因式分解讲义

1、因式分解知识点1:因式分解的定义1分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。女口：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：x29 8x (x 3)(x 3) 8( )9x24y2(9x 4y)(9x 4y)()(x 3)(x 3) x29()x2y 2xy2xy xy(x 2y)()知识点2:公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：|(1)符号：若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)(2)系数：取系数的最大公约数；(3)字母：取字母(或多项式)的指数最低的；(

2、4)所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1多项式-3ab 6abx 9aby的公因式是 _2多项式8a3b2c 16a2b324ab2c分解因式时，应提取的公因式是()23333A.4ab cB.8abC. 2abD.24a b c2433.x(m n) y(n m) (m n)的公因式是 _知识点3:用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提岀来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1.可以直接提公因式的类型：(1)9a3b26a2b412a4b3=_；n 1 n 1 n(2)aaa=245(3)x(a

3、 b)_y(a b) (a b)=(4)不解方程组2xy3，求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值5x 3y 22.式子的第一项为负号的类型：22233(1)4x y 6x y 8x y=_4(m n)38( m n)412(m n)2=_(2)若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解(特别是用到平方差 公式时)如：8x218y2练习:公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，使其统一于之前确定的那个公因式。(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母 的位置，女口练习:一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这

4、两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)特点：1、是一个二项式，每项都可以化成整壬式的平_ . 2.两项的符号相反例如：1、判断能否用平方差公式的类型1多项式6ab 18abx 24aby的一个因式是6ab,那么另一个因式是()A. 1 3x 4yB.1 3x 4yC1 3x 4yD.1 3x 4y2.分解因式一3.公因式只相差符号的类型:35(y x) 10y(y x)(x y)6-(y x)5(y-x)6-(y-x)5(y -x)5(y -x -1)例:(1)(ba)2+a(ab)+b(ba)(2)(a+b c) (ab+c)+(ba+c) (bac)(3)a(a b)32a2(

5、b a)22ab(b a)然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来,1把多项式2(A)(a-2)(m+mm(a-2)+m2-a)分解因式等于(a-2)(m-m(C)(B)(m a-2)(m-1)(D)m a-2)(m-+)2多项式x(y3) x3(3y)的分解因式结果(A.(y3)(x3(y 3)(xx )Cx(y 3)(1x2)D.x( y3)(1 x)3分解因式：(1)m(x y) n(y x)(2) 6(x y)4 3y(y x)知识点4公式法分解因式公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式,解因式的方法叫做公式法。(x y)(5.)这种分(1)下列多项式

6、中不能用平方差公式分解的是()A.x2y2Bx2y2Cx2xy2D1 y22 2(A)-a+b(B)-2 2x-y(C)492 2 2x y-z(D)16422m-25n p2、直接用平方差的类型2224(1)16x 9y(2)25x1(3)x 13、整体的类型：2 2 2 2(1)(m n) n(2)(x y) (2x 3y)4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型33(1)m4m=.(2)a3a3、直接用完全平方公式分解因式的类型4、整体用完全平方式的类型5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型练习: 将下列各式分解因式(1)x2124x22 2(2)100 x - 81y ;2 2(

7、3)9(a - b) - (x - y);(7)4(2x(2x y)、完全平方式分解因式法3小(5)x 9xy)3(6)(m n)3(m n)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。即a2+2ab+b2=(a+b)2; a2 2 22-2ab+b2=(a-b)特点：(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是()”2r2222,A.xyB.x yC.x y yl2、关于求式子中的未知数

8、的问题x26x 9如：1.若多项式2x kx 16是完全平方式，则的值为(A.4 B4 C. 8 D. 42.若9x26xk是关于x的完全平方式，则k=3.若x22(m3)x49是关于x的完全平方式则m=(1)x28x 16;(2) 4x212xy 9y2;2x2xy y;442mn n3(1)(x - 2)2+ 12(x - 2) + 36;(2)9 6(a b) (ab)232(1)-4x+16x -16x;(3)已知：ab1,xy 2，求3abx21ax23aby26xyab的值2 2y +2axy+2a练习：分解因式(1)x24x2 2(2)a x 16ax 64(3)422a 8a

9、b16b4(4)(x y)214(xy) 49(5)96(a b) (a b)2（6）3x312x2y 12xy2（7）2x22x 知识点5、十字相乘法分解因式_|2十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =x2（a b）x ab，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。如：分解因式：x27x 1022x5x 3(3)2 2a+6ab+5b2x+5x+6(5)2x-5x+62x-5x-6练习：2(1)x+7x+12(2)2x-8x+12(3)2x-x-12(4)2x+4x-122(5)y+23y+22(6)x2-8x-20(7)X2+9Xy-36y2(

10、4)x2+5x-6知识点6、分组的方法分解因式如(1)m344m 520m422(2)4x y 4x 1练习：(1)9a22 24b 4bc c3 2 2 2(2)x 3x 4x 12(3)x 2x 6y 9y(4)9x2y24y 42(5)xy 2xy 2y 4小结因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式三项的 用完全和平方、差平方公式） ；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以 上考虑分组分解法。课后练习：分解因式单元练习一、选择题（每题 4 分，共 40 分）

11、1 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）（A）2a b 2a 2b（ B）m21 m 1 m 122（C）x 2x 1 x x 2 1（ D）a a b b 1 a ab b 12.把多项式一 8a2b3+ 16a2b2c2 24a3bc3分解因式，应提的公因式是（），3.(A) 8a2bc(B) 2a2b2c3(C) 4abc(D)24aF 列因式分解中，正确的是（(A)3m26mm 3m62(B)aa ab(C)x22xy(D)x2y24.下列多项式中,可以用平方差公式分解因式的是（(A)a24(B)a22(C)a24(D)5把一 6（x y）3 3y（y x）3分解因式，结果是6

12、下列各式变形正确的是（(A)a b(C)a b28因式分解 4+ a2 4a 正确的是().(A) (2 a)2(B) 4(1 a) + a2(C) (2 a)(2 a)(D) (2 + a)29 .若4x2mx 9是完全平方式，则m 的值是（)(A) 3(B) 4(C) 12(D 土 1210.已知 a b3，ab 2，贝 Uab2的值是（）。(A) 1(B) 4(C) 16(D) 9二、填空题（每题 4 分，共 20 分）21.4a2b 10ab分解因式时，应提取的公因式是.2.ambmm； x 1； a b c a.3 .多项式x29与x26x 9的公因式是_ .4利用因式分解计算：201219925.如果 a2+ ma+ 121 是一个完全平方式，那么 m=_或_三、解答题：1 .将下列各式因式分解：（每题 5 分，共 40 分）(1)14abc 7ab 49ab2c；(3)100 x2 81y2;(x 2)2+ 12(x 2) + 36;(2)a(x+ y) + (a b)(x + y);(4)9(a b)2 (x y)2;2(6)m x y x y3(A) 3(x y) (2 + y)(C) 3(x y)3(y + 2)(B)(D)3(x y) (6 3y)3(x y