三角形中的常用辅助线方法总结

1、数学：三角形中的常用辅助线典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找 出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：(1)可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；(3)可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：(1)遇

2、到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”。例1:如图，A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ AB或AC于点D, CE垂直于BD 交BD的延长线于点 E。求证：BD=2CEF思路分析：1)题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2)解题思路：要求证BD=2CE可用加倍法，延长短边，又因为有 BD平分/ABC的条件，可以 和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长 BA, CE交于点F,在 ABEF和ABEC中， /1 = /2, BE=BE , /BEF=/BEC=90 ,ABEF ABEC,. EF

3、=EC,从而 CF=2CE。又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90 ,故/ 1 = / 3。在 A ABD 和 AACF 中，-/ 1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ,A ABD 仁 AACF,BD=CF ,BD=2CE 。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解 题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空问；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。(2)若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变

4、换中的“旋转”。例2:如图，已知 AABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证： AABC是等腰三角形。思路分析：1)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2)解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件 都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC ,可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长 AD至ij E,使DE=AD ,连接BE。又因为 AD是BC边上的中线，BD=DC又/ BDE= / CDAA BED A CAD,故 EB=AC , / E=/ 2, AD

5、是/ BAC的平分线/ 仁/ 2,./ 1 = Z E,AB=EB从而AB=AC即AABC等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可 得到全等三角形。(3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3:已知，如图，AC平分/ BAD CD=CB ABAD 求证：/ B+/ ADC=180 。思路分析：1)题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2)解题思路：因为AC是/BAD的平分线，所以可过点C作/ BAD勺两边的垂线，构造直角三 角形，

6、通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CH AB于E, CF，AD于F。. AC平分 / BADCE=CF在 RtACBff口 RtzXCDF中，v CE=CF CB=CD RtACBE RtACDF / B=/ CDF/ CDF+Z ADC=180 ,. / B+/ ADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。(4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”例4:如图，A ABC中，AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=CF 求证：DE=DFA思路

7、分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形 A DEB与A DFC不可能全等，又知 EB=CF ,所以需通过添 加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF,构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G贝叱 EGBW ACB又 AB=AC B=/ ACB. ./B=/ EGB . ./EGD=DCF .EB=EG=C F /EDBN CDF a ADGE3 ADCFDE=DF解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法:AAF*F例 5: ABCt, / B

8、AC=60 , C C=40 , AP平分/ BACC BC于 P, BQ分/ ABC交 AC于 Q 求 证：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+A势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左 式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得 AD堂AAQO得到OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O僦可以了。解答过程：证明：如图(1)，过O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60 40 =80 , 又. / AQO=C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO

9、又/ DAO= QAO OA=AO . .AD堂 AAQOOD=O QAD=AQ又 ; OD/ BP, ./ PBO= DOB 又./ PBO=DBO ./ DBO= DOB .BD=OD又. / BPAW C+/PAC=70 , / BOP= OBA+ BAO=70 , ./ BOP=BPO .BP=OB . AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长法” (2)本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图(2),过O作OD/ BC交AC于D,则4AD堂ABOA而得以解决。B P图(2)如图

10、，过。作DE*BC交AB于D,交AC于E,则ADD公AAQCi, AB。丝AEO从而得以解决口如图(4),过P作PD#BQ交AB的延长线于D,则dAPD经APC从而 得以解决口D/如图(5),过P作PD/ BQ交AC于D,则4AB国/XADPR而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同 的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。 从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋 转中心的旋转变换构造了全等三角形。(5)截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一

11、条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6:如图甲，AD/ BC 点 E在线段 AB上，/ADE=/CDR /DC=/ECB 求证：CDzADfBG图甲思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CRAE+BC可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB 只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC如图乙CH = CB= GCECE=CE

12、.-.FCEABCE(SAS , / 2=/ 1。又AD/ BC /AD(+/BCD：180 , /DC+/CD=90 ,. /2+/3=90 , / 1 + /4=90 , / 3=/4。在4FDE与 ADE中，AFDE = ZADEDE = DEZ3 = Z4 .FDEEAADE（ASA , . DF=DACD=DF+CF, . CD=AE+BC解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法： 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线

13、段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想 办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边 构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。同步练习（答题时间：

14、90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行!1、已知，如图1,在四边形ABCM, BCAB, AD=DC BD平分/ ABC 求证：/ BADVBCD：180 。2、已知，如图2, / 1 = /2, 求证：/ BAP+/BCP=180 。P为BN上一点，且PDl BC于点D, ABO2BD3、已知，如图 3,在ABCt, / C= 2/B, /1 = /2。求证：AB=AC+CQA1图34、已知，如图4，Ds E为ABC内两点，求证】AB+AOBD+DE+CE-A图45、如图5，AD为ABC的中线，求证：AB+ACXAD.图56、如图6所示，

15、AD是ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EFd 求证；AC=BF.试题答案命的材料图6你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生-富兰克林1、分析：因为平角等于1800 ,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中 缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,彳DF，BC于点F,如图1-2*TBD平分在比AHDE与母 6外,DE = DFAD= CD - RtAADEiRtACDFHL), ./ DAE：/DCF又/BAa/DAE：180 , /BAa/DCF：180 ,即/ BA

16、D+ZBCB18002、分析：与1相类似，证两个角的和是180 ,可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证 明/BCP：/ EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2；N1=N2,且产ZLLBC,在俯 HPEWE& BPD 中,PE=PD BF = RP -/.咫A BF丝母 BEX也）,二BE用工,AB+BC=2BD,，RB+B2D0=孙电/.AB+DCBESDCBE-AB=AS.在比AHFE与母 CPD中，P = PDMD+DE+NE 在BDK, mb+mdbd在CENt, CN+NEQE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEM

17、D+DE+NE+BD+CE . AB+AOBD+DE+EC（方法二：图4-2）延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在 ABR GFCfilzXGDB有：AB+AFBD+DG+GFGF+F8GE+CEDG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE-toEC5、分析：要证 AB+AO2AD由图想至I：AB+BDADAC+CDAD所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD亍2AD 左边比要证结论多BD+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AR即加倍中线，把所要 证的线段转移到同一个三角形中去工图5-2证明：延长AD至E,使D

18、E=AD,连接BE, CETAD为dABC的中线（已知），BD=CD C中线定义）在ACDWEBD 中BD = CD （已证）W /I二/X对顶角相等）AD = ED （辅助线作法） . .AC四 AEBD （SAJS. BE=CA（全等三角形对应边相等）在 ABE中有：AB+BEAE三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD6、分析：欲证AC=BF只需证AC BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有 AC BF的两个 全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有 AC BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在 同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个 三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADE基础三角形，转移线段 AC使AC BF在三角形BFH中方法