圆压轴八大模型题-弧中点地运用

1、实用标准文档文案大全圆压轴题八大模型题(一)泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用在。中，点C是AD的中点，CH AB于点E.(1)在图1中，你会发现这些结论吗？ AP=CP= FP; CH= AD;AC2 = AP - AD=CF- CB= AE AB.(2)在图2中，你能找出所有与 ABC相似的三

2、角形吗?【分析】(1)由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：/ CAD= Z B=Z ACE / PCF= / PFC 所以 AP= CP= FP一 . 一 C c c(1)由垂径te理和弧中点的性质得，DC= AC= AH,一，C C再由弧叠加得： CH=AD,所以CH= AD.(1)由共边角相似易证： AC ABQ AC2 ADQ AC。 BCA进而得 AC2 =AEAB; AC2= APAD； AC2= CFCB(2)垂径定理的推论得：C0LAD,易证：RtA ABC RtAACE RtA CBE Rt ACM RtABDFRtA AC8 RCGF此外还有 RtAAPE RtA

3、 AOG RtA ABDs RtA CPG运用这些相似三角形可以解决相关 的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。【典例】(2018 湖南永州)如图，线段AB为。的直径，点C, E在。0上， BC=CE, CD± AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CF= BF;(2)若cos/ ABE=,在AB的延长线上取一点 M,使BM=4,。的半径为6.求证:5直线CM是。的切线.【分析】（1）延长cd与圆相交，由垂径定理得到BC=前 再由 菽=窟得到=13=15,等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得

4、 OC，BE,再由锐角三角函数得到边 BH、OH的长度，由对应边成比例得BE/ CM,由/ MCO=（图4）/BHO=90°证得结论。证明：（1）延长CD交。O于G,如图，. CDL AB,，前=窥BC=CE, CE= BG,，/CBE= / GCB,，CF= BF;（2）连接OC交BE于H,如图，BC= CE,OCX BE,在 RtA OBH 中，cos/ OBH=型=1, OB 5. BH = J_X6 = 9, OH= 7 =迈,55 V 5518OH _ _5_ 3 OB _ 6 _ 3OC-V-75 ON-6+4 "75.而/ HOB= /COM,OC OM.OH

5、BsOCM, ./ OCM=/ OHB= 90° ,OCXCM,直线 CM是。的切线.【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再 结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。 可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】（图 1-2）1. （2018 四川宜宾）如图，AB是半圆的直径， AC是一条弦，D是AC的中点，DEL AB于点E 且DE交AC于点F, DB交AC于点G,若塔=g,AE 4则”=GB噂)2. (2010 泸州)如图，在平行四边形 ABCD中，E为B

6、C边上的一点，且 AE与DE分别 平分/ BAD和/ADC。(1)求证：AE±DE; (2)设以AD为直径的半圆交 AB于F,连接图9(图 1-3)、 一 一，FG 3DF交AE于G,已知 CD= 5, AE= 8,求值。 AF(1) 证明：在 ABCD中，AB / CD, Z BAD+ / ADC= 180 ° . AE 与 DE平分/ BAD 和/ ADC：/ EAD= 1 / BAD, / EDA= 1 / ADC,22：/AED= 180 - (/ EAD+ Z EDA)1 1=180 - ( - Z BAD+ 1 / ADQ2 2 1 ，_ _，=180 - -

7、(Z BAD+ /AD。2 =180 - 90 =90°.-.AE± DE(2)解：在 ABCD中，V AD/ BC：/ EAD= / AEB,且/ BAE= / DAE：/ BAE= / AEB, ： AB= BE, 同理：DC= EC= 5又AB= DC,AB= BE= DC= EC= 5,：BC= AD= 10在RtAED中，由勾股定理可得：DE= . AD2 - AE2 =，102 -82 =6. /BAE= / EAD, Z AFD= Z AED= 90° ： AF8 AAED,AF AE 8 4FG ED 633. (2012 泸州)如图， ABC内接

8、于。O, AB是。的直径，C是AD的中点，弦 CHAB(图 1-4)于点H,连结AD,分别交 CE BC于点P、Q,连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；15(2)若。的半径为5, AQ=工,求弦CE的长。(1)证明：: AB是OO的直径，弦CEXAB, C CCC CAC = AE .又: C 是AD 的中点，AC = CD ,c c 1- AE = CD . . / ACP = / CAP . PA=PC,AB 是直径./ ACB = 90°. ./PCQ = 90° /ACP, / CQP = 90° / CAP, ./ PCQ=/ CQP. PC =

9、PQ .1 .PA = PQ,即P是AQ的中点;(2)解：AC = CD又ACQ = Z BCA, . CAQs CBA .AC15AQ 万BC又 ABAB 10 410, AC = 6, BC = 8.根据直角三角形的面积公式，得：.CH = 24 .又 CH = HE,548CE = 2CH =.54. (2014?泸州)如图，四边形 且 dc2=ce?ca .(1)求证：BC = CD;AC?BC = AB?CH,6X8= 10CH .ABCD内接于O O, AB是O O的直径，AC和BD相交于点 E,(2)分别延长AFLCD 交 CDCD= 2-72,求AB, DC交于点P,过点A作的

10、延长线于点 F,若PB = OB, DF的长.(1)证明：: dc2=ce?ca,DC CACE ./ CDB， CDEA CAD ,DC:/ DAC, 四边形 ABCD内接于O O,1 .BC = CD;(2)解：方法一：如图，连接 OC,. BC = CD,d / DAC / CAB/ CAB,又 AO = CO,/ ACO ,DAC = / ACO ,2 .AD / OC,PC POPD PA '. PB = OB,CD =2 应,Q图aPCPC 2.23又 PC?PD = PB?PA .4 72? (4 亚+ 2 拒)=OB?3OB2 .OB = 4,即 AB=2OB=8, P

11、A=3OB = 12, 在 RtAACB 中，ac= Jab2 _bc2 =旧 _(2扬2 =2后,. AB 是直径， ./ ADB=/ACB = 90 ./ FDA +/ BDC =90°,/ CBA + / CAB = 90°BDC = / CAB , . / FDA = / CBA ,又AFD =/ ACB = 90°,.AFD sMCBAF AC 2 14 _ 7FD = CB = 2 2在 RtAAFP 中，设 FD = x,则 AF= J7x ,在 RtAAPF 中有，(77x)2 +(x+6V2)2=122,求得df = 3叵2方法二；连接 OC ,

12、过点O作OG垂直于CD ,一PC PO易证 PCOA PDA ,可得 =PD PA '一PG POAPGOA PFA ,可得=PF PA '图bPC PG PC可得， =，由方法一中 pc = 4)2代入产PC、2PC 2.2 DFPD PFPC 2.2即可得出DF =3x2(图 1-6)5. (2015?泸州)如图， ABC内接于O O, AB = AC, BD为O O的弦，且 AB / CD ,过点 A作 OO的切线 AE与DC的延长线交于点 E, AD与BC交于点F.(1)求证：四边形 ABCE是平行四边形;(2)若 AE = 6, CD = 5,求 OF 的长.【解答】

13、(1)证明：: AE与。相切于点A, ./ EAC =/ABC, AB= AC ./ABC =/ACB, ./ EAC = /ACB, AE II BC, AB II CD,.四边形ABCE是平行四边形；(2)解：如图，连接 AO,交BC于点H,双向延长 OF分别交AB, CD与点N, M, . AE是OO的切线，由切割线定理得， ae2= ec?de,. AE = 6, CD = 5,.-62=CE (CE+5),解得：CE = 4,(已舍去负数)，由圆的对称性，知四边形 ABDC是等腰梯形，且 AB = AC= BD = CE=4, 又根据对称性和垂径定理，得 AO垂直平分 BC, MN垂

14、直平分 AB, DC,设 OF = x, OH=y, FH = z,. AB = 4,1.BF =-2BC = 6, CD = 5,BC FH = 3 z,DF =CF = 1 BC+ FH = 3+ z,2易得 OFHdfm BFN ,DF DMBFBMOFOHOFOH即3zx521 y3-zB+得:2y一得:6=国x 2y3 z _ 51 3-z 43 y = x41z 二 一3x29 2二一 x164,7 x =21，。昨迤216.如图，AB是。的直径，C P是弧AB上的两点,AB= 13, AC= 5.(2)如图，若P是弧AB的中点，求PA的长;如图，若P是弧BC的中点，求PA的长.解

15、:(1)如答图，连接 PB一 一 c,.AB是。的直径且 P是AB的中点, ./ PAB= / PBA= 45° , / APB= 90°又在等腰三角形 ABC中有AB= 13,_ . ，一，P点为BC的中点,与O辟目交于M点，作PHL AB于点HOPL BC / OMB= 90 ° ,又. AB为直径，./ ACB= 90° .图e/ ACB= / O阳.OP/ AC. . . / CAB= / PCB.又./AC2 /OH2 90° , .AC即OHPAB AC13oj5= oh AB= 13，AC= 5, Op=513513 = OH-5

16、1,解得 OHh 2.AH= OAF OH= 9.在 RtAOPH,有 HP；=O? -0H'=3fi在 RtAAHPf:二廿；三二7.如图， ABC内接于。O,且AB为OO的直径./ ACB勺平分线交。O于点D,过点D作。O 的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AECD于点E,过点B作BF,CD于点F.（图 1-8）(1)求证：DP/ AB；(2)若AC= 6, BC= 8,求线段PD的长.解：(1)证明：如图，连接 OD.AB为。O的直径，ACB= 90° .一/ACB勺平分线交。O于点 D, / ACD= / BCD= 45，/DAB= /ABD= 45°。. DA助等腰直角三角形。 .DOL AB. .PD为。O的切线，ODL PD. . DP/ AB.(2)在 RtAACE,、匕=JAJLBC'