任意角的概念与弧度制资料

1、任意角的概念与弧度任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：匾角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置 （始边）旋转到另一个位置（终 边）形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋 转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义2

2、. 终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除 端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：终边相同的前提是：原点，始边均相同；（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；（3）终边相同的角有无数多个，它们相差主：的整数倍.3、终边相同的角与象限角：衣与角门终边相同的角构成一个集合 r 1，一：门；顶点与坐标原点重合，始边与工轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫 做第几象限的角.知识点二：弧度制&|弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作，或1弧度，或1(单位可以省略不写)

3、.(2)弧度与角度互换公式：-二-心7T心 0.01745(rad)isoV1rad=汀丿57.30°57°8',1°130(3)弧长公式:円刽厂g是圆心角的弧度数)，s_L/ 厂二丄 | 扇形面积公式：要点诠释:(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如“ -等 等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.kd =(2)角匸的弧度数的绝对值是：，其中，'是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算： 诒规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记

4、作rad注意在用弧度制时，“弧度”或“d”可以略去不写d ,在半径为广的圆中，弧长为的弧所对圆心角为丄弓二，贝U-=5718r所以，1 儿=；7rad,(rad),4、弧度制下弧长公式：志s 二I 优I * ='I'；弧度制下扇形面积公式类型一：象限角固G i 已知角-；(1)在区间-内找出所有与角二有相同终边的角；M =妆 | 尤二二 xltf+4?, k 集合力一幻妙+斗咒七亡2、4，那么两集合的关系是什么?解析：(1)所有与角二有相同终边的角可表示为：I： -'匚, 则令-x <<i?= < |：,=,0 -75° <360

5、76;<-45°得W 疋三一-解得二二，从而：或-代回八：或':".(2)因为" J丨 “ 一 I表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集u合，从而：总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 有相同终边的角，然后列出一个关于：的不等式，找出相应的整数，代回求 出所求解；(2)可对整数：的奇、偶数情况展开讨论.O2已知録是第三象限角，贝U三是第几象限角?&a思路点拨：已知角匸的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下

6、：把各象限均分n览等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、U、M、W,并循环一周，则二原来是第几象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域(n N*)解法一：因为门是第三象限角，所以2k 7T a一7T+ < a当k=3m(m Z)时，；为第一象限角;当k=3m+ 1(m Z)时，二为第三象限角,当k=3m + 2(m Z)时，二为第四象限角,a故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起-依次将各区域标上I、U、M、W，并依次循环一周，a则二原来是第川象限的符号所表示的区域即为 丁的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角总结升华：(1)

7、要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2) 讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对 象限界角应引起注意举一反三：A/ = (z: | = -b , A s N = (a |4- , 4 £ 2【变式1】集合二*，-，则()A、B、亞nNC、M u ND、【答案】C思路点拨：(法一)=-' '取特殊值-1，-3, -2,-1，0，1, 2, 3, 4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(2k + IX ?7兀二二北E £(法三)集合M变形,血7T+2汀(k -h 2)7T t _ 忑=,Z集合N变形 4,'是汀的奇数

8、倍，是;丁的整数倍，因匚此-<sia _2_8COS 【变式2】设r为第三象限角，试判断-的符号.'.2:71-7T < & < 271 +7lk E Z, 解析：'三为第三象限角，-t7T + - <224当-二时,沏+兰 叭如+気色此时二在第二象限.第四象限.当 ' -p -时B sm CO£ 综上可知： 18sin +CGS 27T 召3二(2?2 + 1)jr + <- <(22 + 1W+-JT,此时在Slfl2cos2<0.sin < c o £ >0,:. 2 2类型二：扇形

9、的弧长、面积与圆心角问题品03.已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？蛋解：设扇形的圆心角是王抿，因为扇形的弧长是F，所以扇形的周长是2r+rfl依题意，得& =(7T- 2)rad（7T- 2） X1.142x57.30°仇、角度制与弧度制的互化:17T 3n（1）22亍（二0 ； （2） 二 12.勒i65.44°,1 313;.S-r8=-（v - 2” .22总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式：一"和圆面积公1 aS = - r式-，当用圆心角的弧度数&代替时

10、，即得到一般的弧长公式I11 | 2I - a r, S - lr 二一，r .和扇形面积公式：:举一反三：【变式1】一个扇形的周长为2-'-，当扇形的圆心角土等于多少弧度时， 这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性 质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为；，£二广二一（-5 + 25于是扇形的面积-当寸， 二-（弧度），'取到最大值，此时最大值为 二宀.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25亡加总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关 于半

11、径（或圆心角）的函数表达式，进而求解7T 57T 722 亍= 225x一二一兀-630* =-630 x二一一讥解：;-''为第三象限；为轴上角-Zxl8OD =-252* = xl80- = 195*55为第二象限；12让为第三象限角小结：1用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“江”；2角度制化弧度时，分数形式，且“;壬”不取近似值° 2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：第一象限角；锐角；（3）小于“广的角;7T（4）终边与角的终边关于F轴对称的角；（5）终边在直线二”上的角.解：宀-打二或7/r分析：因为所求角的终边与'角的终边关于匸轴对称，可以选择代7T- 表角 '，因此问题转化为写出与八角的终边相同的角的集合即a 2丘肝+押Z 6- - 7(5仲"回+4*Z7T或4注意：角度制与弧度制不能混用!03、若嘔第二象限角，则aL是第几象限角？反之,ar-是第二象限角，©是第几象限角？ 112k7T