2020届高考数学(理)一轮复习讲义2.3函数的奇偶性与周期性

1、§2.3函数的奇偶性与周期性取新考明考情考向分析1 .结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2 .会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3 .了解函数周期性、最小正周期的含义，会判 断、应用简单函数的周期性 .以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶 性为主，常与函数的单调性、周期性交 汇命题，加强函数与方程思想、转化与 化归思想的应用意识，题型以选择、填 空题为主，中等偏上难度.基础知识自主学习回扣基比知识训等基此题目一r知识梳理i.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任个x, 都有xC D,且f(- x)= - f(x),则这个函数叫做奇函数关

2、于坐标原点对称偶函数设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任个x, 都有一xC D,且g(-x)= g(x),则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y= f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y = f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【概念方法微思考】1 .如果已知函数f(x), g(x)的奇偶性，那么函数 f(x)力(x), f(x) g(x)的奇偶性有什么结论？ 提示

3、在函数f(x), g(x)公共定义域内有：奇垃=奇，偶才禺=偶，奇*奇=偶，偶*偶=偶, 奇*偶=奇.2 .已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x+a) = f(x)(aw0).,1(2)f(x+a) = f(a0).(3)f(x+a) = f(x+ b)(awb).提示 (1)T= 2|a| (2)T=2|a| (3)T=|ab|基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或"x”)(1)函数 y=X2, XC (0, +8)是偶函数.(X )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(X )(3)若函数y = f(x+a)是偶

4、函数，则函数 y=f(x)关于直线x= a对称.(V )题组二教材改编2 .已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x>0时，f(x) = x(1 + x),则f(-1) =答案 2 解析 f(1)= 1X2=2,又f(x)为奇函数, .f(-1) = -f(1) = -2.4x + 2, 1 W x<0,3 .设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xC1,1)时，f(x)=tlx, 0Wx<1,则f1|卜答案解析1唔:工 f (- U4 2)+2=1.4 .设奇函数f(x)的定义域为5,5,若当xC0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集

5、为.答案 (一2,0) U (2,5 解析 由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0;当2<x< 5时，f(x)<0,又f(x)是奇函数，当-2Vx<0 时，f(x)<0,当一5Wx<2 时，f(x)>0.综上，f(x)<0 的解集为(一2,0) U (2,5.题组三易错自纠5,已知f(x)= ax2+bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么 a+b的值是(11B.3 C.2 D.答案 B解析 .f(x)=ax2+bx是定义在a1,2a上的偶函数，a1 + 2a= 0, - a=. 31又 f(x)=f(x), . b= 0, .

6、 - a+ b= 3.6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x),且当xC 0, 2时,f(x) = -x3,则fg ：-=.答案8解析 由f(x+ 3)=f(x)知函数f(x)的周期为3,又函数f(x)为奇函数，所以f£1 i= f 2 = fgj 1 3_1 一西厂8.题型分类深度剖析15通典感深度剖析西点推点堆探究题型一函数奇偶性的判断 -师生共研例1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=日36x2 + 由236;.2(2)f(x) =(3)f(x) =ln(1 x ).|x2| 2'X2+ x, x<0,x2 + x, x>0.36-x

7、2>0,解由S得x2=36,解得x=虬|x2-36>0,即函数f(x)的定义域为6,6,关于原点对称， . f(x) = 36-x2 + 4x2-36 = 0.f(-x)=- f(x)且 f(-x)=f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.1-x2>0 ,(2)由得定义域为(一1,0) U (0,1),辰2产2, 关于原点对称.x-2<0,|x-2|-2 = - x,2 .-x又 £(x)=2ln1 x) _x 一2ln 1 xx)=-f(x),，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(8, 0)U(0, +8),关于原点对称.当 x<

8、;0 时，一x>0,则 f(x)= ( x)2 x= x2 x = f(x);当 x>0 时，一x<0,则 f( x)= ( x)2 x= x2 x= f(x);综上可知，对于定义域内的任意x,总有f(-x)=- f(x),，函数f(x)为奇函数.思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f( x)是否具有等量关系.f(x) + f(-x)= 0(奇函数)或 f(x)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f( x)=0(偶函数)是否成立.跟踪训练1

9、 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A. f(x) = x+ sin 2x八.x 1C. f(x)=3 3xB. f(x)=x2cos xD. f(x)=x2+tan x答案 D解析 对于选项A,函数的定义域为R,f(x)=x+sin 2( x) = (x+ sin 2x) = f(x), 所以f(x)=x+sin 2x为奇函数；对于选项 B ,函数的定义域为R, f(- x) = (- x)2- cos(- x) = x2-cos x=f(x),所以f(x)=x2 cos x为偶函数；对于选项C,函数的定义域为R, f(-x) = 3 x=-3 1= f(x),所以f(x)=

10、 3x?为奇函数；只有f(x)=x2+tan x既不是奇函数也33不是偶函数.故选 D.xx(2)已知函数f(x) = 25/，g(x) = 2,则下列结论正确的是()h(x) = f(x) + g(x)是偶函数B.h(x) = f(x) + g(x)是奇函数C.h(x) = f(x)g(x)是奇函数D.h(x) = f(x)g(x)是偶函数答案解析易知 h(x)=f(x) + g(x)的定义域为x|xw 0.因为，/、，、x x x 2x xf(x)+ g(-x) = -x+于=-x52 x-121-2x 2x(1 2x J- xx x , x9=+-=f(x)+g(x),22x-12x(1

11、-x), 0WxW 1, sin 冰，1<x< 2,则f答案516解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数,所以h(x)= f(x)+g(x)是偶函数.故选 A.题型二函数的周期性及其应用-自主演练 1.若函数f(x)(xC R)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x) =所以d*44升3 if3 一一 a .516+6-16.2 .已知定义在R上的函数f(x)满足f(2) = 2 J3,且对任意的x都有f(x+ 2) = Tfjx-)，则"2 020) 答案 2一*1 一1 一解析 由f(x+ 2)=,得f(x+4) = f(x),所以函数f(x)的周期为4,所

12、以f(2 020)f(x ) f(x+ 2 )1 一.11一= f(4).因为 f(2+2) =,所以 f(4)=-=-= 2 /3.故 f(2 020) = - 2-J3._f(2)f(2)2-事 '"3 . (2017山东)已知f(x)是定义在 R上的偶函数，且 f(x+4) = f(x 2).若当xC 3,0时，f(x) =6 x,则 f(919) =.答案 6解析f(x+4)=f(x- 2),.f(x+2) + 4)=f(x+2)-2),即 f(x+6) = f(x),，f(x)是周期为6的周期函数，. .f(919) = f(153X6+1)=f(1).又f(x)是

13、定义在R上的偶函数，.f(1) = f(-1) = 6,即 f(919) = 6.4 .设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)+f( x)=0;f(x)=f(x+2);当0Wx<1 时，f(x)=2x1,则 电> f+琮户(2) +噜.答案 # 1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为 2,则 f(1) + f(1) = 0, f(-1) = f(1),即 f(1) = 0.f(2 卜 f(1) + fj|)+ f(2) + f(|)=fg * 0 + f 2 * f(0)+fg；111= %H2 产 f(0)+fw1=先广f(0)1=22 1 + 20-1=/-

14、1.思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.多维题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0) U (0,2上，f(x) =ax+ b, 2<x<0, <ax 1, 0<x< 2,贝 U f(2 021) =.,1答案一2解析 设 0<xW2,则一2< x<0, f(x)= ax+b.因为f(x)是定义在 R上周期为4的奇函数，所以f(- x) = - f(x)= - ax+ 1 = ax+b,所以b1=

15、1.而 f(2) = f(2+4) = f(2),所以一2a+b=2a1,解得 a = -,一,1.1所以 f(2 021) = f(1)=-X1-1 = -2.(2)已知 f(x)为偶函数，当 xw。时，f(x)=e x 1 -x,则 f(x) =答案e x 1-x, x<0, ex1 + x, x>0解析 当x>0时，一x<0, 1- f(x) = f( x) = ex 1 + x,e x 1-x, x<0,1 1f(x) = ： x 1 e +x, x>o.命题点2求参数问题例3 (1)若函数f(x)=xln(x+Ra+ x2)为偶函数，则a=答案 1

16、解析f(-x) = f(x), xln("sja + x2 x) = xln(x+ a+ x2), ln( 4 + x2)2-x2=0.In a= 0, - a = 1.(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1, 1上,ax+ 1, - 1 < x<0, f(x) = b bx+ 2I, 0WxW 1 ,lx+1其中a, bCR.若 破)=博)则a+3b的值为答案 10解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以 , r f(-2 步 f(i)=f(i)，12b+21,从而 1= - 2a + 1,2+1即 3a+2b= 2.一一，rb+2由 f(-

17、1) = f(1),得a+1 = 即b = 2a. 由得a=2, b=4,从而a+ 3b=10.(3)已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x>0时，f(x) = -x2+ax-1-a,若函数f(x)为R上的减函数，则 a的取值范围是 .答案 -1,0解析 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0) = 0,若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x>0时，函数为减函数，且一1-a<0,此时a-2<0,aw 0即 i即 一 1WaW0.、a1 1 5命题点3利用函数的性质解不等式 例4(1)已知定义在 R上的偶函数f(x)在0, +8)上单调递增，若f(ln x

18、)<f(2),则x的取值范2.、B. (e , +°° )D. (e 2, e2)围是()A. (0, e2)C. (e2, +°° ) 答案 D解析根据题意知，f(x)为偶函数且在0, +8)上单调递增，则f(in x)<f(2)? 11n x|<2,即一2<In x<2,解得e 2<x<e2,即x的取值范围是(e 2, e2).(2)设函数f(x)=1n(1+ |x|) 则使得f(x)>f(2x 1)成立的x的取值范围为 .1 x答案3, i；解析由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x) = f(|x

19、|),由 f(x)>f(2x1),可得 f(|x|)>f(|2x-1|).一，一1当 x>0 时，f(x)= 1n(1 + x) -2，1 + x一,1因为y=皿(1+*)与丫=2在(0 , + 8)上都单倜递增，所以函数f(x)在(0, + 8)上单倜递1 +x增.由 f(|x|)>f(|2x 1|),可得 |x|>|2x-1|,两边平方可得x2>(2x- 1)2,整理得3x2-4x+ 1<0,1斛得£<x<1. 3所以符合题意的x的取值范围为 g, 1；.思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量

20、所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解.跟踪训练2 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足 f(x+3 户 f(x)，当 x e 6,f(x)= log (1 -x),2则f(x)在区间卜，2内是(A .减函数且f(x)>0B .减函数且f(x)<0C .增函数且f(x)>0答案 DD.增函数且f(x)<0解析 当xC q, 1 I时，由f(x)= 1og1(1x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0,又函数f(x)为奇函2数，所以在区间1 .2, 0，比函数也单调递增，且f(x)<0.由f" 2 /= f(x)知，函数的周期为3,所以在区间1, 2:

21、,函数单调递增且f(x)<0.故选D.(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0WxWl时，f(x)= 2x(1 x),则f 2(=. ,1答案2解析由题意可知，f-22”卜f-2；= fg；= -2x2x ij-2；= -2.X3, x<0,(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当 x<0时，g(x)= ln(1 x),函数f(x) =4 ig(x> x>。,若f(6 x2)>f(x),则实数x的取值范围是 .答案 ( 3,2)解析,g(x)是奇函数，. .当 x>0 时，g(x) = g( x) = ln(1+x),易知f(x)在R上是增函数，由

22、f(6-x2)>f(x),可得 6-x2>x,即 x2+x 6<0,3<x<2.高频小考点函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.一、函数性质的判断例 1 (1)已知函数 f(x)=ln x+ln(2x),则()A. f(x)在(0,2)上单调递增B. f(x)在(0,2)上单调递减C. y= f(x)的图象关于直线 x= 1对称D. y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 C解析 f(x)的定义域为(

23、0,2).f(x) = In x+ ln(2 x)= lnx(2 x) = ln( x2+ 2x).设u= x2+2x, x (0,2),则u = -x2+2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.又y = In u在其定义域上单调递增,，f(x) = ln( x2+2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.选项A, B错误；/ f(x) = ln x+ln(2 x) = f(2 x),，f(x)的图象关于直线 x= 1对称，.二选项C正确；. f(2-x)+f(x)=ln(2 -x)+ln x + ln x+ ln(2 -x)= 2ln x+ln(2-x),不恒为 0,

24、，f(x)的图象不关于点(1,0)对称，.二选项D错误.故选C.(2)定义在 R上的函数f(x)满足f(x) = f(-x),且f(x)=f(x+6),当xC0,3时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A. 3,7 B. 4,5 C. 5,8 D. 6,10答案 B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数.因为当xC 0,3时，f(x)单调递增，所以f(x)在3,0上单调递减.根据函数周期性知，函数f(x)在3,6上单调递减.又因为4,5 3,6,所以函数f(x)在4,5上单调递减.(3)(2018大连*II拟)已知函数y = f(x)是R上的偶函数，对于

25、任意xC R,都有f(x+ 6)=f(x) + f(3)成立，当x1，x2 0,3,且xwx2时，都有卯上3>0.给出下列命题： Xi x2 f(3) = 0;直线x=6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；函数y=f(x)在 9, 6上为增函数；函数y=f(x)在 9,9上有四个零点.其中所有正确命题的序号为 .答案解析 -.f(-3+6) = f(-3)+f(3).又f(x)是R上的偶函数，所以f(3) = 0,故正确；由知f(x+6) = f(x),所以f(x)的周期为6.又因为f(x)是R上的偶函数，所以 f(x+6) = f(-x), 而f(x)的周期为6,所以f(x+ 6)=

26、f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),所以f(6 x)=f(6+x),所以直线x= 6是函数y = f(x)的图象的一条对称轴.故 正确；业.二。1口、，一、，g - f(x1 / f(x2当xi, x2C0,3,且xwx2时，都有 J >0,所以函数y=f(x)在0,3上为增函数.因为xi x2f(x)是R上的偶函数，所以函数y=f(x)在 3,0上为减函数，而f(x)的周期为6,所以函数y= f(x)在 9, 6上为减函数.故 错误；f(3)=0, f(x)的周期为 6,所以 f(-9)=f(-3)=f(3) = f(9) = 0,所以函数 y=f(x)在 9,9上有四个零点.

27、故正确.二、函数性质的综合应用例2 (1)(2018全国n)已知f(x)是定义域为(8, +oo )的奇函数，满足 f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+ + f(50)等于()A. 50 B.0 C.2 D. 50答案 C解析 .f(x)是奇函数，.-.f(-x) = - f(x),.f(1-x)=- f(x 1). . f(1-x) = f(1+x),-f(x-1)=f(x+1), .-.f(x+2) = - f(x),f(x+ 4)= f(x+2) = f(x) = f(x),.函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数且定义域为 R得f(

28、0) = 0,又f(1x) = f(1+x),f(x)的图象关于直线 x= 1对称，.f(2) = f(0) = 0, f(-2)=0.又 f(1)=2, .1.f(-1) = - 2,.f(1) + f(2) + f(3)+f(4) = f(1) + f(2) + f(-1)+f(0)=2+0-2 + 0= 0, f(1) + f(2) + f(3)+f(4)+ +f(49) + f(50)=0X 12+f(49) + f(50) = f(1) + f(2)= 2+0=2.故选C.(2)已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x4)=f(x),且在区间0,2上是增函数，则()A. f( 25

29、)<f(11)<f(80)B. f(80)<f(11)<f(25)C. f(11)<f(80)<f(25)D. f( 25)<f(80)<f(11)答案 D解析 因为f(x)满足f(x 4)=-f(x),所以f(x-8) = f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11) = f(3).由f(x)是定义在 R上的奇函数，且满足 f(x -4)=-f(x),得 f(11)=f(3) = -f(-1)=f(1).因为 f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在 R 上是 奇函数，所以

30、f(x)在区间 2, 2上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11). 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8, 0)上单调递增.若实数 a满足f(2|"1|)> f(啦)，则a的取值范围是 .较案 3、口水切2，解析f(2a 1|)>f(-*)= f(*),又由已知可得f(x)在(0, +8)上单调递减，1113 2<+=22, |a-1|<2, -2<a<2.课时作业才基础保分练1 .下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A. f(x) = $:B.

31、 f(x)=；2xC. f(x) = 2x+ 2 xD. f(x) = cos x答案 B解析 函数f(x)=%是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意. x2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = 2x+m,则f(2)等于()55A.3 B 4 C.4 D. 3答案 A解析 由f(x)为R上的奇函数，知f(0) = 0,即f(0) = 2°+m = 0,解得m=1,则f(-2) =f(2) = (22 1)= 3.3 .已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()y=f(|x|)； y=f( x);丫:*); y=f(x) +

32、x.A. B. C. D.答案 D解析由奇函数的定义f(- x) = - f(x)验证，f(| x|)=f(|x|),为偶函数；f(一( x) = f(x) = f( x),为奇函数；一xf( x) = x f(x) = xf(x),为偶函数；f( x)+(x)= f(x) + x,为奇函数.可知正确，故选D.4 .已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4,且当xC (一 1, 0；时，f(x) =log2( 3x+ 1),则 f(2 021)等于()A. 4 B. 2 C. 2 D. log 27答案 C解析 二.函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为 4, .-.f

33、(2 021) = f(4X 505+ 1)=f(1)= -f(-i).ie (-3, 0),且当 xe ( 3, 0 M,f(x) = log2( 3x+ 1), .f(-1)=log2-3X(- 1)+ 1 = 2, f(2 021) = - f(-1) = - 2.5. (2018锦州调研)已知定义域为 等式f(log»)>2的解集为()A. (2, +oo )C. 0, -22 U( .2, +oo )答案 B解析 f(x)是R上的偶函数，且在R的偶函数f(x)在(一8,D. (V2,)0上是减函数，且 f(1) = 2,则不(8, 0上是减函数，所以f(x)在0 ,

34、+ 8)上是增函数,1所以 f(log2x)>2= f(1)? f(|log2x|)>f(1)? 110g2x|>1? log2x>1 或 log2x< 1? x>2 或 0vx<2.6.已知偶函数f(x)对于任意xC R都有f(x+1) = f(x),且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5), f(1), f(0)的大小关系是()A. f(0)<f(6.5)<f( 1)B. f( 6.5)<f(0)<f( 1)C. f(1)<f(6.5)<f(0)D. f( 1)<f(0)<f(6.5)答案

35、 A解析 由 f(x+ 1)=f(x),得 f(x+2)= f(x+1)=f(x), .函数 f(x)的周期是 2.函数f(x)为偶函数,.f(-6.5) = f(-0.5) = f(0.5), f(-1) = f(1). f(x)在区间0,1上是单调递增的，.f(0)<f(0.5)<f(1),即 f(0)<f(-6.5)<f(-1).7,若 f(x)= ln(e3x+ 1)+ax是偶函数，则 a =.答案一3解析 函数 f(x)= ln(e3x+1)+ ax 是偶函数，故 f(x)=f(x),即 ln(e 3x+ 1) ax= ln(e3x+1) + ax,化简得 l

36、n(1 + e3x)In e3xax= ln(e3x+1) + ax,即3xax= ax,所以 2ax+3x=0 恒成立， 一一3所以a= 3.8 .已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=ln x,则ff&j加值为.答案 ln 2解析由已知可得fg = ln =- 2,所以亭.4fJ 2).又因为f(x)是奇函数，所以，伶) f(-2) = - f(2) = - ln 2.9 .奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，且在区间3,6上的最大值为8,最小值为一1,则f(6)+ f(3)的值为.答案 9解析 由于f(x)在3,6上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6) =

37、8, f(x)的最小值为f(3)=1,因为 f(x)为奇函数，所以 f(3) = f(3)=1,所以 f(6) + f(3)=8+1 = 9.10 .若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0, +8)上是单调递增的.如果实数 t满足f(ln t)+fi'ln 1 '饪2f(1),那么t的取值范围是 .t答案"e，e I解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以 f(ln t)=fn； !,由 f(ln t)+f(n；卜 2f(1),得 f(ln t)<f(1).又函数f(X)在区间0, + 8)上是单调递增的，所以 11n t|w1,即1wln t&

38、lt; 1,故1wtwe. e-x2+2x, x>0,11 .已知函数f(x)=S。，x=0,是奇函数.x2+ mx, x<0(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1, a2上单调递增，求实数 a的取值范围.解设x<0,则一x>0,所以 f(x)= ( x)2+ 2( x) = x2 2x.又f(x)为奇函数，所以f(-x)=- f(x),于是 x<0 时，f(x) =x2+2x= x2+mx,所以 m= 2.a 2> 1,(2)要使f(x)在1, a2上单调递增，结合 f(x)的图象(如图所示)知5所以户一2W1,1<a<3,故实数a的取值范围是(1,3.12 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数 x,恒有f(x+ 2)=- f(x).当xC 0,2时，f(x) =2x-x2 .求证：f(x)是周期函数；(2)当xC 2,4时，求f(x)的解析式.(1)证明 . f(x+ 2) = - f(x),f(x+ 4)=- f(x+2) = f(x).，f(x)是周期为4的周期函数.(2)解-. x 2,4,. . 一 xC -4, 一 2, 4-x 0,2, .f