 -2yz dxy22xz dy z2 -xy d乙解法一 设 A x, y,z - 2 -2yz, y2 -2xz, z2 - xy:经验证 ro A = 0, x, y,z 三 R3.即曲线1 1 1积分与路径无关.故原式x?dx亠I y2dy亠Iz2 -'2 dz =f 0$ 0， ， f 01 1 12 - -1.333333x y z c -2xyz解法二 因为 du = x2dx y2dy z2dz - 2 yzdx xzdy xydz = d1知u飞x2y2 z2 -2xyz.由第二类曲线积分地牛顿-莱布尼兹公式知原

49、式=1 x2 y2 z2 12xyz2例15利用第二类曲线积分计算双纽线x2亠y2 a2 x2 - y2所围区域地面积<a>0).解 < 如图10-8所示知)由双纽线关于两个坐标轴对称，因此只需计算第一象限地面积乘以4即可.利用极坐标变换 x = r cost, y = r sinv ,则双纽线方程为rx = a cos j . cos 2r, y = a sin v . cos 2二,1 二 OA ABO,在OA上，由方程y = 0,有- ydx - xdy二0,于是1S =4 ydx xdy1 - 2 .=4ydx xdy = 2 4 a cos2ABO0例16计算曲线积

50、分I 二 i ydx - zdy - xdz,其中由线 c 是以 Aiva,0,0) c10-9所示知)方向是由 Ai经A?、A3,再回到Ai.顶点地三角形,a>0,<如图解取以C为界地三角形块为 S,其侧与C地正向构成右旋转系，以cos，cos ： ,cos 记S上单位法向量 n,则有J3 cos ： = cos - = cos，又因 P = y,Q = z, R = x，故=a2 cos2n,或 r = a. cos2图 10-8,A2(0,a,0>,A3<0,0,a )为图 10-93cosa +rcP(cosP +(cQcosYex丿4勿丿dSsf -1 -1

51、-1 dS =仝3 SdS =S#A2A3由斯托克斯公式得I二例17计算曲线积分 <(z y )dx+ (x z)dy+(x y )dz,其中C是曲线<x2 + y2"从z轴x - y + z = 2,正向往z轴负向看C地方向是顺时针地.解法一 令 x = cos v, y = sin v，则 z = 2 - x - y = 2 - costsin v，所以i iz - y dx 亠x - z dy 亠X - y dz 二 2 sin v cos)- 2cos2v -1 d = 2二. " " " " "2 "：

52、C解法二 设S是平面x - y-z = 2上以C为边界地有限部分，其法向量与z轴正向地夹角为钝角,Dxy为S在xoy面上地投影域,记 F =：z - yix-zj x-yk，则rotF 二z-yj:yX z：zx-y=2k.由斯托克斯vStokes）公式，-F dlC二 rotF dS = 2dxdy - - 2dxdy - -2二.D xySS例18计算c ydx zdy xdz,其中C为圆周x2y2z2二a ,x y0，若从x轴正向看去，这圆周是依反时针地方向进行地得 X2 +(x + z fz2 二 a22人=a ,令2x ax= a cost, zsi nt,则' 32. 2z = a sint -仝%h2 2与y = -x，z得曲线C地参数方程为(2-a,z. .1 'a. 1 'V3acost,T2sin t +costlJ3丿Sint r- cost<V3丿当t从0增加到2二时,它描出sin t -丄 cost l 品 人2人2：c ydx zdy xdz - -a213st11 cos2tdt23、32 二-aPdt-o 2了曲线C地反向，故 g ydx + zdy + xdza ¥ i ： 2a '' i '订I c